Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 43
Текст из файла (страница 43)
То же самое в координатном мире записывается так: <Е>ср — — ) сРэ (х) сР (х) дх, где сР(х) = Ясу (х). Здесь Ж вЂ” алгебраический оператор, который действует на функцию от х. Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тонге обнаружили, что ответ имеет вид <х>ар — — <ф(а>, где !а>=х (ф>. В координатном мире соответствующие уравнения таковы: (х),р — — ) сГ" (х) а (х) сгх, где а (х) = х$ (х).
Когда мы задали вопрос о среднем значении р, то ответ оказался (р), =(ср) р), где !()) =р(ср). В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид (р),р — — ~ ф (х) р (х) дх, где р (х) = —. — ср(х). Й б 215 Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния р)>у и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовол>вханичеслозо оператора. В координатном представлении мы генерируем соответствующую волновую функцию, действуя на волновую функцию >)>(х) алгвбраичвсниз> оператором. Можно говорить о взаимпооднозначном соответствии (для одномерных задач) между лз дз П и Я= —,— — +)>(х), 2т Взз (18.59) х и х й д р и бе = —.— ! да В этом перечне мы ввели новый символ У„для алгебраического оператора (6/>)д,>дх: (18.60) и поставили под у. значок х, чтобы напомнить, что имеем пока дело с одной только х-компонентой импульса. Результат этот легко обобщается на три измерения.
Для других компонент импульса д я д р уб р- У= —. У У > ду' > дз При желании можно даже говорить об операторе вел>лора импульса и писать я(дддт р в-= —. (е — +е — +е — ) "дх Уду зда) где е„, е и е, — единичные векторы в трех направлениях. Можно записать зто и еще изящнее: 6 р-" Р= — ч > Окончательный вывод наш таков: по крайней мере для некоторых квантовомеханических операторов существуют соответствующие им алгебраические операторы в координатном представлении.
Все, что мы до сих пор вывели (с учетом трехмерности мира), подытоя'ено в табл. 18 1. Каждый оператор может быть представлен в двух равноценных видах в: либо 1 >р) = .4 ~ >)», (18.62) * Вомногих каюккахдляА иД ислольауется один и тот же символ: физика в них одна и та >ко, да и удобнее все время обходиться без новях букв. А из контекста всегда ясно, чтб имеется в виду. либо ~р(г) =Лгу(г).
((8.63) Теперь мы дадим несколько иллюстраций применения этих идей. Для начала выявим связь между У и У~. Если применить У„ дваяеды, получим , де фа х х дхе ' Это означает, что можно написать равенство Я = — (де У + У У + ~,У,)+ Р (г). у 1 у» У+)7(г) ((8. 64) (Члены в алгебраическом операторе, над которыми нет символа оператора, оаначают простое умножение.) Это уравнение очень приятно, потому что его легко запомнить, если вы еаце не забыли курса классической физики. Хорошо известно, что энергия (не- релятивистская) состоит из кинетической энергии ра/2т плюс потенциальная, а у нас Я вЂ” тоже оператор полной энергии. Этот результат произвел на некоторых деятелей столь сильное впечатление, что они начали стремиться во что бы то ни стало вбить студенту в голову всю классическую физику, прея де чем приступить к квантовой.
(Мы думаем иначе() Параллели очень часто обманчивы. Если у вас есть операторы, то важен порядок Табхича 18,1 ° АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАтоРЫ В КООРДИБАтном предстАвлении Риаичеснан величина Координатная еалнсе Оверагор Энергия ПОЛО1НЕННО Иниульс Рх Рч Рх Или, в векторных обозначениях, 1а д У = —— дх Ь д ч Еду 11 д да различных множителей, а в классическом уравнении он безразличен.
В гл. 15 мы определили оператор р, через оператор смещения Ь„[см. формулу (15.27))' ) лр'> = 7> (6) ) ф> = (1+ — р„б) ) ф>, (18.85) где 6 — малое смещение. Мы должны показать, что это эквивалентно нашему новому определению. В соответствии с тем, чтб мы только что доказали, это уравнение должно означать то же самое, что и т' ( )=Ф (х)+~ — Ь.
дф Но в правой части стоит просто разлоя ение лр(х + 6) в ряд Тэйлора, а ф(х+6) — то, что получится, если сместить состояние влево на 6 (или сдвинуть на столько же вправо систему координат). Оба наши определения р согласуются! Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, .... (Для простоты остановимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х, х„хл,....
Запишем ее в виде ф (х„х„хл, ...). Сдвинем теперь систему (влево) на 6. Новая волновая функция ф'(хм х„х, ...)=ф(х +Ь, х,+6, х +Ь, ...) моя~ет быть записана так: ф'(х» хн, хл, ...)н ф(х„х„хн, ...)+ + ( 6,— „"+6,— "+6,— +... (. (18.88) Согласно уравнению (18.85), оператор импульса состояния (ф> (назовем ого полным импульсом) равняется го ( д д д У. = —.~ — -, — + — +...,.
полн ~ '( дл Зл ал Но ато все равно, что написать (18.87) Операторы импульса подчиняются тому правилу, что полный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные воши взаимно согласуются. 2лв ф 6. Моменпз нолнчесзмвя двнжения Для интереса рассмотрим еще одну операцию — операцию орбитального момента количества движения.
В гл. 15 мы определили оператор г, через В,Щ) — оператор поворота яа угол ~р вокруг оси з. Рассмотрим сейчас систему, описываемую всего лишь одной-единственной волновой функцией ф(г), которая является функцией одних только координат и не учитывает того факта, что спин у электрона должен быть направлен либо вверх, либо вниз.
Это значит, что мы собираемся пока пренебречь внутренним моментом количества движения и намерены думать только об орбитальной части. Чтобы подчеркнуть различие, обозначим орбитальный оператор Е, н определим его через оператор поворота на бесконечно малый угол е формулой (напояияаезм это определение применимо только к состоянию Щ~), у которого нет внутренних спнновых переменных, а есть только зависимость от координат г: х, у, з). Если мы взглянем на состояние (ф) из новой системы координат, повернутой вокруг оси з на неболыпой угол з, то увидим новое состояние: ~$')=В,(е)) ф~. (18.69) Если мы решили описывать состояние фф) в координатном представлении, т.
е. с помощью его волновой функции ф(г), то следует ожидать такого равенства: ф' (г) = (1+ — е.У,) ф(х). (18,68) Что я~е такое .У? А вот что. Точка Р (х, у) в новой системе координат (на самом деле х', у', но мы убрали штрихи) раньше имела координаты х — еу н у+ех (фиг. 18.2).Поскольку амплитуда того, что электрон окажется в точке Р, не меняется от поворота системы координат, то можно писать ф (х, у, з) = ~р (х (- ау, у — ех, з) = =ф(х, у, з)+ер — — ех— дф дф дх дд (напоминаем, что е — малый угол). Это означает, что ( д д) Это и есть наш ответ. Обратите, однако, внимание, что это определение эквивалентно такому; У = хУ' — у„~Р . (18.70) зд и г.
гд.у. Поворот осей во- круг оси г иа талий угол а. Или, если вернуться к нашим квантовомеханическим онераторам,можно написать Ьг = хр — ур„, (18.71) Эту формулу легко запомнить, потому что она похожа на знакомую формулу классической механики. "зто з-компонента векторного произведения 1 =гхр. (18.72) Одна из забавных сторон манипуляций с операторами заключается в том,что многие классические уравнения переносятся в квантовомеханическую форму. А какие нет3 Ведь должны же быть такие, которые не получаются, потому что если бы все повторялось, то в квантовой механике не было бы ничего отличного от классической, не было бы новой физики. Вот вам уравнение, которое отличается.
В классической фивике хр„— р„х = О. А что в квантовой механике? хр„— р„х= 7 Подсчитаем зто в х-представлении. Чтобы было видно, что мы делаем, приложим зто к некоторой волновой функции зр(х). Пишем х уз„зр (х) — у„хз)з (х) или йз д й д х —. — зр (х) — —.—.хзр(х). ! дх дх Вспомним теперь, что производные действуют на все, что справа. Получаем х —. — —.
»р (х) — —. х — = — —.»р (х). (18.73) й д»д г» . 6 д»г». дх дх Ответ ие нуль. Вся операция попросту равнозначна умножению на — Ь/й й хрх Рхх= (18.74) Если бы постоянная Планка была равна нулю, то квантовые и классические результаты стали бы одинаковыми и не пришлось бы нам учить никакой квантовой механики! Отметим, что если два каких-то оператора А и В, взятые в сочетании А — ВА, ке дают нуля, то мы говорим, что «операторы не перестановочны», или «операторы не коммутируют». А уравнение наподобие (18.74) называется «перестановочным соотношением». Вы можете сами убедиться, что перестановочное соотношение для р и у (или коммутатор р„и у) имеет вид р„д — рр„=о.
Существует еще одно очень вая«нее перестановочное соотношение. Оно относится к моментам количества движения. Вид его таков: (18,75) Если вы хотите приобрести некоторый опыт работы с операторами х и р, попробуйте доказать эту формулу сами. Интересно заметить, что операторы, которые не коммутируют, можно встретить и в классической физике. Мы с этим уже сталкивались, когда говорили о поворотах в пространстве. Если вы повернете что-нибудь, например кния«ку, сперва на 90' вокруг оси х, а затем на 90' вокруг оси у, то получится совсем не то, что было бы, если бы сначала вы повернули ее на 90' вокруг оси у, а после на 90' вокруг оси х.
Именно это свойство пространства и ответственно за уравнение (18.75). ф у. ХХа.иеиеиие ередииш ео в1»е.ивиед« Теперь мы познакомим вас с еще одной интересной вещью: вы узнаете, как средние изменяются во времени. Представим на минуту, что у нас есть оператор А, в который время явным образом не входит, Имеется в виду такой оператор, как х или р. 221 [Л исключаются, скажем, такие вещи, как оператор внешнего потенциала )'(х, г), меняющийся во времени.! Теперь представим, что мы вычислили <А>,р в некотором состоянии рр>, т. е. <А>„= <ф ( А ) ~р>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
