Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 22
Текст из файла (страница 22)
И если мы возьмем достаточно короткий отрезок пути— между очень близкими друг к другу точками а и Ь,— то уже неважно, как меняется потенциал от точки к точке вдали от этого места, потому что, проходя весь ваш коротен. кий отрезочек, вы почти не сходите с места.
Единственное, что вам нужно учитывать,— это изменение первого порядка малости в потенциале. Ответ может зависетв только от производной потенциала, а не от потенциала в других местах. Так, утверждение о свойстве всего пути в целом становится утверждением о том, что происходит на коротком участке пути, т. е. дифференциальным утверждением. И эта дифференциальная фор- мулировка включает производные от потенциала, т. е. силу в данной точке.
Таково качественное объяснение связи между законом в целом и дифференциальным законом. Когда мы говорили о свете, то обсуждали также вопрос: как все-таки частица находит правильный путь? С дифференциальной точки зрения это понять легко.
В каждый момент частица испытывает ускорение и знает только то, что ей положено делать в это мгновение. Но все ваши инстинкты причин и следствий встают на дыбы, когда вы слышите, что частица «решает», какой ей выбрать путь, стремясь к минимуму действия. Уж не «обнюхивает» ли она соседние пути, прикидывая, к чему они приведут — к большему или к меньшему действию? Когда мы на пути света ставили экран так, чтобы фотоны не могли перепробовать все пути, мы выяснили, что они не могут решить, каким путем идти, и получили явление дифракцип.
Но верно ли это и для механики? Правда ли, что частица не просто «идет верным путем», а пересматривает все другие мыслимые траектории? И что если, ставя преграды на ее пути, мы не дадим ей заглядывать вперед, то мы получим некий аналог явления дифракции? Самое чудесное во всем этом — то, что все действительно обстоит так. Именно это утверждают законы квантовой механики. Так что наш принцип наименыпего действия сформулирован не полностью. Он состоит не в том, что частица избирает путь наименьшего действия, а в том, что она «чует» все соседние пути и выбирает тот, вдоль которого действие минимально, и способ этого выбора сходен с тем, каким свет отбирает кратчайшее время. Вы помните, что способ, каким свет отбирает кратчайшее время, таков: если свет пойдет по пути, требующему другого времени, то придет он с другой фазой.
А полная амплитуда в некоторой точке есть сумма вкладов амплитуд для всех путей, по которым свет может ее достичь. Все те пути, у которых фазы резко различаются, ничего после сложения не дают. Но если вам удалось найти всю последовательность путей, фазы которых почти одинаковы, то мелкие вклады сложатся, и в точке прибытия полная амплитуда получит заметное значение. Важнейшим путем становится тот, возле которого имеется множество близких путей, дающих ту же фазу. В точности то же происходит и в квантовой механике.
Законченная квантовая механика (нерелятнвистская и пренебрегающая спином электрона) работает так: вероятность того, что частица, выйдя из точки 1 в момент Гм достигнет точки 3 в момент г„равна квадрату амплитуды вероятности. Полная амплитуда может быть записана в виде суммы амплитуд для всех возможных путей — для любого пути прибытия. Для любого х(~), которое могло бы возникнуть для любой мыслимой воображаемой траектории, нужно подсчитать амплитуду. Затем 109 их все нужно сложить. Что же мы примем за амплитуду вероятности некоторого пухи? Наш интеграл действия говорит нам, какой обязана быть амплитуда отдельного пути.
Лмплитуда пропорциональна е'з~~, где Ь' — действие на этом пути, Зто значит, что если мы представим фазу аьшлитуды в виде комплексного числа, то фазовый угол будет равен $Гй. Действие Ю имеет размерность энергии на время, и у постоянной Планка размерность такая ясе. Это постоянная, которая определяет, когда нужна квантовая механика. И вот как все это срабатывает. Пусть для всех путей действие о будет весьма болыпим по сравнению с числом Й. Пусть какой-то путь привел к некоторой величине амплитуды. Фаза рядом проложенного пути окажется совершенно другой, потому что при огромном о' даже незначительные изменения о' резко меняют фазу (ведь Ь чрезвычайно мало). Значит, рядом лежащие пути при сложении обычно гасят свои вклады.
И только в одной области это не так — в той, где и путь и его сосед— оба в первом приближении обладают одной и той же фазой (или, точнее, почтя одним и тем же действием, меняющимся в пределах Ь). 'Только такие пути и принимаются в расчет. Л в предельном случае, когда постоянная Планка Ь стремится к нулю, правильные квантовомеханнческне законы можно подытожить, сказав: «Забудьте обо всех этих амплитудах вероятностей. Частица и впрямь движется по особому пути— именно по тому, по которому о в первом приближении не меняется».
Такова связь между принципом наименьшего действия и квантовой механикой. То обстоятельство, что таким способом можно сформулировать квантовую механику, было открыто в 1942 г. учеником того же самого учителя, мистера Надера, о котором я вам рассказывал.
(Первоначально квантовая механика была сформулирована при помощи дифференциального уравнения для амплитуды (Шредингер), а также при помощи некоторой матричной математики (Гейзенберг).1 Теперь я хочу потолковать о других принципах минимума в физике. Есть очень много интересных принципов такого рода. Я не буду их все перечислять, а навозу еще только один. Позже, когда мы доберемся до одного физического явления, для которого существует превосходный принцип минимума, я расскажу вам о нем. А сейчас я хочу показать, что необязательно описывать электростатику при помощи дифференциального уравнения для поля; можно вместо этого потребовать, чтобы некоторый интеграл обладал максимумом или минимумом.
Для начала возьмем случай, когда плотность зарядов известна повсюду, а нужно найти потенциал ш в любой точке пространства. Вы уже знаете, что ответ должен быть такой; у ~р= — —. 2 зз ' ИО Другой способ утверждать то же самое заключается в следующем: надо вычислить интеграл уе ь'~= 2 ) (7Ф)'ог ) РчкП" это объемный интеграл.
Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала ~Р(х, р, г) это выражение достигает минимума. Мы можем показать, что оба зти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию ~р. Мы хотим показать, что когда в качестве ~Р мы возьмем правильное значение потенциала у плюс малое отклонение ), то в первом порядке малости изменение в Пз будет равно нулю. Так что мы пишем Ч=Ф+Й здесь ф — это то,что мы ищем; но мы проварьируем ~Р, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация 0* оказалась первого порядка малости. В первом члене Учнам нужно написать (Р Р)'= (Р Р)'+2Р Р.И+(И)'.
Единственный член первого порядка, который будет меняться, таков: 2рф И Во втором члене У* подынтегральное выражение примет вид РЧ = РЧ+ ) Р1~ изменяющаяся часть здесь равна Рт. Оставляятолько меняющиеся члены, получим интеграл йП'=')(езрр р! — И)И' Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по у'.
Посмотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно дх д! дф д/ дх д1 Л вЂ” += — +Д вЂ”, дз дз дд ду аз дз ' Это нужно проинтегрировать по х, р и по з. И здесь напрашивается тот же фокус: чтобы избавиться от дрдх, мы проинтегрируем по х по частям. Это приведет к добавочному дифференцированию у по х. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по ~. Мы пользуемся равенством д~р д) дф г д~~р = — ь=у= — 3 у= )*. ах дх дх ,) дхз Проинтегрированный член равен нулю, так как мы считаем ~ равным нулю на бесконечности.
(Зто отвечает обращеяию ц в нуль при г, и ~,. Так что наш принцип более точно формулируется следующим образом: У* для правильного ~р меньше, чем для любого другого фх, у, з), обладающего теми же значениями на бесконечности.) Затем мы проделаем то же с у и с з. Наш интеграл ЬУ* обратится в ЛП' = ) ( — азр'т — р) Ыр Чтобы зта вариация была равна нулю при любом произвольном /, коэффициент при / должен быть равен нулю. Значит, 7 я~=- — — .
Р— со Мы вернулись к нашему старому уравнению. Значит, иа1ве «минимальное» предлоясение верно. Его можно обобщить, если слегка изменить выкладки. Вернемся назад и проинтегрируем по частям, не расписывая все покомпонеитно. Начнем с того, что напишем следующее равенство: т' (г7т) = 71'И'+!р'Ч' Продифференцировав левую часть, я могу показать, что она в точности равна правой. Зто уравнение подходит для того, чтобы провести интегрирование по частям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
