Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 17
Текст из файла (страница 17)
следовательно, должны возникнуть электрические эффекты. Вски электрические поля образовались, они должны начинаться с нуля и меняться к какому-то значению. Возникнет некая производная дЕ/д8, которая будет вносить вклад вместе с током У в создание магнитного поля. Тан разные уравнения зацепляются друг за друга, и мы должны попытаться найти решенит для всех полей сразу.
рассматривая уравнения Максвелла порознь, нелегко сразу получить решение. Поэтомусначала мы сообщим вам ответ, а затем уже проверим, действительно ли оно удовлетворяет уравнениям. Ответ: Поле В, которое мы вычислили, иа самом деле создается прямо вблизи листа с током (для малых х). Так и должно быть, потому что если мы проведем крошечную петлю вокруг листа, то в нен не будет места для прохождения электрического потока. Но поле В подальше (для больших х) сначала равно нулю. Оно в течение некоторого времени остается нулевым, а затем внезапно включается. Короче говоря, мы включаем ток и немедленно вблизи него включается магнитное поле с постоянным значением В; затем включенное поло В распространяется от области источника.
Через некоторое время появляется однородное магнитное поле всюду, вплоть до некоторого значения х, а за ним оно равно нулю. Вследствие симметрии оно распро- 84 Вид сверху Ф и в, 18.8. То гсе, ито на 8Зиг. 18.8 (вид сверху). странвется как в положительном, так и в отрицательном х-направлении.
Поле Е делает то же самое. До момента 8=0 (когда мы включаем ток) поле повсюду равно нулю. Затем, спустя время 1, как Е, так и В постоянны вплоть до расстояния х = лц а за ним равны нулю. Поля продвигаются вперед, подобно приливной волне, причем фронт их движется с постоянной скоростью, которая оказывается равной с, но пока мы будем называть ее и.
Изображение зависимости величины Е или В от х (как онн кажутся в момент 1) показано на фиг. 18.4, а. Если снова посмотреть на фнг. 18.3 в момент ц то мы увидим, что область между х =- ~ эг «занята» полями, но они еще не достигли области за ней. Мы снова подчеркиваем — мы предполагаем, что лист заряжен, а следовательно, поля Е и В простираются бесконечно далеко в у- и 8-направлениях.
(Мы не можем изобразить бесконечный лист, поэтому мы показываем лишь то, что происходит в конечной области.) 'Теперь мы хотим проанализировать количественно то, что происходит. Чтобы сделать это, рассмотрим два поперечных разреза: вид сверху, если смотреть вниз вдоль оси у (фиг. 18.5), и вид сбоку, если смотреть назад вдоль оси з (фиг. 18.6). Начнем с вида сбоку.
Мы видим заряженный лист, движущийся вверх; магнитное поле направлено внутрь страницы для +х и от страницы для — х, а электрическое поле направлено вниз всюду, вплоть до х = ~ ег. Посмотрим, согласуются ли такие поля с уравнениями Максвелла. Сначала нарисуем одну из тех петель, которыми мы пользовались лля вычисления контурного интеграла, скажем Биб сбону Фио. 18.6.
То нее, оооо но фие. 18 д (онд сбоку). прямоугольник Г, на фиг. 18.6. Заметьте, что одна сторона прямоугольника проходит в области, где есть поля, а другая— в области, до которой поля еще не дошли. Через эту петлю проходит какой-то магнитный поток. Если он изменяется, должна появиться з. д. с.
вдоль петли. Если волновой фронт движется, мы будем иметь меняющийся магнитный поток, поскольку поверхность, внутри которой существует поле В, непрерывно увеличивается со скоростью и. Поток внутри Г, равен произведению В на ту часть поверхности внутри Го, где есть магнитное поле. Скорость изменения потока (поскольку величина В постоянна) равна величине поля, умноженной на скорость изменения поверхности. Скорость изменения поверхности найти легко. Если ширина прямоугольника Го равна Ь, то поверхность, в которой В существует, меняется как Аосте за отрезок времени Лг (см.
фиг. 18.6). Скорость изменения потока тогда равна ВВо. По закону Фарадея она должна быть равна контурному интегралу от Е вокруг Го, который есть просто ЕВ. Мы получаем равенство Е = иВ. (18,10) Таким образом, если отношение Е к В равно и, то рассматриваемые нами поля будут удовлетворять уравнению Фарадея. Но это не единственное уравнение; у нас есть еще одно, связывающее Е и В: с у;сВ= — + —. дЕ оо дс" (18.11) Чтобы применить это уравнение, посмотрим на вид сверху, изображенный на фиг. 18.5, Мы уже видели, что это уравнение дает нам значение В вблизи заряженного листа.
Кроме того, для любой петли, нарисованной вне листа, но позади волнового фронта, нет ни ротора В, ни» или меняющегося поля Е, так что уравнение там справедливо. А теперь посмотрим, что происходит в петле Г„которая пересекает волновой фронт, как показано на фиг. 18.5. Здесь нет токов, поэтому уравнение (18.11) можно записать в интегральной форме так! с» ф В Нз = и— „) Е и «!а, (18 12) Внутри гт г, Нонтурный интеграл от В есть просто произведение В на Х.
Скорость изменения потока Е возникает только благодаря продвигающемуся волновому фронту. Область внутри Гм где Е не равно нулю, увеличивается со скоростью рЬ. Правая сторона (18.12) тогда равна ттЬЕ. Уравнение это приобретает вид с»Д = Ер (18.13) Мы имеем решение, когда поля В и Е постоянны за фронтом, причем оба направлены лод прямыми углами к направлению, в котором движется фронт, и под прямыми углами друг к другу. Уравнения Максвелла определяют отношение Е к В.
Из (18.10) и (18 13) получаем ст Е=рВ и Е= — В. и Но одну минутку! Мы нашли два разных выражения для отношения Е1В. Может ли такое поле, как мы описываем, действительно существовать3 Имеется лишь одна скорость л, для которой оба уравнения могут быть справедливы, а именно р =- с. Волновой фронт должен передвигаться со скоростью с. Вот пример, когда электрическое возмущение от тока распространяется с определенной конечной скоростью с. А теперь спросим, что произойдет, если мы внезапно остановим заряженный лист, после того как он двигался в течение короткого времени Т? Увидеть, чтб случится, моя«но с помощью принципа суперпозицнн. У нас был ток, равный нулю, а затем его внезапно включали.
Мы знаем решение для этого случая. Теперь мы собираемся добавить другой ряд полей. Мы берем другой заряженный лист и внезапно начинаем его двигать в противоположном направлении с той же скоростью, только спустя время Т после начала движения первого листа. Полный ток ог двух листов вместе сначала равен нулю, потом он включается в течение времени Т, затем выключается снова, потому что оба тока погашаются.
Так мы получаем прямоугольный «импульс» тока. Новый отрицательный ток создает такие же поля, как и положительный, но с обратными знаками и, разумеется, с запаз- 87 дыванием во времени Т. Волновой фронт по-прежнему движется со скоростью с. В момент времени «он достигает расстояния х = ~ с (« — Т) (см. фиг. 18.4, б). Итак, мы имеем два «куска» полн, перемещающихся со скоростью с (см.
фиг. 18.4, а и б). Соединенные поля будут такими, как показано на фнг. 18.4, в. Для х )с«поля равны нулю, между х = с (г — Т) и х=с« они постоянны (со значенинми, которые мы нашли выше), и для х ~ с (« — Т) они слона равны нулю. Короче говоря, мы получаем маленький кусочек поля толщиной сТ, который покинул заряженный лист и передвигается через все прострапство сам по себе. Поля «оторвались»; они распространяются свободно в пространстве и больше не связаны каким-то образом с источником. Куколка превратилась в бабочку! Как же эти совокупности электрического н магнитного полей могут сохранять сами себя? Ответ: За счет сочетания эффектов из закона Фарадея УХЕ= — дВ!д«и нового члена, добавленного Максвеллом с%Х В=ЭЕ'д«. Они не могут не сохранять себн.
Предположим, что магнитное поле исчезло бы. Тогда появилось бы меняющееся магнитное поле, которое создавало бы электрическое поле. Если бы это электрическое поле попыталось исчезнуть, то изменяющееся электрическое поле создало бы магнитное поле снова. Следовательно, за счет непрерывного взаимодействия — перекачивания туда и обратно от одного поля к другому — они должны сохраняться вечно. Они не могут исчезнуть *.
Они сохраняются, вовлеченные в общна танец — одно поле создает другое, а второе создает первое,— распространяясь все дальше и дальше в пространстве. й 5. С»гот»остпь свет»««» У нас есть волна, которая уходит от материального источника и движется со скоростью с (это скорость света). Вернемся немного назад. Исторически пе было известно, что коэффициент с в уравненных Максвелла тот же, что и скорость распространения света. Зто была просто константа в уравненных. Мы назвали ее с с самого начала, так как знали, чтб в концо концов должно получиться.
Мы не думаем, что было бы разумнее сначала заставить вас выучить формулы с разными константами, а затем вернуться обратно и подставить с повсюду, где оно должно стоять. С точки зрения электричества и магнетизма, «Это пе совсем так. Поля могут быть «поглощены», если попадут в область, в которой есть ааряды. Это аначит, что где-то могут быть созданы другие полн, которые нелеп<атея на ати поля и «погасят» их в ревультате деструктивной интерференции (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
