Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это становится ясным, если мы выпишем явно три члена оператора Лапласа: дст дсф дст 1 дсф дхс ддс дсс сс дсс — + — + — — — — =О. (20.9) В пустом пространстве электрические и магнитные поля Е и В тоже удовлетворяют волновому уравнению. Так, поскольку В= т мА, дифференциальное уравнение для В можно получить, взяв ротор от уравнения (20.7). Раз лапласиан — это скалярный оператор, то порядок операций вычисления лапласнана и ротора можно переставлять: рх(у'А) = ус~К хА) = РзВ. Точно так же можно переставлять и вычисление го1 и д/д1: 1 дсй 1 дс 1 д'и 'с х — — = — — (т" ХА) = —— сс дп с'дм сс д1с Из этого мы получаем следующее дифференциальное уравнение для В: (20.10) Тем самым выясняется, что компонента магнитного поля В удовлетворяет трехмерному волновому уравнению.
Подобно атому, из того факта, что Е= — 1? р — с?АЯ1, следует, что электрическое поле Е в пустом пространстве удовлетворяет трехмерному волновому уравнению (20.11) 123 Все наши электромагнитные поля подчиняются одному и тому же уравнению (20.8). Можно еще спросить: каково самое общее решение этого уравнения? Однако прежде, чем решать этот трудный вопрос, сначала посмотрим, что можно сказать в общем случае о тех решениях, в которых по у и по г ничего не меняется.
(Всегда сначала беритесь за простые случаи, чтобы (20. 12) Распишем первое уравнение покомпонентно: дЕ„дЕ, дЕ» 17 Е= — + — ~+ —. де ду д. (20.13) Мы предположили, что по у и г поле не меняется, так что два последних члена равны нулю. Тогда, согласно (20.13), дЕ" = О. (20. 14) Решением его является постоянное в пространстве Е„(компонента электрического поля в направлениих). Взглянув на урав- 124 было видно, чего следует ожидать, а уж потом можете переходить к случаям посложней.) Предположим, что величина полей зависит только от х, так что по у и по з поля не меняются. Мы, следовательно, опять рассматриваем плоские волны и должны ожидать, что получатся те же результаты, что и в предыдущей главе. И мы действительно получим в точности те же самые ответы.
Вы можете спросить: «Но зачем снова делать то же самое?» Это важно, во-первых, потому, что мы не доказали, что найденные нами волны представляют собой самое общее решение для плоских волн, и, во-вторых, потому что наши поля произошли от источника тока особого вида. Сейчас мы хотели бы выяснкть такой вопрос: каков самый общий вид одномерной волны в пустом пространстве? Мы не узнаем этого, если будем рассматривать тот или иной источник особого вида, нам нужна ббльшая общность. Кроме того, на этот раз мы будем работать не с интегральной формой уравнений, а с дифференциальной.
Хотя итог одинаков, это прекрасный случай поуаршкняться з выкладках и убедиться в том, что не имеет значения, каким путем идти. Вы должны уметь действовать любым путем, потому что, наткнувшись на трудную задачу, вы часто обнаруживаете, что годится лишь один из многих способов расчета. Можно было бы прямо рассмотреть решение волнового уравнения для какой-нибудь из электромагнитных величин. Вместо этого мы начнем прямо с начала, с уравнений Максвелла для пустого пространства, и вы убедитесь в их тесной связи с электромагнитными волнами. Так что мы отправляемся отуравнений (20.1), полагая, что в них токи и заряды равны нулю. Опи обращаются в 1. Ч-Е=О, 11. 7хŠ— — —, 1П, т' В=-О, 1Р. с'УхВ= — . дЕ д1 пение 1Ч в (20 12) и полагая, что В тоже не измеияется вдоль у и з, вы убедитесь, что Е„постоянно и во времени. Таким полем ма>нет оказаться постоянное уоле от какого-то заряженного конденсатора вдали от этого конденсатора. Нас сейчас пе заяимают такие неинтересные статические поля; мы интересуемся лишь динамически изменчивыми полями.
А для диналсических полей Е„=О. Итак, мы пришли к важному результату о том, что при распространении плоских волн в произвольном направлении электрическое поле должно располагаться поперек направления своего расправ>пранения. Копечпо, у него еще остается возможность каким-то сложным образом изменяться по координате х. Поперечное поле Е можно всегда разбить на две компоненты, скажем на у и з. Так что сначала разберем случай паличия у электрического поля только одной поперечной компоненты. Для начала возьмем электрическое поле, направленное по у, т.
е. с нулевой з-компонентой. Ясно, что, решив эту задачу, пы всегда сможем разобрать и тот случаи, когда электрическое поле всюду направлено по з. Общее решение можно всегда представить в виде суперпозиции двух таких полей. Какими простыми стали теперь наши уравнения! Теперь едиястзеппая ненулевая компоиента электрического полн— это Е„и все производные (кроме производных по х) тоже равны нулю. Остатки уравнений Максвелла выглядят чрезвычайно просто. Рассмотрим теперь второе из уравнений Максвелла (т. е.
П из (20.12)). Расписав компоненты го1 Е, получаем дЕ дЕ„ (ЧхЕ) =- — ' — —" дд дг дЕ, дЕ> (Ч х Е)я =- —" — — ' дЕу дЕх (ЧхЕ) = — ~ —— дг ду =О, =0 дЕ, де дВ„ — "=О, дг д — '=О, д> (20.15) дВ дЕу (20.16) дг дх здесь х-компопента ЧхЕ равна пулю, потому что равны нулю производные по у и з; у-компокеята тоже равна пулю: первый члеп потому, что все производные по з равны нулю, а второй потому, что Е,=О. Единственная ие равная нулю компопеита гоь Š— это з-компонента, опа равна дЕ >'дх.
Полагая, что три компоненты Ч х Е равны соответствующим компонентам — дВ>дг, мы заключаем, что Поскольку временные производные как х-компоненты магнитного волн, так н у-компоненты магнитного поля равны нулю, то обе этн компоненты суть попросту постоянные поля и отвечают найденным раньше магнитостатическим решениям.
Ведь кто-то мог оставить постоянный магнит возле того места, где распространяются волны. Мы будем игнорировать эти постоянные поля и положим В„и В равными нулю. Кстати, о равенстве нулю х-комйонепт поля В мы должны были бы заключить и по другой причине. Поскольку дивергенция В равна нулю (по третьему уравнению 'Максвелла), то мы, приоегая нри рассмотрении электрического поля к тем нге доводам, что и выгпе, должны были бы прийти к выводу, что продольная компонента магнитного поля не может изменяться вдоль х.
А раз мы хакими однородными полями в наших волновых решениях пренебрегаем, то нам следовало бы положить В„равным нулю. В плоских электромагнитных волнах поле В, равно как н поле Е, должно быть направлено поперек направления распространения самих волн. Равенство (20.16) дает нам добавочное утверждение о том, что если электрическое поле имеет только Е-компоненту, то магнитное поле имеет только з-компоненту. Значит, Е и В перпендикулярны друг другу. Именно ато и наблюдалось в той волне особого типа, которую мы уже рассмотрели. Теперь мы готовы использовать последнее нз уравнений Максвелла для пустого пространства (т. е.
1Ч из (20.12)). Расписывая покомпонентно, имеем дВк дВ„дЕ . с'(Ч хВ) дд дз дЗ дВ„дВ, дЕ„ с' (Ч х В) „= с' — — с' — = — ~, (20.17) дВт дВ„дЕ с'(ЧхВ) =-сз — ~ — са — =— д дд Ш Из шести производных от компонент В только дВ,/дх не равна нулю. Так что трн уравнения просто дают дВ дЕ, — сз — = — ~. дз Ш (20.18) Итог всей нашей деятельности состоит в том, что отличны от нуля только по одной компоненте электрического и магнитного полей и эти компоненты обязаны удовлетворять уравнениям (20.16) и (20.18).
Эти два уравнения можно объединить в одно, если первое из них проднфференцнровать по х, а второе— по г; тогда левые стороны уравнений совпадут (с точностью Ео мне»кителя с'). И мы обнаруживаем, что Е подчиняется уравнению дьй, д»Е, 1 (20.19) Мы уже встречали это дифференциальное уравнение„когда изучали распространение звука. Это волновое уравнение для одномерных волн.
Заметьте, что в процессе вывода мы получили болыие, чем содержится в (20.11). Уравнения Максвелла дали нам информацию и о том, что у электромагнитных волн есть только компоненты поля, расположенные под прямым углом к направлению распространения волн. Вспомним все, что нам известно о решениях одномерного волнового уравнения. Если какая-то величина ф удовлетворяет одномерному волновому уравнению дь»У 1 дьф — — — — =0 (20.20) дхь св дсь то одним из возможных решений является функция»р(х, 1), имеющая вид (20.21) »р(х, 1)=/(х — с1), т.
е. функция одной-единюлвенной переменной (х — с1). Функция /(х — сг) представляет собой «жесткое» образование вдоль оси х, которое движется по направлению к положительным х со скоростью с (фиг. 20.4). Так, если максимум функции / приходится на нулевое значение аргумента, то при 1=0 максимум ф оказывается при х=О. В более поздний момент, скажем при 1=10, максимум ь(~ окажется в точке х=10 с. Когда время движется, максимум тоже движется в сторону возрастания х со скоростью с, Порой удобнее считать, что решение одномерного волнового уравнения является функцией от (1 — х/с). Однако в сущности это одно и то же, потому что любая функция от (1 — х/с)— это также функция от (х — с1): р(1 — *)=Е( — ' ")=/(х с1), Покажем, что /(х — с1) действительно есть решение волнового уравнения. Поскольку / зависит лишь от одной переменной— переменной (х — с1), то мы будем через ~' обозначать производную / по этой переменной, а через /" — вторую производную.
Ф и в, лд.д. Функэик 1(х — сй прод«та«кпвт нвивлюнний «контур», двиксуи»ийсл в направлении в«врастании х со скоростью с. Дифференцируя (20.21) по х, получаем — =)'(х — сг), д» потому что производная от (х — с~) по х равна единице. Вторая производная ар по х равна д — ), =?а ( — с~). (20.22) А производные а)а по а дают дф ;»а =~ (ив дар —,, = + с")" (х — с~).
(20. 23) Мы убеждаемся, что ар действительно удовлетворяет одпомерному волновому уравнению. Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением волнового уравневия является ?(х — с~)? Ыне эта проверка задним числом совсем пе нравится. Нет ли прямого пути отыскать решение?» Хорошо, вот вам прямой пут»л знать решение. Моя«по, конечно, «испечь» по всей науке прямые математические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть реше»ие, но с таким простым, как у пас, уравпением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только увидите уравнение (20.20), тут же будете представлять себе ?(х — са)=ар в качестве решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
