Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Значит, функция в том месте, где был скачок, должна оказаться нулем. Но ведь скачок можно было сделать в любом месте; значит, Г должна быть нулем всюду. Мы видим, что если наш интеграл равен нулю при какой угодно ц, то коэффициент при ц должен обратиться в нуль. Интеграл действия достигает минимума на том пути, который будет удовлетворять такому сложному дифференциальному уравнению: На самом деле оно не так уж сложно; вы его уже встречали прежде. Зто просто г'=пга. Первый член — это масса, умноженнан на ускорение; второй — это производная от потенциальной энергии, т.
е. сила. Итак, мы показали (по крайней мере для консервативной системы), что принцип наименьшего действия приводит к правильному ответу; он'утверждает, что путь, обладающий минимумом действия,— это путь, удовлетворяющий закону Ньютона. Нужно сделать еще одно замечание. Я не доказал, что это мггнизгум. Может быть, ато максимум. На самом деле это и не обязательно дол»кон быть минимум. Здесь все так же, как в «прякцвпе кратчайпгего времени», который мы обсуждали, изучая оптику.
Там тоже мы сперва говорили о «кратчайшем» времени. Однако выяснилось, что бывают положения, в которых это время не обязательно «кратчайшее». Фундаментальный принцип заключается в том, чтобы для любых отклонений первого порядка от оптического пути изменения во времени были бы равны нулю; здесь та же самая нсгория. Под «минимумом» мы на самом деле подразумеваем, что в первом порядке малости 104 изменения величины Я при отклонениях от пути должны быть равны нулю. И это не обязательно «мииимум».
Теперь я хочу перейти к некоторым обобщениям. В первую очередь всю эту историю можно было бы проделать и в трех измерениях. Вместо простого х я тогда имел бы х, р и з как функции 1, и действие выглядело бы посложнее. При трехмерном движении зы должны использовать полную кинетическую энергию: (гп!2), умноженное на квадрат всей скорости.
Иначе - '=И®'+('-.")'+ й'1 Кроме того, потенциальная энергия теперь является функцией х, у и з. А что моя«но сказать о пути? Путь есть некоторая кривая общего вида в пространстве; ее не так легко начертить, но идея остается прежней. Л как обстоит дело с»)? Что ж, и ц имеет три компоненты. Путь можно сдвигать и по х, и по у, и по г,или во всех трех направлениях одновременно. Так что «) теперь вектор. От этого сильных усложнений не получается. Раз нулю должны быть равны лишь вариации первого порядка, то можно провести расчет последовательно с тремя сдвигами. Сперва можно сдвинуть») только в направлении х и сказать, что коэффициент должен обратиться в нуль.
Получится одно уравнение. Потом мы сдвинем ц в направлении р и получим второе. Затем сдвинем в направлении г и получим третье. Можно все, если угодно, проделать в другом порядке. Как бы то ни было, возникает тройка уравнений. Но ведь аакон Ньютона — зто тоя«е три уравнения в трех измерениях, по одному для каждой компоненты. Вам предоставляется самим убедиться, что это все действует и в трех измерениях (работы здесь не так много).
Между прочим, можно взять какую угодно систему координат, полярную, лтобую, и сразу получить законы Ньютона применительно к атой системе, рассматривая, чтб получится, когда произойдет сдвиг») вдоль радиуса или по углу, и т.д. Метод может быть обобщен и на произвольное число частиц. Если, скажем, у вас есть две частицы и между ними действуют какие-то силы и имеется взаимная потенциальная энергия, то вы просто складываете их кинетические энергии и вычитаете из суммы потенциальную энергию вааимодействия.
А что зы варьируете? Пути обеих частиц. Тогда для двух частиц, дви»кущихся в трех измерениях, возникает шесть уравнений. Вы можете варьировать полон<ение частицы 1 в направлении х, в направления р и в направлении з, и то же самое проделать с частицей 2, так что существует шесть уравнений. И так и должно быть. Трп уравнения определяют ускорение частицы 1 череа силу, действующую на нее, а три других — ускорение частицы 2 из-за силы, действующей на нее. Следуйте всегда тем же правилам игры, и вы получите закон Ньютона для произвольного числа частиц. Я сказал, что мы получим закон Ньютона.
Зто не совсем верно, потому что в закон Ньютона входят и неконсервативные силы, например трение. Ньютон утверждал, что та равно всякой г'. Принцип же наименьшего действия справедлив только для консервативных систем, таких, где все силы могут быть получены из потенциальной функции. Но ведь вы знаете, что на микроскопическом уровне, т.
е. на самом глубинном физическом уровне, неконсервативных сил не существует. Неконсервативные силы (такие, как трение) появляются только от того, что мы пренебрегаем микроскопическими сложными эффектами: просто слишком много частиц приходится анализировать. Фундаментальные же законы могут быть выражены в виде принципа наименьшего действия. Позвольте перейти к дальнейшим обобщениям. Положим, нас интересует, чтб будет, когда частица движется релятивистски. Пока мы не получили правильного релятивистского уравнения движения; У=та верно только в нерелятивистских движениях.
Встает вопрос: существует ли в релятивистском случае соответствующий принцип наименьшего действия? Да, существует. Формула в релятивистском случае такова: и и / Л= — т,с'~ 1/ 1 — —,й — у~[ф(х, у, г, г) — ч А(х, р, з, 1)]й. и Первая часть интеграла действия — это произведение массы покоя тз на сз и на интеграл от функции скорости ]/1 — из/с'. Затем вместо того, чтобы вычитать потенциальную энергию, мы имеем интегралы от скалярного потенциала ~р и от векторного потенциала А, умноженного на ч.
Конечно, здесь приняты во внимание только электромагнитные силы. Все электрические и магнитные полн выражены в терминах ф и А. Такая функция действия дает полную теорию релятивистского двиязения отдельной частицы в электромагнитном поле. Конечно, вы должны понимать, что всюду, где я написал т, прежде чем делать выкладки, следует подставить ЛхЯГ вместо э„и т. д. Кроме того, там, где я писал просто х, у, з, вы должны представить себе точки в момент Ф: х(1), у(8), з(8). Собственно, только после таких подстановок и замен ч у вас получится формула для действия релятивистской частицы. Пусть самые умелые из вас попытаются доказать, что эта формула для действия действительно дает правильные уравнения движения теории относительности. Позвольте лишь посоветовать для начала отбросить А, т.
е. обойтись пока без магнитных полей. Тогда вы должны будете получить компоненты уравнения дви- $06 жения лрЯг= — д~чр, где, как вы, вероятно, помните, р=л»чф'1 — гас». Включить в рассмотрение векторный потенциал А намного труднее. Вариации тогда становятся несравненно более сложными. Но в конце сила оказывается равной тому, чему следует: д(Е+»ХВ). Но позабавьтесь с этим сами. Мне хотелось бы подчеркнуть, что в общем случае (к примеру, в релятивистской формуле) под интегралом в действии уже не отоит разность кинетической и потенциальной энергий. Это годилось только в нерелятивистском приблия«енин.
Например, член т«с«)/1 — оЧс» — это не то, что называют кинетической энергией. Вопрос о том, каким должно быть действие для произвольного частного случая, может быть решен после некоторого числа проб и ошибок. Это задача того же типа, что н определение, каковы должны быть уравнения движения. Вы просто должны поиграть с известными вам уравнениями и посмотреть, можно ли их написать в виде принципа наименьшего действия. Еще одно замечание по поводу терминологии.
Ту функцию, котору»о интегрируют по времени, чтобы получить действие Я, называют лагранжианом .У. Это функция, зависящая только от скоростей и положений частиц. Так что принцип наименьшего действия записывается также в виде Я= 1.У(хп р») г)1, где под х; и и; подразумеваются все компоненты координат и скоростей. Если вы когда-нибудь услышите, что кто-то говорит о «лагранжиане», знайте, что речь идет о функции, применяемой для получения о'. Для релятивистского движения в электромагнитном поле / У= — т«с» ~/ 1 — —,— д(<р+ч А). с« Кроме того, я должен отметить, что самые дотошные и педантичные люди не называют о действием. Его именуют «первой главной функцией Гамильтона».
Но читать лекцию о «принципе наименьшей первой главной функции Гамильтона» было свыше моих сил. Я назвал это «действием». Да к тому же все больше и больше людей называют это «действием». Видите ли, исторически действием было названо нечто другое, не столь полезное для науки, но я думаю, что разумнее изменить определение. Теперь и вы начнете именовать новую функцию действием, а вскоре и все вообще станут называть ее этим простым именем. Теперь я хочу сообщить.вам по поводу нашей темы кое-что, похожее на те рассуждения, которые я вел по поводу принципа 107 кратчайшего времени. Существует разница в самом существе закона, утверждающего, что некоторый интеграл, взятый от одной точки до другой, имеет минимум,— закона, который сообщает нам что-то обо всем пути сраау, и закона, который говорит, что когда вы двигаетесь, то, значит, есть сила, приводнщая к ускорению.
Второй подход докладывает вам о каждом вашем шаге, он прослеживает ваш путь пядь за пядью, а первый выдает сразу какое-то общее утверждение обо всем пройденном пути. Толкуя о свете, мы говорили о связи этих двух подходов. Теперь я хочу объяснить вам, отчего должны существовать дифференциальные законы, если имеется такой принцип — принцип наименьшего действия. Причина вот в чем: рассмотрим действительно пройденный в пространстве и времепи путь. Как и прежде, обойдемся одним измерением, так что можно будет начертить график зависимости х от в'.
Вдоль истинного пути Я достигает минимума. Положим, что у нас есть этот путь и что он про. ходит через некоторую точку а пространства и времени и через другую соседнюю точку Ь. Теперь, если весь интеграл от 1, до Г, достиг минимума, необходимо, чтобы интеграл вдоль маленького участочка от а до Ъ тоже был минимальным. Не может быть, чтобы часть от а до Ь хоть чуточку превосходила минимум. Иначе вы могли бы подвигать туда-сюда кривую па этом участочке и снизить немного значение всего интеграла. Значит, любая часть пути тоже должна давать минимум. И это справедливо для каких-угодно маленьких долек пути. Поэтому тот принцип, что весь путь должен давать минимум, молвно сформулировать, сказав, что бесконечно малая долька пути — это тоже такая кривая, на которой действие минимально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
