Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(Хотя на самом деле нулевое решение есть одно из возможных решений.) Имеются решения, представляющие некоторую совокупность ы и А, которые меняются со временем, но всегда движутся со скоростью с. Поля передвигаются вперед через свободное пространство, как в нашем примере в начале главы. С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение 1Ч, мы смогли записать нолевые уравнения в терминах А и у в форме, которая проста и сразу же позволяет выявить существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные уравнения в терминах Е и В. Но они — по ту сторону горы, на которую мы уже вскарабкались. Теперь мы можем посмотреть вокруг.
Все будет выглядеть иначе — нас ожидают новые, прекрасные пейзажи. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ е Когда я учился в школе, наш учитель физики, по фамилии Бадор, однажды зазвал меня к себе после урока и сказал: «У тебы вид такой, как будто тебе все страшно надоело; послушай-ка об одной интересной вещие. И он рассказал мне нечто, что мпе показалось поистине захватывагощим. Даже сейчас, хотя с тех пор прошла утке уйма времени, это продол'кает меня увлекать. И всякий раз, когда я вспоминаю о сказанном, я вновь принимаюсь за работу. И на этот раз, готовясь к лекции, я поймал себя на том, что вновь анализирую все то же самое.
И, вместо того чтобы готовиться к лекции, я взялся за решение новой задачи. Предмет, о котором я говорю, — это принцип наименьшего действия. " Этв лекции нинап ие связана со всем остальным. Онв прочитана лишь для того, чтобы отвлечься от основной темы и немного передохнуть. ~Перевод нвдписей, сделанных н» доске, приведен около рисунков, под стрелками. — Првль ред.) Вот что сказал мне тогда мой учитель Бадер: «Пустьн к примеру, у тебя имеется частица в поле тяжести; эта частица, выйдя откуда-то, свободно движется куда-то в другую точку. Ты подбросил ее, скажем, кверху, а она взлетела, а потом упала. не»еиееееее ° „е, е ее» Е деиженж ~ От исходного места к конечному она прошла за какое-то время.
Попробуй теперь какое-то другое движение. Пусть для того, чтобы перейти «отсюда сюда», она двигалась уя«е не так, как раньше, а вот так: ° ееебрежаенее ° деинеенж но все равно очутилась на нужном месте в тот же самый момент вромени, что и раныпе». «И вот,— продолжал учитель,— если ты подсчитаешь кинетическую энергию в каждый момент времени на пути частицы, вычтешь из нее потенциальную энергию и проинтегркруешь разность по всему тому времени, когда происходило движение, то увидишь, что число, которое получится, будет больше, чем при истинном движении частицы.
Иными словами, законы Ньтотона можно сформулировать не в виде Г=-та, а вот как: средняя кинетическая энергия минус средняя потенциальная энергия достигает своего самого наименьшего значения на той траектории, по которой предмет двигается в действительности от одного места к другому. Попробую пояснить тебе это чуть понятнее.
Если взять поле тяготения и обозначить траекторию частицы х(~), где х — высота над землей (обойдемся пока одним измерением; пусть траектория пролегает только вверх и вниз, а не в стороны), то кинетическая энергия будет "/»т(Ихой~)», а потенциальная энергия в произвольный момент времени будет равна шеях. Теперь я для какого-то момента движения по траектории беру разность кинетической и потенциальной энергий и интегрирую по всему времени от начала до конца. Пусть в начальный момент времени 1т дви.кение началось на какой-то высоте, а кон- чилось в момент 1, на другой определеннои высоте.
Тогда интеграл равен ') ~ —, т ( —,) — тухлой. Истинное движение совершается по некоторой кривой (как функция времени она является параболой) и приводит к какому-то определенному значению интеграла. Но можно представить себе какое-то другое движение: сперва резкий подъем, а потом какие-то причудливые колебания. Можно подсчитать разность потенциальной и кинетической энергий на таком пути... или на любо««другом. И самое поразитольное — что настоящий путь это тот, по которому этот интеграл наименьпьий. Давай проверим зто.
Для начала разберем такой случай: у свободной частицы вовсе нет потенциальной энергии. Тогда правило говорит, что при переходе от одной точки к другой за заданное время интеграл от кинетической энергии должен оказаться наименьшим. А это значит, что част«ща обязана двигаться равномерно. ~И это правильно, мы же с тобой знаем, что скорость в таком движении цостоянна.) А почему равномерно1 Разберемся в этом. Если бы было иначе, то временами скорость частицы превысила бы среднюю, а временами была бы ниже ес, а средняя скорость была бы одинаковоп, потому что частице надо было бы дойти «отсюда сюдаз за условленное время.
Например, осли тебе нужно попасть из дому в школу па своей машине за определенное время, то сделать зто можно по-разному: ты можешь сперва гнать, как сумасшедший, а в конце притормозить, или ехать с одинаковой скоростью, или сначала можешь даже отправиться в обратную сторону, а уж потом повернуть к школе, и т. д. Во всех случаях средняя скорость, конечно, должна быть одной и той же — частное от деления расстояния от дома до школы на время. Но и при данной средней скорости ты иногда двигался слишком быстро, а иногда чересчур медленно. А средний квадрат чего-то, что отклоняется от среднего, как известно, всегда болыие квадрата среднего; значит, интеграл от кинетической энергии при колебаниях скорости движения всегда будет больше, нежели при дав>кении с постоянной скоростью.
Ты видишь, что интеграл достигнет минимума, когда скорость будет постоянной (при отсутствии сил). !!равильный путь таков. здесь ° и | шст ° ваш Предмет же, подброшенный в поле тяжести вверх, сперва коднимаотся быстро, а потом все медленнсо. Нровсходит это потому, что ов обладает и потенциальной энергией, а наименьшего значения должна достигать разкость между кинетической и потенциальной энергиямн. Раз потенциальная энергия возрастает по мере подъема, то меньшая разность получится, если как можно быстрее достичь тех высот, где потенциальная энергия велика.
Тогда, вычтя из кинетической энергии этот высокий потенциал, мы добьемся уменьшения среднего. Так что выгоднее такой путь, который идет вверх и поставляет добрый отрицательный кусок за счет потенциальной зпергии. балхаше ь а. е. ° больше — ш в По, с другой стороны, нельзя ни двигаться слишком быстро, ни подняться слишком высоко, потому что на это потребуется чересчур много кинетической энергии. Надо двигаться достаточно быстро, чтобы подняться и спуститься за определенное время, имеющееся з твоем распоряжении. Так что не следует стараться взлететь слишком высоко, а просто надо достичь какого-то разумного уровня.
В итоге оказывается, что решение есть своего рода равновесие меябду желанием раздобыть как лшжно больше потенциальной энергии и желанием как можно сильней уменыпить количество кинетической энергии — это стремление добиться максимального уменьшения разности кинетической и потенциальной энергийд. 4 га ззьб Вот и все, что сказал мне мой учитель, потому что он был очень хорошии учитель и знал, когда пора остановиться. Сам я, увы, не таков. Мне трудно остановиться вовремя. И поэтому вместо того, чтобы просто разжечь в вас интерес своим рассказом, я хочу запугать вас, хочу, чтобы вам стало тошно от сложности жизни,— попробую доказать то, о чем я расскааал.
Математическая задача, которую мы будем решать, очень трудна и своеобразна. Имеется некоторая величина Я, называемая действием. Она равна кинетической энергии минус потенциальная, проинтегрированная по времени: с, Действве= о= ~ (к. з.— и. адй. Не забудьте, что и п. э. и к. з.— обе функции времени. Для любого нового мыслимого пути это действие принимает свое определенное значение. Математическая задача состоит в том, чтобы определить, для какой кривой это число меньше, чем для других.
Вы скажете: «О, это просто обычный пример на максимум и минимум. Надо подсчитать действие, продифференцировать его и найти минимум». Но погодите, Обычно у нас бывает функция какой-то переменной и нужно найти значение переменной, при котором функция становится наименьшей пли наибольшей. Скажем, имеется стержень, нагретый посредине.
По нему растекается тепло и в кая«дой точке стержня устанавливается своя температура. Нужно найти точку, где она выше всего. Но у нас речь идет совсем об ином — вал«дому пути в пространстве отвечает свое число, и предполагается найти тот путь, для которого это число минимально. Это совсем другая область математики. Это не обычное исчисление, а вариационное (так его называют). В этой области математики имеется много своих задач.
Скажем, окружность обычно определяют как геометрическое место точек, расстояния которых от данной точки одинаковы, но окружность можно определить и иначе: это та из кривых данной длины, которая ограничивает собою наибольшую площадь. Любая другая кривая такого же периметра ограничивает площадь меньшую, чем окружность. Так что если поставить задачу: найти кривую данного периметра, ограничивающую наибольшую площадь, то перед нами будет задача из вариационного исчисления, а не из того исчисления, к которому вы привыкли. Итак, мы хотим ваять интеграл по пути, пройденному телом, Сделаем зто так, Все дело в том, чтобы вообразить себе, что существует истинный путь и что любая другая кривая, которую мы проведем,— не настоящий путь, так что если подсчитать для нее действие, то получится число, превышающее то, которое мы получим для действия, соответствугощего настоящему пути.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
