Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В нашем интеграле ЛП* мы заменяем р<р ° р) на — (7'<р+ р ()рр) и затем интегрируем зто по объему. Член с дивергенцией после интегрирования по объему заменяется интегралом по поверхности: А поскольку мы интегрируем по всему пространству, то поверхность в зтом интеграле лежит на бесконечности. Значит, /=О, и мы получаем прежний результат. Только теперь мы начинаем понимать, как решать задачи, в которых мы ке знаем, где расположены все заряды.
Пусть мы имеем проводники, на которых как-то распределены заряды. Коли потенциалы на всех проводниках зафиксированы, то наш принцип минимума все еще разрешается применять. Интегрирование в Уч мы проведем только по области, лежащей снаружи всех проводников. Но раз мы не можем на проводниках менять ~р, то на их поверхности )=О, и поверхностный интеграл ~Урр. в тоже равен нулю.
Остающееся объемное интегрирование йП'= ) ( — зор'% — р) Ф' Н2 иужно проделывать только в цромен<утках между провод- нинами. И мы, конечно, снова получаем уравнение Пуассона Ч~% = — —. — ео Мы, стало быть, показали, что наш первоначальный интеграл Пь достигает минимума и тогда, когда он вычисляется в пространстве между проводниками, каждый из которых находится пря фиксированном потенциале [это значит, что каждая пробиая функция фх, у, з) должна равняться заданному потенциалу проводника, когда (х, у, з) — точки поверхности проводпика(. Существует интересный частпый случай, когда заряды расноложены только па проводниках.
Тогда ПФ ~о~( )з р и наш принцип минимума говорит нам, что в случае, когда у каждого проводника есть свой заранее заданвый потенциал, потенциалы в промежутках между ними пригоняются так, что интеграл П* оказывается как можно меньше. А что это за интеграл? Член 1 ~р — это электрическое поле. Значит, интеграл — зто электростатическая энергия. Правильное поле и есть то единственное, которое из всех полей, получаемых как градиент потенциала, отличается наименьшей полной энергией. Я хотел бы воспользоваться этим результатом, чтобы решить какую-нибудь частную задачу и показать вам, что все зги вещи имеют реальное практическое значение. Предполонсим, что я взял два проводника в форме цилиндрического конденсатора.
У внутреннего проводпика потенциал равен, скажем, $', а у внешпего — нулю. Пусть радиус внутреннего проводника будет равен а, а внешнего — Ь. Теперь мы можем предположить, что распределение потенциалов между ними — любое. Но если мы возьмем правильное зпачеыио у и вычислим (е ~2))(ру)'ацг, то должна получиться энергия системы '/,Суз. Так что с помощью нашего принципа можно подсчитать и емкость С. Коли же мы возьмем неправильное распределение потенциала и попытаемся этим методом прикинуть емкость конденсатора, то придем к чересчур большому значению емкости при фиксированном У.
Любой предполагаемый потенциал ~р, не точно $$3 совпадающий с истинным его значением, приведет и к неверной величине С, большей, чем нужно. Но если неверно выбранный потенциал ~р является еще грубым приближением, то емкость С получится уже с хорошей точностью, потому что погрешность в С вЂ” величина второго порядка по сравнению с погрешностью в ср.
Предположим, что мне неизвестна емкость цилиндрического конденсатора. Тогда, чтобы узнать ее, я могу воспользоваться этим принципом. Я просто буду испытывать в качестве потенциала разные функции ~р до тех пор, пока не добьюсь наинизшего значения С, Допустим, к примеру, что я выбрал потенциал, отвечающий постоянному полю. (Вы, конечно, знаете, что на самом деле поле здесь не постоянно; оно меняется как 1/г.) Если поле постоянно, то это означает, что потенциал линейно зависит от расстояния.
Чтобы напряжение на проводниках было каким нужно, функция у должна иметь вид р=у(1 — — ", ') Зта функция равна (г при г=а, нулю при г=Ь, а между ниии имеется постоянный наклон, равный — г/(Ь вЂ” а). Значит, чтобы определить интеграл (/е, надо только помнолеить квадрат этого градиента на ее/2 и проинтегрировать по всему объему. Проведем этот расчет для цилиндра единичной длины.
Элемент объема при радиусе г равен 2ягдг. Проводя интегрирование, я нахожу, что моя первая проба дает такую емкость: ( СИе (зервая проба) = — е ~ е 2яге(г. 2 2,) (Ь вЂ” а)' а Интеграл здесь просто равен Так я получаю формулу для емкости, которая хотя и непра- вильна, но является каким-то приближением: С Ь+а 2кее 2 (Ь вЂ” а) Конечно, она отличается от правильного ответа С=2я з,/)и (Ь/а), но в общем-то она не так уж плоха.
Давайте попробуем сравнить ее с правильным озветом для нескольких значений Ь/а. Вычисленные мною числа приведены в следующей таблице. П4 нстнннее О перв. прнбн. Ь е 2нее 1,4423 0,721 0,454 0,267 1,500 0,655 0,612 0,51 2 10 100 1,5 2,4662 2,50 1,1 10,492070 10,500000 Е= — — = — — +2(1+ а) с7ер ар' (г — а) 1г е7г 5 — а (Ь вЂ” а)е Н6 Даже когда Ъ|а=2 (а это приводит уже к довольно большим отличиям между постоянным и линейным полем), я все еще получаю довольно сносное приближение. Ответ, конечно, как н ожидалось, чуть завышен.
Но если тонкую проволочку поместить внутри большого цилиндра, то все выглядит уже гораздо хуже. Тогда поле изменяется очень сильно и замена его постоянным полем ни к чему хорошему не приводит. Прн Ъ/а=100 мы завышаем ответ почти вдвое. Для малых ЪУа положение выглядит намного лучше. В противоположном пределе, когда промежуток между проводниками ке очень широк (скажем, при Ъеа=1,1), постоянное поле оказывается весьма хорошим приближением, оно дает аначенне С с точностью до десятых процента. А теперь я расскажу вам, как усовершенствовать этот расчет.
(Ответ для цилиндра вам, разумеется, известен, но тот же способ годится и для некоторых других необычных форм конденсаторов, для которых правильный ответ вам может быть н яе известен.) Следующим шагом будет подыскание лучшего приближения для неизвестного нам истинного потенциала ф. Скажем, можно испытать констан~у плюс экспоненту е9 и т.
д. Но как вы узнаете, что у вас получилось лучшее приближение, если вы не знаете истинного ер? Ответ: Подсчитайте С; чем оно ниже, тем к истине ближе. Давайте проверим эту идею. Пусть потенциал будет не линейным, а, скажем, квадратичным по г, а электрическое поле не постоянным, а линейным. Самая оби4ая квадратичная форма, которая обращается в е9=0 при г=Ъ и в ер=)г при г=а, такова: р= ~1+ и(",=',) — (1+ ) (",:;Д, где а — постоянное число. Эта формула чуть сложнее прежней. В нее входит и квадратичный член, и линейный.
Из нее очень легко получить поле. Оно равно просто Теперь объему я могу считаю зто нул1но возвести в квадрат и проинтегрировать по Но погодите минутку. Что же мне принять за а? За ср принять параболу, но какую? Вот что я сделаю: под- емкость прц проиавольнам а. Я получу С Ьт+4аЬ+ан 2зан 3 (Ь' — а') Я прикинул, чтб дает эта формула для С при различных значениях Ь7а. Эти числа я назвал С (квадратичные).
Привожу таблицу, в которой сравниваются С (квадратичные) с С (истинными). с нстнннее с «нааратнннее 2ае, 2ае, 1,444 0,733 0,475 0,346 1,4423 О, 721 0,434 0,267 4 10 100 1,5 2,4662 2,4667 1,1 10,492070 10,492065 Например, когда отношение радиусов равно 2: 1, я получаю 1,444. Это очень хорошее приближение к правильному ответу, 1,4423. Даже при больших Ыа приближение остается довольно хорошим — оно намного лучше первого приближения.
Оно остается сносным (завышение только на 10%) даже при Ма=10: 1.Большое расхождение наступает только при отношении 100: 1. Я получаю С равным 0,346 вместо 0,267. О другой стороны, для отношения радиусов 1,5 совпадение преИ6 Это выглядит малость запутанно, но так уж выходит после интегрирования квадрата поля. Теперь я могу выбирать себе ст. Я знаю, что истина лежит ниже, чем все, что я собираюсь вычислить.
Что бы я ни поставил вместо сх, ответ все равно получится слишком большим. Но если я продолжу свою игру с я и постараюсь добиться наинизшего возможного значения С, то зто наинизшее значение будет ближе к правде, чем любое другое значение. Следовательно, мне теперь надо подобрать а так, чтобы значение С достигло своего минимума. Обращаясь к обычному дифференциальному исчислению, я убеждаюсь, что минимум С будет тогда, когда сх= — 257(Ь+а). Подставляя зто значение в формулу, я получаю для наименьшей емкости восходное, а при Ыа= — 1,1 ответ получается 10,492065 вместо положенного 10,492070. Там, где следует ол<идать хорошего ответа, он оказывается очень и очень хорошим.
Я привел все этн примеры, во-первых, чтобы продемонстрировать теоретическую ценность принципа минимального действия и вообще всяких принципов минимума, и, во-вторых, чтобы показать вам нх практическую полезность, а вовсе не для того, чтобы подсчитать емкость, которую мы и так великолепно знаем. Для любой другой формы вы можете испробовать приближенное поле с несколькими неизвестными параметрами (наподобие а) и подогнать их под минимум. Вы получите превосходные численные результаты в задачах, которые другим способом не рршаются.
Добаеленне, сделанное носле лекции Мне не хватило времени на лекции, чтобы сказать еще об одной вещи (всегда ведь готовишься рассказать больше, чем успеваешь). И я хочу сделать зто сейчас, Я уже упоминал о том, что, готовясь к этой лекции, заинтересовался одной задачей. Мне хочется вам рассказать, что это за задача. Я заметил, что болыпая часть принципов минимума, о которых шла речь, в той илн иной форме вытекает из принципа наименыпего действия механики и электродинамики. Но существует еще класс принципов, оттуда не вытеказощнх. Вот пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
