Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е. энергия п-го уровня равна 1 Я вЂ” Я и Кстати, ничего мпстического в отрицательных энергиях нет. Они отрицательны просто потому, что когда мы решили писать г'=- — ез/г, то тем самым в качестве нуля энергии выбрали знер- 176 Но это как раз коэффициенты разложения в ряд е м, чзупкция л оказывается быстро растущей зкспонентой. Даже после умножения на е "" получающаяся функция /(о) (см. (17.14)) будет при больших р меняться как е"'. Мы нашла математическое решение, но оно не является физическим.
Оно представляет случай, когда электрону менее всего вероятно очутиться вблизп протона! Чаще всего он вам повстречается на очень больших расстояниях р. А волновая функция для связанного электрона должна при больших р стремиться к нулю. Придется подумать, нельзя ли как-нибудь оомануть решение. Оказывается, можно. Посмотрите! Если бы, по счастью, оказалось, что и=1/и, где и — любое целое число, то уравненге (17.22) привело бы к ав+,.— — О. И все высшие члены обратились бы тоже в нуль. Вышел бы не бесконечный ряд, а конечный мпогочлен.
Любой многочлен растет медленнее, чеы е"', поэтому множитель е "" наверняка забьет его при больших р, и функция / при больших р будет стремитьсл к нулю. Единственные решения для связанных состояний это те, для которых я=1/я, где и=1, 2, 3, 4 и т. д. Оглядываясь на уравнение (17.16), мы видим, что у сферически симметричного волнового уравнения могут существовать решения для связанных состояний лишь при энергиях (17. 25) где а.(р)= Хсзр" Ф=~ (17. 26) п 2 (лга — О аэ„-— л(а-).1) пь' Пока нас интересует главным образом относительная вероятность обнаружить алектрон в том или ином месте, можно в качестве аг выбирать любое число.
Возьмем, например, а,= — 1. (Обычно выбирают а, так, чтобы волновая функция была «нормирована», т. е. чтобы полная вероятность обнаружить алек- трон где бы то ни было в атоме была равна единице. Мы в этом сейчас не нуждаемся.) В пившем энергетическом состоянии я=1 и ф,(р) =е-'. (17.28) Если атом водорода находится в своем основном (наиболее низком энергетическом) состоянии, то амплитуда того, что электрон будет обнаружен в каком-то месте, экспоненциально падает с расстоянием от протона. Вероятнее всего встретить его вплотную близ протона. Характерное расстояние, на котором он встречается, составляет около одного р, или одного боровского радиуса гз. Подстановка а=2 дает следующий более высокий уровень.
В волновую функцию этого состояния входят два слагаемых. Она равна фз (Р) = (1 — Я е-П'. (17.29) 177 гию электрона, расположенного вдалеке от протона. Когда ои ближе, то его энергия меньше, т. е. ниже нуля. Энергия ниже всего (самая отрицательная) при п=1 и воарастает и нулю с ростом п. Еще до открытия квантовой механики экспериментальное изучение спектра водорода показало, что уровни энергии описываются формулой (17.24), где Лл, как это следует из измерений, равно примерно 13,6 зв. Затем Бор придумал модель, которая привела к тому же уравнению (17.24) и предсказала, что Ел должно равняться те'~2$'. Первым большим успехом теории Шредингера явилось то, что она смогла воспроизвести этот результат прямо из основного уравнения движения электрона.
Теперь, когда мы рассчитали наш первый атом, давайте рассмотрим свойства полученного нами решения. Объединим все выделившиеся по дороге факторы н выпишем окончательный вид решения: бд и е. !7.2. Волновые фрввялии трех первых состоя- ний атояа водорода с 1 = О. Масштабы вавбраны ваап, птобы полные вероятности совпадали, Волновая фупкция для следующего уровня равна в(в (р) =- (1 — — Р+,— ра) е ве. 2 (17.30) Эти три волновые функции начерчены на фнг. 17.2. Общая тенденция уже видна. Все волновые функции при больших р, поколебавшись несколько раз, приближаются к нулю.
И действительно, число «нзгибов» у в)в„как раз равно и, нли, если угодно, число пересечений оси абсцисс — число нулеи — равно и — 1. ф 3. Состпоянгбя с угловой вавмсимостяью 178 Мы нашли, что в состояниях, описываемых волновой функцией вр, (г), амплитуда вероятности обнаружить электрон сферически симметрична; она зависит только от г — расстояния до протона. Момент количества движения таких состояний равен нулю.
Теперь займемся состояниями, у которых какой-то момент количества движения имеется. Можно было бы, конечно, просто исследовать чисто математическую задачу отыскания функция от г, 0 и вр, удовлетворяющих дифференциальному уравнению (17 7), добавив только физическое условие, что единственно приемлемые для нас функции — зто такие, которые при больших г стремятся к нулю. Так почти всегда и поступают. Но мы попробуем несколько сократить наш путь и воснользоваться тем, что мы уже знаем, именно тем, что нам иввестно, как амплитуды зависят от пространственных углов.
Атом водорода в том или ином состоянии — это частица с определенным «олином» у — квантовым числом полного момента количества движения. Часть этого спина возникает от собственного спина электрона, другая — от движения электрона, Поскольку каждан из этих частей действует (в очень хорошем приближении) независимо, то мы по-прежнему будем игнорировать спиновую часть и учтем только «орбитальный» момент. Впрочем, это орбитальное движение в точности подобно спину. Скажем, если орбитальное квантовое число есть?, то г-компонента момента количества движения может быть 1, ? — 2,..., — Р.
(Ыы, как обычно, измеряем все в единицах й.) Кроме того, по-прежнему годятся зсе наши матрицы поворота и прочие известные свойства. (Начиная с этого места, мы действительно начнем пренебрегать олином электрона; говоря о «моменте количества движения», мы будем иметь в виду только орбитальную его часть.) Поскольку поле с потенциалом г', в котором движется электрон, зависит только от г, а не от О и не от ~у, то гамнльтониан симметричен относительно поворотов. Отсюда следует, что и момент количества движения и все его проекции сохраняются.
Это не есть особое свойство кулонова потенциала е»/г; оно справедливо при движении в любом «центральном поле» вЂ” поле, зависящем только от г. Представим себе некоторое возможное состояние электрона; внутренняя угловая структура этого состояния будет определяться квантовым числом ?. В зависимости от «ориентации» полного момента количества движения относительно оси г его проекция и на ось г может равняться одному из 2?+$ чисел между +? и — ?. Пусть, например, т=1. С какой амплитудой электрон окажется на оси г на расстоянии г от начала? С нулевой. Электрон на оси з пе может иметь какого-либо орбитального момента относительно этой оси. Но пусть тогда т=-О.
Вот это другое дело; теперь уже может появиться не равная нулю амплитуда того, что электрон окажется на оси з на таком-то расстоянии от протона. Обозначим эту амплитуду Р, (г). ртов амплитуда того, что алектрон будет обнаружен на расстоянии г по оси з, когда атом находится в состоянии ) 1, О), т. е. в состоянии с орбитальным моментом? и его з-компонентой т=0. А если нам иавестно Р, (г), то известно все. Теперь уже з любом состоянии ( 1, л») мы можем уанать амплитуду ф, (г) того, что электрон обнаружится в произвольно»» месте атома.
Как мы это узнаем? А вот следите. Пусть у нас есть атом в состоянии ( 1, т). Какова амплитуда того, что электрон обнаружится под углом 9, гр и на расстоянии г от начала? Проведите новую ось г, скажем г', под этим углом (фиг. 17.3) и задайте вопрос: какова амплитуда того, что электрон окажется на новой оси з' на расстоянии г? Мы знаем, что он не сможет оказаться 179 ср и е, !7,8. Точка (к, у, е) лежит на оси с' система координат а', у', с', на оси г', если только т' — его г'-компонента момента количества движения — не равна нулю. Когда же т'=-О, то амплитуда того, что электрон обнаружится на оси з, есть Г, (г).
Значит, результат получится перемножением двух амплитуд. Первая это амплитуда того, что атом, находящийся в состоянии ( 1, т) относительно оси г, окажется в состоянии ! 1, т'=0) относительно оси г'. Умножьте эту амплитуду на Л е (г) и вы получите амплитуду ер, (г) того, что электрон обнаружится в точке (г, О, ср) относйтельно первоначальной системы осей. Давайте все это распишем. Матрицы преобразования для поворотов мы уже вычислили. Чтобы перейти от системы х, у, г к системе х', у', г' (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
