Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 37
Текст из файла (страница 37)
О с .ьзШОЭО (, аО ); эю О авй 2га( ы) (17. 30) 185 Помножим все на г'/г", и переставим члены; результат будет таков: 1 о / Эуьш ~ $ дзуьы — —,— ~з!и 9 —.' )+ —,. эгаО ОО ~ ОО ) Мпьэ д~эь = — ~ р ( „„—,а (тра)+ —.в (Е+ — „) Ц Уь - (17 39) Левая часть этого уравнения зависит от 9 и ~р, а от г не зависит. Какое бы значение г мы ни взяли, от этого левая часть не изменится.
Значит, тезке долзвпо быть выполнено и для правой части, Хотя в выражении в квадратных скобках тами сям попадаются разные г, все выражение от г зависеть не может, иначе бы не получилось уравнение, которое годится для всех г. Кроме того, как вы видите, эта скобка не зависит ни от О, ни от ~. Она должна быть постоянным числом. Его величина имеет право зато зависеть от значения 7 того состояния, которое мы научаем, поскольку этому состоянию принадлежит функция Р„поэтому постоянное число мы обозначим К,. Уравнение (17.35), стало быть, равно- значно двум уравнениям 1 д У . ОУбе') 1 деУт ыпо дΠ— — (э)п Π— '")+ —.
— ' — К,У~ (17.40) де у з)от О дет 1 дз 2т (' ез ') Рг дз з 3е~~,.! з г„з — — (.Г)+ — !'Е+ — ! Г =К вЂ” '. (17.41) Теперь взглянем на то, что мы сделали. Для каждого состояния, описываемого числами ! и т, мы знаем функции У, „; тогда из уравнения (17.40) можно определить К,. Затем, подставив К, в (17.41), мы получим дифференциальное урапнение для функции Р, (г). Если мы его сможем решить, то все множители, входящие н (17.37), нам станут известны, и мы узнаем зр (г). Чему же равно К,р Ну, во-первых, заметьте, что при всех т (входящих в данное !) оно доли'но быть одним и тем же, поэтому мы вправе выбрать в г", то т, какое нам нравится, и вставить его в (17.40). Пожалуй, проще всего взять Уь, Из уравнения (10.24) В,(<р) / 1, !Ь=е"т / 1, !>. Матричный элемент В (О) тоже совсем прост! <1, 0)Лу(О))1, !>=Ь(з)ПО) где Ь вЂ” некоторое число е.
Объединяя их, получаем )"! ! еггтз!и О. (17.42) (17.43) (17.44) Подстановка этой функции в (17.40) даст К, = ! (1+ 1). (17. 45) Теперь, когда мы определили К„уравнение (17.41) даст нам радиальную функцию Р, (г). Перед нами обычное уравнение Шредингера, у которого угловая часть ааменена ее эквивалентом К,Р,!'гз. Перепишем (17.41) в той форме, в какой мы писали уравнение (17.8): 1 дз 2в1 ! се ! (!+1) Дз) — — (гр,) = — — ~ Е + — —, ~.
(17.46) ,огз г 1з '! ° г" е Ото нетрудно вывести из (16.26). Но можно ато сделать, исходя иа основных принпипов; надо только воспользоваться идеями, изложенными в гл. 16, 1 4. Состояние )1, !> может быть составлено из 2! частиц со олином Ч„у которых спин направлен вверх; а в состоянии 1, 0> ! спиноз было бы направлено вверх, а ! — вниз. При повороте амплитуда того, что спин останется тем же, равна соз О!2, а амплитуда того, что оп перевернется, равна з!во/2, А нас интересует амплитуда того, что ! спиноз не перевернутся, а другие ! перевернутся. Такая амплитуда равна (созе(2 з!пО/2)г, а зто то же самое, что з!пт О.
У = [г (г) + — тг» = сопз1. 1 2 В общем случае и разлагается на радиальную компоненту и н на касательную компоненту гО, т. е. г» =г,'+ (гО)'. Момент количества движения тг»О тоже сохраняется; пусть он равняется Л. Тогда можно написать Ь или гО = —, шг ' тг»О =Х,, т. е. анергня равна 1» б» П= — ,'+)г( )+ —,. Если бы момента количества движения не было, у нас осталось бы только два первых члена, Добавление момента количества движения Х, изменяет энергию как раз так, как если бы к потенциальной энергии добавился член Х»сс2тг«.
Но он почти точно совпадает с добавкой (17.46). Единственная разница в том, что вместо ожидаемого числителя 1»Х»»(этого можно было бы ожидать) появляется комбинация 1([лг1) а». Но мы еще раныпе видели [например, в гл. 34, 4 7 (вып. 7)), что это обычная замена, к которой всегда приходится прибегать, если хотят, чтобы квази- классические рассуждения совпали с правильным квантозомеханическим расчетом. Поэтому новый член можно понимать как своего рода «потенциал», определяющий «центробежную силу» и возникающий в уравнениях радиального движения вращающейся системы [см. гл. 12, з 5 (вып.
1)). Теперь мы уже можем решить уравнение (17.46) относительно Р, (г). Оно очень похоже на (17.8), так что прибегнем к той же технике. Все повторяется вплоть до уравнения (17.19), в котором появится добавочный член — с (с+ 1) ч~~ ~а»р"-'. Гс= » (17,47) 137 У потенциальной энергии появилась какая-то таинственная добавка.
Хотя она появилась на свет после длинной серии математических шагов, тем не менее у нее простое физическое происхождение. Мы беремся рассказать о ее происхождении при помощи полуклассических аргументов. После этого она уже не покажется вам такой таинственной. Представим классическую частицу, вращающуюся вокруг некоторого силового центра.
Полная энергия сохраняется и является суммой потенциальной н кинетической энергий Его монсно записать еще и так: — 1(1+1) ~ — ' — ~~' аа„сРь — с~. (17.48) з=1 (Мы выделили первый член, а затем текущий индекс й сдвинули на единицу.) Вместо (17,20) появится ~ Цй (й+ 1) — 1(1+ 1)) аз с — 2 (ай — 1) ад) рс А=с — '=-О. (17.
49) Р Поскольку член с р ' только один, то он должен обратиться в нуль. Коэффициент а, должен быть равен нулю (если только 1 не равно нулю, но тогда мы приходим к нашему прежнему решению). Л ногда все квадратные скобки при любых й обратятся в нуль, то и все следующие члены станут равны нулю. Из-за этого условие (17.21) переходит в 2 (ссй — 1) а „=Ь(„+ ) (1+С— (17.50) (17 чИ) Волновая функция состояния с такой энергией и с угловыми квантовыми числами 1 и си имеет вид ф„, „=У, „(Е, р)Р'„,(р), (1 7. 52) 1ВВ Это единственное существенное видоизменение по сравнению со сферически симметричным случаем. Как и раньше, ряд должен оборваться, если мы хотим, чтобы решения представляли связанные электроны. Если аи.=-1, то ряд оборвется на й=-и.
Условие на а получается таким же: а должно быть равно 1/и, где и — целое число. Однако (17.50) приводит и к новому ограничению. Индекс й не может быть равен 1, в противном случае знаменатель обратится в нуль, а а„, — в бесконечность. Иначе говоря, поскольку а,=О, то (17.50) подразумевает, что все последовательные аь обращаются в нуль, пока мы не придем н а,е„которое может быть и не нулем. Это означает, что й должно начинаться с 1+1 и кончаться на и. Окончательный итог таков: при любом 1 имеется набор возможных решений, которые мы обозначим Р„„где и>1+1.
Каждое решение обладает анергией где рс'„,(р) =е-'г ~ а«р . ««е« (17.53) Коэффициенты а„получаются из (17.50). Наконец-то в наших руках полное описание состояний атома водорода. ф д. Яолновэ«е ддун«с«1««««водорода Посмотрим же, что мы открыли. Состояния, которые удовлетворяют уравнению Шредингера для электрона в кулоновом поле, характеризуются тремя (причем целыми) квантовыми числами и, ), т. Угловое распределение амплитуды электрона может обладать только определенными формами, которые мы обозначим У, . Они нумеруются числом 1 — квантовым числом полного момента количества движения и т — «магнитнымэ квантовым числом, которое может меняться от — с до +й При каждой угловой конфигурации возможны различные радиальные распределения Р,, (г) амплитуды электрона; они нумеруются главным квантовым числом п, которое может меняться от 1+1 до оо.
Энергия состояния зависит только от и и растет с п. Состояние наинизшей анергии, или основное, является в-состоянием. У него «=0, и= — 1 и т,=-О. Это «невырожденное» состояние: имеется только одно состояние с такой энергией, а волновая функция у него сферически симметрична.
Амплитуда того, что электрон обнаружится, достигает максимума в центре и монотонно спадает с удалением от центра. Эту электронную аьшлитуду можно изобрааить этаким комочком (фиг. 17.6,а). Имеются и другие г-состояния, с ббльшими энергиями; у них п=2, 3, 4, ... и ~= — О. Каждой энергии соответствует только одно состояние т= — О, и все они сферически симметричны.
Амплитуды этих состояний с ростом г один или несколько раз менягот знак. Имеется и — 1 сферических узловых поверхностей, или мест, где «р проходит через нуль. Например, 2г-состояние (1=-0, п=2) выглядит так, как показано на фиг. 17.6, б. (Темные области указывают те места, где амплитуда велика, а знаии плюс и минус отмечают относительные фазы амплитуды.) Уровни энергии г-состояний показаны в первом столбце фиг. 17.7. Затем бывают р-состояния с 1=1. Для каждого и (и равно или болыпе 2) существует тройка состояний с одинаковой энергией, одно с т=+1, другое с т=О, третье с т= — 1.
Уровни энергии отмечены на фнг. 17.7. Угловые аависимости этих состояний приведены в табл. 17.1. Так, при т=О, если амплитуда положительна для углов 6, близких к нулю, то при углах О, близких к 180', она окажется отрицательной. Имеется узловая плоскость, совпадающая с плоскостью ау. При п>1 бывают также «Р и е. л'с.г.
Наброски, отраксающие общий карактер волновал функций водорода. В ваканриаованник м сток амнлитцди велики. Знаки нлюс и мини — вто относит ление вноси амилитцд в номдой обвести. ° з»=(1 (1 «х» = О>, +1)+!1 — 1> 'цс 2 +1) — )1, — 1У «су» = с)2 если отнести их к своим осям, выглядят одинаково. У 6-состояний (1=2) для каждой энергии есть пять возможных значений и»; наинизшей энергией обладает п=З.
Уровни конические узловые поверхности. Амплитуда и=-'2, т.=-О намечена на гр,ю О Зр, фиг. 17.6,д, а волновая В г функция п=З, и» = О— на фиг. 17. 6, г. Могло бы показаться, что поскольку т дает, так скавать, «ориентацию» в пространстве, то должны наблюдаться еще такие же + распределения, но с виИ» юаО 4А ксаО кани вдоль оси х или д е вдоль оси у. Можно по- думать„что зто скорее всего состояния с и=+1 и с т= — 1.
Однако это не так! Но зато раз у нас есть тройка состояний с одинаковыми энергиями, то любая линейная комбинация из этой тройки тоже будет стационарным состоянием с той же энергией. Оказывается, что «х»-состояние (по аналогии с «з»-состоянием, или состоянием с т=О, см. фиг. 17.6, д) зто линейная комбинация состояний с ж=+1' и с в»= — 1. Другая комбинация дает «у»-состояние. Точнее, имеется в виду, что состояния ше, тем дальше амплитуды «отталкиваются» от центра. Если вы посмотрите, как ' радиальные функции р' (г) меяяются при малых г, то из (17.53) окажется, что и Иаи далее и — -и —= =в :-:д — "я Р„(г) г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
