Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 20
Текст из файла (страница 20)
еерннй ° еерннй нуте рать Итак, задача: найти истиннып путь. Где он пролегает? Один из способов. конечно, мог бы состоять в гом, чтобы подсчитать действие для миллнонов и миллионов путей и потом посмотреть, при каком пути это действие наимень1нее. Вот тот путь, при котором действие минимально, и будот настоящим. Такой способ вполне воаможен. Однако можно сделать проще. Если имеется величина, обладающая минимумом (из обычных функций, скажем, температура), то одно из свойств минимума состоит в том, что при удалении от него на расстояние первого порядка малости функция отклоняется от минимального своего значения только на величину второго порядка. А в любом другом месте кривой сдвиг на малое расстояние изменяет значение функции тоже на величину первого порядка малости.
Но в минимуме легкие уходы в сторону в первом приближении не приводят к изменению функции. темнература ° минимум ° Ранен'»ение Это-то свойство мы и собираемся использовать для расчета настоящего пути. Если путь правильный, то кривая, чуть-чуть отличная от него, не приведет в первом приближении к изменению в величине действия. Все изменения, если это был действительно минимум, возникнут только во втором приближении.
Это легко доказать. Если при каком-то отклонении от кривой возникают изменения в первом порядке, то эти изменения в действии ироиорниональнм отклонению. Они, по всей вероят- 4» ности, увеличат действие; иначе это не был бы минимум. Но раз изменения проиорциокальны отклонению, то перемена знака отклонения уменьшит действие.
Выходит, что при отклонении в одну сторону действие возрастает, а при отклонении в обратную сторону — убывает. Единственная возможность того, чтобы это действительно был минимум, — это чтобы в первом приближении никаких изменений не происходило и изменения были бы пропорциональны квадрату отклонения от настоящего пути. Итак, мы пойдем по следующему пути: обозначим через х(О (с чертой внизу) истинный путь — тот, который мы хотим найти. Возьмем некоторый пробный путь х(г), отличающийся от искомого на небольшую величину, которую мы обозначим д(г). Идея состоит в том, что если мы подсчитаем действко о на путя х(1), 2'о разносч'ь между этим Б и тем действием, которое мы вычислили дчя пути х(Г) (для простоты оно будет обозначено Я), или разность между Я и Я, должна быть в первом приближении по д нулем.
Они могут отличаться во втором порядке, но в первом разность обязана быть нулем. И это должно соблюдаться для любой ц. Впрочем, не совсем для любой. Метод требует принимать во внимание только те пути, которые все начинаются и кончаются в одной и той же паре точек, т. е. всякий путь должен начинаться в определенной точке в момент 1, и кончаться в другой определенной точке в момент Г,.
Эти точки и моменты фиксируются. Так что наша функция ц (отклонение) должна быть равна нулю па обоих копках: ц(Г,)=0 и ц(Г,)=0. При этом условии наша математическая задача становится полностью определенной. Если бы вы не знали дифференциального исчисления, вы могли бы проделать такую я'е вещь для отыскания минимума обычной функции Дх).
Вы бы задумались над тем, чтб случится, если взять Д(х) и прибавить к л малую величину Ь, и доказывали бы, что поправка к Дх) в первом порядке по Ь должна в минимуме быть равна нулю. Вы бы подставили х+Ь вместо х и разложили бы )(х+Ь) с точностью до первой степени Ь..., словом, повторили бы все то, что мы намерены сделать с ц. !00 Итак, идея наша заключается в том, что мы подставляем х(«)=х(Г)+т)(«) в формулу для действия где через Р(х) обозначена потенциальная энергия.
Производная с(х1Ю вЂ” это, естественно, производная от х(1) плюс производная от Ч(1), так что для действия я получаю такое выражение; Теперь это нужно расписать подетальней. Для квадратичного слагаемого я получу Но постойте-ка! Ведь мне не нужно заботиться о порядках выше первого. Я могу убрать все слагаемые, в которых есть т(е и высшие степени, и ссыпать пх в ящик под названием «второй и высшие порядки». Из этого выражения туда попадет только одна вторая степень, но из чего-то другого могут войти и высшие.
Итак, часть, связанная с кинетической энергией, такова: — Ч- и» е — — + (Второи и высшие порядки). Дальше нам пуя«ен потенциал У в точках х+т(. Я считаю т( малой и могу разложить И(х) в ряд Тэйлора. Приближенно это будет т'(х); в следующем приближения (из-за того, что здесь стоят обычные производные) поправка равна т(, умноженной на скорость изменения У по отношению к х и т. д.: У (х + т() — т' (х) + т(У (х) + — «' (х) + .. Для экономии места я обозначил через Г производную Г по х. Слагаемое с Ч' и все, стоящие за ним, попадают в категорию «зторой и высшие порядки». И о них больше нечего беспокоиться. Объединим все, что осталось: ,)(2 (й«) ()+ ~йсй с, — т(т' ' (х) + (Второй и высшие порядки)1«й.
101 Если мы теперь внимательно взглянем на это, то увидим, что два первых написанных здесь члена отвечают тому действию о', которое я написал бы для искомого истинного пути х. Я хочу сосредоточить ваше внимание на изменении о', т. е. на разности между о" и тем 5, которое получилось бы для истинного пути. Эту разность мы будем записывать как Ы и назовем ее вариацией Ю. Отбрасывая «второй и высшие порядки», получаем для М с, бЯ = ') ~ и ~=, ~Ч вЂ” Ч г" (х)1 М.
Теперь задача выглядит так. Вот передо мной некоторый интеграл. Я не знаю еще, каково это х, но я твердо знаю, что, какую ц я ни возьму, этот интеграл должен быть равен нулю. «Ну что ж,— подумаете вы,— единственная возможность для этого — это чтобы множитель при ц был равен нулю».
Но как быть с первым слагаемым, где есть дт~Яг? Вы скажете: «Если т~ обращается в ничто, то и ее производная такое же ничто; значит, коэффициент при г?цЯ» должен тоже быть нулем». Ну это не совсем верно. Это не совсем верно потому, что между отклонением «1 и его производной имеется связь; они не полностью независимы, потому что ц(Г) должно быть нулем и при Г, и при г». Прн решении всех задач вариационного исчисления всегда пользуются одним и тем же общим принципом. Вы чуть сдвигаете то, что хотите варьировать (подобно тому, как это сделали мы, добавляя ц), бросаете взгляд на члены первого порядка, зал»ез«расставляете все так, чтобы получился интеграл в таком виде: «сдвиг (ц), умноженный на что получится», но чтобы в нем не было никаких производных от ц (ннкаких д«)/Ж).
Непременно нужно так все преобразовать, чтобы осталось «нечто», умноженное на т). Сейчас вы поймете, отчего это так важно. (Существуют формулы, которые подская ут вам, как в некоторых случаях можно это проделать без каких-либо выкладок; но они не так уж общи, чтобы стоило заучивать их; лучше всего проделывать выкладки так, как это делаем мы.) Как же я могу переделать член «(т~Я«', чтобы в нем появилось «)? Я могу добиться этого, интегрируя по частям.
Оказывается, что в вариационном исчислении весь фокус в том и состоит, чтобы расписать вариацию о и затем проинтегрировать по частям так, чтобы производные от т) исчезли. Во всех задачах, в которых появляются производные, проделывается такой же фокус. Припомните общий принцип интегрирования по частям.
Если у вас есть произвольная функция г'„умноженная на «?«(Я8 и проинтегрированная по ~, то вы расписываете произ. водную от Ч~~ ,н(ч1)-чу+1 ж В интересующем вас интеграле стоит как раз последнее слага- емое, так что В нашей формуле для бо за функцию г принимается произведение т на ЛЯГ; поэтому я получаю для бо' выра;кение ч Ы=т — „- ч«) ~ * — ~„—, (т —;) ч «) Ю вЂ” ~р'(х) Ч(~)см. с, В первый член должны быть подставлены пределы интегрирования ~, и ~е. Тогда я получу под интегралом член от интегрирования по частям и последний член, оставшийся при преобразовании неизменным. А теперь происходит то, что бывает всегда, — пропнтегрированная часть исчезает. (А если не исчезает, то нужно переформулировать принц1ш, добавив условия, обеспечивающие такое исчезновение!) Мы уже говорили, что Ч на концах пути должна быть равна нулю.
Ведь в чем состоит наш принцип? В том, что действие минимально при условии, что варьируемая кривая начинается и кончается в избранных точках. Это значит, что Ч(т,)=0 и Ч«,)=0. Поэтому проинтегрированный член получается равным нулю. Мы собираем воедино остальные члены и пишем Вариация Я теперь приобрела такой вид, какой мы хотели ей придать: что-то стоит в скобках (обозначим его Р), и все это умножено на Ч«) и проинтегрировано от 1т до г,. У нас вышло, что интеграл от какого-то выражения, умноженного на Ч«), всегда равен нулю: Стоит какая-то функция от ~; умнов.аю ее на Ч«) и интегрирую ее от начала до конца. И какова бы ни была Ч, я получаю нуль. Это означает, что функция Р(~) равна нулю.
В общем-то это очевидно, но я на всякий случай покажу вам один из способов доказательства. $03 Пусть в качестве ц(1) я выберу нечто, что равно нулго всюду, при всех 1, кроме одного, заранее выбранного значения 1. Оно остается нулем, пока я не дойду до этого ц затем оно подскакивает на мгновение и сразу же осаживает назад. Если вы берете интеграл от этой ц, умноженной на какую-то функцию г', то единственное место, в котором вы получите что-то ненулевое,— это там, где т~(1) подскакивало; и у вас получится значение г' в атом месте на интеграл по скачку. Сам по себе интеграл по скачку не равен нулю, но после умножения на Р он должен дать нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
