Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 16
Текст из файла (страница 16)
18.л, Какого л~агкиткое коле сфгрически симметричного токае в которое с помощью шприца впрыскиваготся какие-то заряды и из которого заряды медленно просачиваются.) В любом случае мы имели бы ток, который повсюду направлен по радиусу наружу. Будем считать, что величина его одинакова во всех направлениях. Пусть полный заряд внутри сферы произвольного радиуса г есть г,г(г).
Вели плотность радиального тока при таком же радиусе равна 1(г), то уравнение (18.2) требует, чтобы г3 уменьшалось со скоростью — () = — 4ягк) (г). (18.5) Спросим теперь о магнитном поле, создаваемом токами в этом случае. Предположим, мы начертили какую-то петлю Г на сфере радиуса г (фиг. 18.1). Сквозь петлю проходит какой-то ток, поэтому можно ожидать, что магнитное поле циркулирует в направлении, указанном на фигуре. И сразу возникает затруднение. Как может поле В иметь какое-то особое направление на сфере? При другом выборе петли Г мы бы ааключиля, что ее направление прямо противоположно указанному.
Поэтому возможна ли какая-либо циркуляция В вокруг токов? Нас спасают уравнения Максвелла. Циркуляция В зависит не только от полного шока, проходящего сквозь петлю Г, по и от скорости изменения со временем электрического потока через нее. Должно быть так, чтобы эти две части как раз погашались, Посмотрим, получается ли это. Электрическое лоле на расстоянии г должно быть равно ~(г)/4яеогк, пока, как мы предположили, заряд распределен 79 симметрично. Поле радиально, и скорость его изменения тогда ранна (18.6) глгггг дз Сравнивая это с (18.5), мы видим, что для любого расстояния (18.7) В уразнепин1У (табл. 18.1) оба члена от источника погашаются и ротор В равен всегда нулю. Магнитного поля в нашем примере нет.
В качестве второго нашего примера рассмотрим магнитное поле провода, используемого для зарядки плоского конденсатора (фиг. 18.2). Если заряд ~) на пластинах со временем изменяется (но не слишком быстро), ток в проводах равен г1г2/ггг. Мы ожидаем, что этот ток создаст магнитное поле, которое окружает провод. Конечно, ток вблизи провода должен создавать обычное магнитное поле, оно не может зависеть от того, где идет ток. Предположим, мы выбрали петлю Г, в виде окружности с радиусом г (фиг. 18.2, а).
Контурный интеграл от магнитного поля будет равен току /, деленному на еоо'. Мы имеем 1 2ягВ = —,. гос' Все это мы получили быдла постоянного тока, но результат не изменится. если учесть добавку Максвелла, потому что для плоской поверхности Я внутри окружности электрического поля нет (считая, что провод очень хороший проводник). Поверхностный интеграл от дЕ/дг равен нулю. Предположим, однако, что теперь мы медленно продвигаем кривую Г, вниз.
Мы будем получать всегда тот жс самый результат до тех пор, пока не нарисуем кривую вровень с пластинами ~Контур 8 Локтиг Р " ~е "в Ф иг. 22.2. Магнитное иове гдяиви гаряягаеного коггденсатола конденсатора. Тогда ток 1 будет стремиться к нулю. Исчезнет ли при этом магнитное поле? Зто было бы очень странно. Давайте поглядим, что говорит уравнение Максвелла для кривой Г, которая представляет собой окружность радиуса г, плоскость которой проходит между пластинами конденсатора (фиг.
18.2, б). Контурный интеграл от В вокруг Г есть 2ягВ. Он должен быть равен производной по времени потока Е, проходящего сквозь плоскую поверхность круга Я,. Зтот поток Е, как мы знаем иэ закона Гаусса, должен быть равен произведению 1!еэ на заряд (3 иа одной из пластин конденсатора. Мы имеем (18.9) Зто очень хорозпо. Результат тот же, что мы нашли в (18.8). Интегрирование по меняющемуся электрическому полю дает то же магнитное поле, что и интегрирование по току в проводе.
Конечно, как раз об этом и говорит уравнение Максвелла. Легко видеть, что так должно быть всегда, если применкть наши рассуждения к двум поверхностям Ят и 8„ограниченным одной и той же окруэкиостью Г, на фиг. 18.2, 6. Сквозь Я, проходит ток Х, но нет электрического потока. Сквозь Я, пет тока, но есть электрический поток, меняющийся со скоростью 1/зэ. То же поле В получится, если мы применим уравнение 1Ъ' (табл.
18.1) к каждой поверхности. Из нашего обсуэкдения добавки, введенной Максвеллом, у вас могло сложиться впечатление, что онадобавляет немного— просто подправляет уравнения в согласии с тем, что мы уже ожидали. Зто верно, пока мы рассматриваем уравнение 1у само по себе, ничего особенно нового не появляется. Слова само по себе, однако, весьма ваячны. Небольшое изменение, введенное Максвеллом в уравнение 1 ч'в сочетакии с другими уравнениями, на самом деле дает много нового и важного. Но прежде чем заняться этим вопросом, поговорим подробнее о табл. 18.1.
ф З.,Все о клпссиксскоГг физике В табл. 18.1 сведено все, что знала фундаментальная классическая физика, т. е. та физика, которая была известна до 1905 г. В одной этой таблице есть все. С помощью этих уравнений можно понять все дестин~ения классической физикк. Прежде всего мы имеем уравнения Максвелла, записанные как в расширенном виде, так и в короткой математичесвой форме. Затем есть сохранение заряда, которое даже записано в скобках, потому что сохранение заряда можно вывести из имеющихся полных уравнений Максвелла. Так что в таблице имеются даже неболыпие излишни. Дальше мы записали закон для силы, поскольку все имеющиеся электрические и магнит- ные поля ничего не говорят нам до тех пор, пока мы не знаем, как они действуют на заряды. Однако, зная Е и В, мы можем найти силу, действующую на объект с зарндом д, который движется со скоростью ч.
Наконец, имеющаяся сила ничего не говорит нам, пока мы не знаем, что происходит, когда сила ускоряет что-то; нам необходимо знать закон движения, который говорит, что сила равна скорости изменения импульса. (Помните? Об этом говорилось в начале курса.) Мы даже включили эффекты теории относительности, записав импульс в видо р = ти,тфг1 — о'!ст. Но если мы действительно хотим законченности, нам еле дует добавить еще один закон — закон тяготении Ньютона, и мы поставили его в конце. Итак, в одной небольшой таблице мы собрали все фундаментальные законы классической физики, даже хватило места выписать их словами и еще с некоторым излишком. Это великий момент.
Мы покорили большую высоту. Мы на вершине К-2*, мы почти подготовлены покорить теперь Эверест, т. е. квантовую механику. В основном мы пытались научиться понимать эти уравнения. А теперь, когда мы собрали их воедино, мы собираемся разобраться, что означают эти уравнения, чтб нового скажут опи о том, чего мы еще не поняли. Мы много потрудились, чтобы вскарабкаться к атой точне. Это потребовало больших усилий, а теперь мы собираемся начать приятноепутешествие — спуск с горы в долину, там мы увидим все, чего мы достигли. ф .т.
11е1тедемгаюгг(ееся иоле А теперь о новых следствиях. Они возникают из сопоставления всех уравнений Максвелла. Сначала давайте посмотрим, что произошло бы в особенно простом случае. Предположим, что изменяется только одна координата у всех величин, т. е.
рассмотрим задачу одного измерения. Случай этот показан на фиг. 18.3. Перед нами заряитенныйт лист, помещенный на плоскости уг. Сначала он неподвижен, а затем мгновенно приобретает скорость и в направлении у и движется с этой постоянной скоростью. Вас может беспокоить присутствие такого «бесконечного» ускорения, но фактически это не имеет значения; просто представьте себе, что скорость достигает значения и очень быстро. Итак, мы внезапно получаем поверхностный ток Х (Х вЂ” ток на единицу ширины в г-направлении). Чтобы упростить проблему, предположим, что имеется еще неподвижный лист, эаряткенный противоположно и а К-2 — вторан по высоте вершина мира з северо-западных отрогах Гималаев, называемых Каракорум.— Прим.
рад. Двияпявийоя гррокт полей 1 г — — г — — с- — — —— ! в, !в дар пло л 1 й ! вЕ„ --т-- —-- 1 ! Воля 1 ° ~отгттстврютп Вилюю 1 Хтд т во Ф и е. гд.д. Бесконечная еаряженная нлоскоспгь гееожи- данно приводится в поступательное движеггие, Всеникоют ногнитнос и лттритс ог поля, роспространяю- иеьеся от илосности с постоянной скоростью.
наложенный на плоскость уз, так что электростатические эффекты отсутствуют. Представим себе также (хотя на фигуре мы показали лишь то, что происходит в конечной области), что лист простирается до бесконечности в направлениях ~у и ~з. Другими словами, здесь мы имеем случай, когда тока нет, а затем внезапно появляется однородный лист с током. Что яве произойдет? Мы знаем, что, когда имеется лист с током в положительном у-направлении, возникнет магнитное поле, направленное з отрицательном х-направлении при х ) О и в положительном з-направлении прих(О.
Мы могли бы найти величину В, используя тот факт, что контурный интеграл от магнитного поля будет равен току на еос'. Мы получили бы, что В = У/2зосв !ПОСКОЛЬКУ тОК Х В ПОЛОСЕ ШИРИНОЙ Кг РаВЕН ЛВ, а КОНтУРНЫй интеграл от В есть 28пс). Так мы определяем поле вблизи листа для малых значений х, но, поскольку мы считаем лист бесконечным, хотелось бы получить с помощью тех же рассуждений магнитное поле подальше !для больших значений х). Однако это означало бы, что в момент, когда мы включаем ток, магнитное поле внезапно изменяется повсюду от нуля до конечной величины.
Но погодите! При внезапном изменении магнитного поля возникают огромные электрические эффекты. !Л'ак бы оно ни мвкялось, электрические эффекты возникнут.) Так что в реаультате движения заряженного листа создается меняющееся магнитное поле и, 83 Ф и г. лЗА, Зависимость величина В (или И) от я. а — спустя врем» Е после навала движения варлмекной плоскости; б — коля от еарллатной плоскости, наквпией двигаться е момент у=т в сторону трио тельник р; в— сумма а и б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
