Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Вы замечаете сходство между тем, что сейчас произошло, и тем, что произошло тогда, когда мы искали сферически симметричное решение волнового уравнения? Коли бы в начале координат действительно не было ни зарядов, ни токов, то не возникли бы и сферическн расходящиеся волны. Сферические волны должны вызываться источниками в начале координат.
В следующей главе мы исследуем связь между излучаемыми электромагнитными волнами и вызывающими их токами и напряжениями. Глава И РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА С ТОКАМИ И ЗАРЯДАМИ ф л. Свет, и электрокагнмттьые волны В предыдущей главе мы видели, что среди решений уравнений Максвелла есть электромагнитные волны, Свету, радио, рентгеновским лучам н т. д. отвечают электромагнитные волны, отличающиеся только длиной волны. Мы уже подробно изучали различные явления, связанные со светом. В этой главе мы хотим связать оба вопроса и показать, что уравнения Максвелла действительно могли служить основой для изучения свойств света.
Наше изучение света мы начали с того, что выписали уравнение для электрического поля, создаваемого зарядом, который мог как-то произвольно двигаться. Уравнение имело вид сВ=ег хЕ (см. гл. 28 (вып. 3), выражение (28.3)!«. Если заряд движется произвольным образом, то электрическое поле, которое существует в некоторой точке, в настоящий моменги зависит только от положения и движения заряда в более ранний момент времени, отстающий на интервал, необходимый для того, чтобы свет, двигаясь со скоростью с, прошел расстояние г' от заряда до точки поля.
Иными словами, если вам нужно внать электрическое поле в точке (1) в момент ь', вы должны подсчитать положение (2') заряда и его движение в момент (8 — г'/с) (где г' — расстояние до точки (1)1 из положения заряда (2') в момент (ь — г'/с). «С обратвык знаков. См. дальше.— ггрим. дед. э'!. Свет и электро. магнитные волны э 2. Сферические волны от точечного источника 5 3. Общее решение уравнений Максвелла 5 4. Поля колеблющегося диполя 5 5.
Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Внхерта 5 б. Потенциалы заряда, двюкущегося споетоянной скоростшо; формула Лоренца 71ов ньортьтгььг гл. 28 (вып. 3) «Злект. ромагннтное излучение»; гл. 3$ (выв. 3) «Как возникает показатель преломления»; гл. 34 (выв. 3) «Релятивистские явления в излучении» <И григ. 27.7. Палл о тонне (7) о момент» гагиелт от того положения (Х'),лотороеоарлд д яо оанимал о момент (» — г')е). а Штрихи здесь напоминают вам, что г' — это так называемое «запаздывающее расстояние» от точки (2') к точке (1), а вовсе не теперешнее расстояние между точкой (2) — положением заряда в момент 7 — ' н точкой полн (1) (фиг. 2(Л).
Заметьте, что сейчас по-иному определяется направление единичного вектора е,. В гл. 28и34(вып. 3) мы уславливались, что г (и, стало быть, е,) будет показывать на источник. Теперь же мы следуем определению, используемому в формулировке закона Кулона, по которому г направлено от заряда !в точке (2)) к точке (1) поля. Ндинственное отличие в том, что новое г (и е„) противоположно старому. Мы видели также, что если скорость заряда и всегда много меньше с и если рассматриваются только точки, сильно удаленные от заряда, так что в (2»Л) существенно лишь последнее слагаемое, то поля можно также записать в виде «проекция ускорения заряда в момаит» —— о 4яа е'г' 4яаое г' яа иаираялеиие, поперечное к г' и сВ=е, хЕ. Рассмотрим более детально, что дает полное уравнение (27.1). Вектор е, — это единичный вектор, направленный ог «запаздываипцей» точки (2') к точке (1).
Тогда первое слагаемое дает то, чего следовало бы ожидать, если бы заряд в своем «запаздывающем» положении создавал кулоново поле, — это можно назвать «запаздывающим кулоновым полем». Электрическое поле обратно пропорционально квадрату расстояния и направлено от «запаздывающего» положения заряда (т. е. по вектору е, ).
Но это только первое слагаемое. Остальные напоминают нам, что законы электричества не утверждают, что все поля, оставаясь, как и были, статическими, начинают просто запаздывать (а такое утверждение порой приходится слышать). К «запаздывающему кулонову полю» надо добавить два других слагаемых. Второе говорит, что к запаздывающему кулонову полю надо сделать «поправку», равную бмстроше изменения запаздывающего кулонова поля, умноженной на г'/е, т. е. на само запаздывание, Этот множитель как бы стремится скомпенсировать запаздывание в первом. Два первых слагаемых соответствуют вычислению «запаздывающего кулонова поля» и затем экстраполяции его в будущее, на время гуе, т.
е. как раз к моменту П Экстраполяция линейна, как если бы мы предположили, что «запаздывающее кулоново поле» будет по-прежнему изменяться со скоростью„рассчитанной для заряда в точке (2'). Если поло меняется медленно, эффект запаздывания почти полностью сводится на нет поправочным слагаемым, и оба слагаемых вместе приводят к величине электрического поля, очень близкой к «мгновенному кулонову полю» заряда, находящегося в точке (2).
Наконец, в формуле (21.1) имеется еще третье слагаемое— вторая производная единичного вектора е„. Изучая явление света, мы по существу использовали тот факт, что вдали от варяда два первых слагаемых убывают как обратный квадрат расстояния и на болыпих расстояниях оказываются слишком слабыми по сравнению с третьим, которое убывает как 12г. Поэтому мы сосредоточили наше внимание на последнем слагаемом и показали, что оно (опять-таки на больших расстояниях) пропорционально компоненте ускорения заряда, поперечной к линии зрения.
(Кроме того, почти всюду ранее мы рассматривали только случай, когда ааряды двигались нерелятивистски. Релятивистские эффекты рассматривались только в гл. 34, вып. 3.) Теперь нужно попробовать связать эти две вещи. У нас есть уравнения Максвелла и есть формула (21.1) для поля точечного заряда. Естественно спросить, эквивалентны ли они? Если мы сможем вывести (21.1) из уравнений Максвелла, то действительно поймем связь света сэлектромагнегизмом.
Вывод ее и есть главная цель этой главы. Выясняется, что полного вывода мы сделать ке можем— чересчур сложные математические детали пе позволят кам выйти с поля боя без потерь. Но все же мы подойдем к цели достаточно близко, так что вы легко поймете, как может быть установлена интересующая нас связь. Мы опустим лишь некоторые математические детали.
Математика атой главы может показаться некоторым из вас довольно сложной, и, возможпо, вам даже станет скучно следить внимательно за выводом. Но мы все же считаем, что очень важно связать то, что вы учили раньше, с тем, что вы изучаете сейчас, или по крайней мере продемонстрировать, как эта связь может быть установлена. Если вы не забыли прежние главы, то обратите внимание на то„ что всякий раз, как мы принпмали некоторое высказывание за исходную точку обсуждеиия, мы ааботливо объясняли, является ли это высказывание новым «допущеиием», т. е. отражает ли оио основной закон природы или же его можно в коиечком счете вывести из каких-то других законов. Дух этих лекций обяаывает иас обсудить связь между светом и уравнениями Максвелла.
Может быть, вам будет кое-где и трудно — с этим уж ничего ие поделаешь: другого пути пе существует. ф В. Сфернчеонг«е волны очи п»очечнозо нем»очи нка В гл. 18 мы установили, что уравнения Максвелла можно решать подстановкой В= — т/ р— дА дг (21.2) и В=РхА, (21.3) где ~р и А обязаны удовлетворять уравнениям г 1 дг,р р т <р — — —.= —— сг дгг (21.4) ргА — — — = — — г сг дсг г«сг (21.5) и, кроме того, условию 7 А= — —— д(р сг дс (21.6) дг сг дсг (21.7) где величина з (которая называется источником) известна.
Ясно, что для уравкепия (21,4) з соответствует р/з„а ф — ато ср, а для уравнения (21.5) з соответствует у„/зссг, если ф — это Л„, и т. д. Но кас интересует чисто математическая задача решения (21.7) безотносительно к тому, каков физический с»гмсл гр к г. Там, где р и 1равны нулю (зто место иазывается «пустотой»), там потекциалы у и Л и поля Е и В удовлетворяют трехмерному волновому уравнению без источкиков; математическая форма етого уравнения такова: $ дгт рггу — — — = О. сг дгг (21.8) 145 Найдем теперь решение уравпепий (21.4) и (21.5). Для этого надо уметь решать уравнение В гл. 20 мы видели, что решения этого уравнения могут представлять волны разных сортов: плоские волны, бегущие в я-направлении ф=/(1 — х/с); плоские волны, бегущие вдоль р или вдоль вили в любом другом направлении; сферические волны вида (21.
9) (Решения можно записать иначе — например в виде цилиндрических волн, разбегающихся от оси.) Мы тогда заметили, что фиаически формула (21.9) относится не совсем к пустоте: в начале координат должны быть какие-то заряды, иначе расходящаяся волна не получилась бы. Иными словами, формула (21.9) есть решение уравнения (21.8) всюду, кроме непосредственной окрестности точки г=0, где (21.9) представляет собой решение полного уравнения (21.7), в правой части которого стоят источники. Давайте теперь посмотрим, что это за уравнение, т.е. какого рода источник з в уравнении (21.7) должен вызвать волну типа (21.9). Предположим, что имеется сферическая волна (21.9) и поглядим, во что она превращается при очень малых г. Тогда запаздыванием — г/с в /(~ — г/с) можно пренебречь, и поскольку функция / плавная, ф превращается в — (г — О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
