Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Расширим рассуждения з 4 на систему со спином у', которую будем считать составленной нз 2у объектов со спином Ь. Состояние с т=-у имело бы вид ( +++... +) (с у па|осами). Для т=-у' — 1 было бы 2у членов типа ( ++...+,' — ), ~ .Р+...+ — —,' ) и т. д. Рассмотрим общий случай, когда имеется г плюсов и г минусов, причем г+з=2у. При повороте вокруг оси з от каждого из г плюсов появится множитель е+тауз. В итоге фаза изменится на У (гу2 — ау2) ~.
Мы видим, что (16.69) Как и в случае У=э/э, пан дое состояние с определенным т должно быть суммой всех состонний с одними и теми же г и э, взятых со знаком плюс, т. е. состояний, отвечающих всевозможным перестановкам с г плюсами и з минусами. Мы считаем, что вам известно, что всего таких сочетаний есть (г+а)!уг!э!. Чтобы нормировать каждое состояние, надо эту сумму разделить на корень квадратный из этого числа. Можно написать 1 (г+э)!1 — 'у — 1 '( ~+, +...++ — — —...— — )+ г! ц + """'"'"н"'"и~ 1=В плюсов н минусов( где (16.61) * Первоначально материал этого добавления входил в текст ледцнн, но потом мы поняли, что не стоит включать в нее такое подробное наложение общего случая.
165 Введем еще новые обозначения, они нам помогут в счете. Ну а поскольку мы уж определили состояния при помощи (16.60), то два числа г и з определяют состояние ничуть не хуже, чем у и т. Мы легче проследим за выкладками, если обозначим (у, т)=(,'), (16.62) где (сел. (16.61)) г=у+т, з=у — т. Далее, (16.60) мы запишем, пользуясь слгелуиальным обозначением )/ т> =)е >= ~ г~ .~'~ (~+> "( > )пересе ° (16.66) Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на + "/,. Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз Улг=(г+з)!/г(з! слагаемых.
Если сопоставить (16.63) с (16.60)„то ясно, что Ц +) ) ) )пересе — это краткая запись выражения ( )+ + — — >+ Осе исрсстаисзки) ур е где ДР— количество различных слагаемых в скобках. Эти обозначения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он получается в г-й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в з-й степени, в каком бы порядке зги анаки ни стояли.
Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси у на угол В. Нас интересует Л (О) ! ,'). Оператор Л (О), действуя на каждый ~ +), дает л,(в) ~+>=~+>с+~ — >л, (16. 64) где С=-созв/2 и Ю=зупв/2. Когда же Л (О) действует на ) — ), зто приводит к л,(в) ~ — >=! — >с — ~+>л. Так что искомое выражение равно (с+е)11 Ч* Л» (О) ~ ) = [ < ~ ~ Л» (О) (1+) ) )')пересе = - ['"„+,')'1 '((л,(в) ~+»'(л,(в) ~ — >)').„,= * ((/+ > С+( — > Ю)'(( — > С вЂ” )+> Я)')пересе. (16.65) ме Л,(В) ~;> = ~ (А,,~+>'~ >")„„„,. (16.66) Теперь рааделим каждое Л„на множитель [(г'+з')!/г'(з'!)'Ь п обозначим частное через В,. Тогда (16.66) превратится в 1+В л, (в) |; > = ~; В„~(";+,;;-"~ "П+ >'~ — >') „„„,. (16.67) г'= о !Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет В, .) Если так определить В,, то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раа состояниями (,' ).
Итак, имеем л, (в) );> = Я в„. ~,"' >, (16. 68) г'=о где з' всегда равняется г+з — г'. А это, конечно, означает, что коэффкциенты В; и есть искомые матричные элементы <,",') л, (в) (',"> =в„.. (16.69) Теперь, чтобы найти Вя, остается немного: лишь пробиться через алгебру. Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что г'+г'=г+г, мы видим, что В; — зто просто коэффициент при акЬ' в вы- ражении ( —;, ) (аС+ ЬВ)" (ЬС вЂ” аЯ)*. (16.70) Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному 11ьютона и собрать члены с данными степенями а и Ь.
Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при агЬ' в (16.70) имеет вид з Ц ~*ч ( 1)зяг-г'+ы Се+я — эз ~'Ц "*ч з -г' я — з ы и 1,~ ~ (г — г'+й)1(г' — ь)! [8 — а)|ы (16. 71) 167 Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. Появятся члены со всеми степенями )+) от нуля до г+з. Посмотрим, какие члены дадут г'-ю степень )+), Они всегда будут сопровождаться множителем типа ~ — >", где во=27 — г'. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа ~+ >"' ( — >" с численными коэффициентами А,, куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и Я.
Уравнение (16.65) тогда будет выглядеть так: Сумма берется по всем целым л, при которых аргументы факто- риалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выражение и есть искомый матричный элемент. В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначениям 1, т и т', пользуясь формулами г=)+т, г =!+т, з 1 — гв, 3 =1 — т ° Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из $4. Добггвлеггме л. Сохранение четности при испускании фотона В 4 1 мы рассмотрели непускание света атомом, который переходит из возбужденного состояния со спином 1 в основное состояние со свином О.
Если спин возбужденного состояния направлен вверх (т=+1), то атом моягет излучить вверх вдоль оси +э правый фотон или вдоль осн — з левый. Обозначим эти два состояния фотона ! В„) и ~ 1,„). Ни одно иэ ннх не обладает определенной четкостью. Если оператор четности обозначить Р, то Р ) В,„)=) Л,„) и Р ) 1„„)=) Л,„). Что же тогда будет с нашим прежним доказательством, что атом в состоянии с определенной энергией должен иметь определенную четность, и с наппгм утверждением, что четность в атомных процессах сохраняется? Разве не должно конечное состояние в атой задаче (состояние после излучения фотона) иметь определенную четность? Да, должно, если только мы рассмотрим иолкое конечное состояние, в которое входят амплитуды излучения фотонов под всевозможными углами. А в $ 1 мы рассматривали только часть полного конечного состояния.
Если вы хотите, можно рассмотреть только конечные состояния, у которых действительно определенная четность. Наиример, рассмотрим конечное состояние ) гр„), у которого есть некоторая амплитуда и оказаться правым фотоном, движущимся вдоль оси +з, н некоторая амплитуда р' оказаться левым фотоном, движущимся вдоль оси — з, Можно написать ! гр„> = а ~ В„> + р! Х,„>. Оператор четности, действуя на это состояние, дает Р ! г(г„> = а ( 1,,„> + р ) В„).
(16.72) (16.76) ) ф„> = а ( ) В„) + ~ Еээ >), (16.74) $68 Это состояние совпадает с г-~гр„> либо при р' а, либо при 'р = — а. Так что конечное состояние с положительной четностью таково: а состояние с отрицательной четностью ',~р,, >=а((Л„> — (Т,,„>). (16.75) Далее, мы хотим рассмотреть распад возбужденного состояния с отрицательной четностью на основное состояние с положительной четностью и на фотон.
Если четность должна сохраниться, то конечное состояние фотона должно иметь отрицательную четкость. Оно обязано быть состоянием (16.75). Если амплитуда того, что будет обнарунгено ( Л„,), есть а, то амплитуда того, что будет обнаружено ) 7,,„), есть — а. Теперь обратите внимание на то, чтб получается, если мы проводим поворот на 180' вокруг оси у. Начальное возбужденное состояние атома становится состоянием с т= — 1 (согласно табл. 15.2, стр. 129, знак не меняется). Л поворот конечного состояния дает Л„(180') ~~)ь, >=а((77„„> — (Л„>). (16.76) Сравнивая зто с (16.75), мы увидим, что при выбранной нами четности конечного состояния амплитуда того, что при начальном состоянии с т= — 1 будет получен левый фотон, идущий в направлении +з, равна со знаком минус амплитуде того, что при начальном состоянии с вг=-+1 будет получен правый фотон, идущий в направлении — г.
Это согласуется с результатами, полученными в з 1. Глава ~7 АТОМ ВОДОРОДА И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА ф 1. Урпвнентге Шредтгнгера для атома водотгода Самым замечательным успехом в истории квантовой механики было объяснение всех деталей спектров простейших атомов, а также периодичностей, обнаруженных в таблице химических элементов. В атой главе в нашем курсе квантовой механики мы наконец-то подойдем к этому важнейшему достижению и расскажем об объяснении спектра атомов водорода. Кроме того, эдесь мы расскажем и о качественном объяснении таинственных свойств химических элементов.
Для этого мы подробно научим поведение электрона в атоме водорода: в первую очередь мы рассчитаем его распределения в пространстве, следуя тем представлениям, которые были развиты в гл. 14. Для полного описания атома водорода следовало бы учесть движения обеих частиц — как протона, так и электрона. В квантовой механике в этой эадаче следуют классической идее об описании движения каждой иэ частиц по отношению к их центру тяжести. Однако мы не будем этого делать. Мы просто используем приближение, в котором протон считается очень тяжелым, настолько тяжелым, что он как бы эакреплен в центре атома. Мы сделаем еще и другое приближение: эабудем, что у электрона имеется спин и что его надлежит описывать законами релятивистской механики.
Это потребует внесения небольших поправок в наши выкладки, поскольку мы будем пользоваться нерелятивистским уравнением Шредингера и пренебрежем магнитными эффектами. Небольшие магнитные эффекты появляются иэ-эа того, что протон с точки эрения электрона есть циркулирующий по кругу эа- 170 э 1. Уравнение Шредингера для атома водорода э 2. Сферически симметричные решения э 3. Состояния с угловой зависимостью э 4. Общее решен1 для водорода й 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
