Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(21.10) Итак, р в точности похоже на кулоново поле заряда, расположенного в начале координат. Мы знаем, что для небольшого сгустка заряда, ограниченного очень малой областью близ начала координат и имеющего плотность р, где ~= ~рЛ'. Такой потенциал ~р удовлетворяет уравнению рз(р Р Ео Следуя тем же расчетам, мы должны были бы сказать, что ф из выражения (21.10) удовлетворяет уравнению рзф = — г (г — О), (21.11) где г связано с / формулой при Я (/) =- ) г (/) сЛ', то решение уравнения (21.7) имеет впд (21.12) ф (х у г,/) = 4 1 Ю (/ — г/«) (21.
13) Влияние слагаемого с д«ф/д/«в (21.7) сказывается лишь на появ- лении запаздывания (/ — г/с) в потенциале кулонова типа. ф 3. Общее ремгенне урпвненнй Мс«новелл«» Мы нашли решение уравнения (21.7) для «точечного» источника. Теперь встает новый вопрос: Каков вид решения для рассредоточенного источника) Ну, ато решить легко; всякий источник г(х, у, г, «) можно считать состоящим на суммы многих «точечных» источников, расположенных лооцнночке в каждом алементе объема <й' и имеющих силу г(х, у, г, /)Л'.
Поскольку (21.7) линейно, суммарное поле представляет собой суперпозицию полей от всех таких элементов источника. Используя реаультаты предыдущего параграфа [см. (21.13)[, мы получим, что в момент / поле «[«р в точке (х„у„г,) [или, короче, в точке (1)[, создаваемое элементом источника г«й" в точке (х«, у„г«) [или, короче, в точке (2)!, выражается форму- лой «(2Л вЂ” гн/«) «Т « 4нг«« где гт« — расстояние от (2) до, (1). Счожение вкладов от всех частей источника означает, конечно, интегрирование по всей 147 Единственная разница в том, что в общем случае г, а, стало быть, и Я может оказаться функцией времени. Далее очень важно то, что если ф удовлетворяет (21,11) при малых г, то оно удовлетворяет также и (21.7). По мере приблшкения к началу координат зависимость ф от г типа 1/г приводит к тому, что пространственные производные становятся очень большими. А производные по времени остаются теми же.
[Это просто проиаводные /(/) по времени.! Так что, когда г стремится к нулю, мпо«кителем д«ф/д/«в уравнении (21.7) по сравнению с р«ф можно пренебречь, и (21.7) становится эквивалентным уравненшо (21.11). Подытоживая, можно сказать, что если функция источника г(/) из уравнения (21.7) сосредоточена в начале координат и ее общая величина равна области, где з~О, так что мы имеем (' Р(2Л вЂ” см/с) д~ (р Г (21.15) А с1 Г) — (' 1 (2Л вЂ” см/с) с(у ,) 4зссс'см (21.16) Полн Е н В получатся дифференцированием потенциалов (используются выражения (21.2) и (21.3)). Кстати, можно проверить явно, что ср и А, полученные из (21.15) и (21.16), действительно удовлетворяют равенству (21.6).
Мы решили уравнения Максвелла. В любых обстоятельствах, если только заданы токи и заряды, из этих интегралов можно определить потенциалы, а затем, продифференцнровав их, получить поля. Тем самым с теорией Максвелла покончено. И зто позволяет нам также замкнуть круг и вернуться к нашей теории света, потому что достаточно только подсчитать электрическое поле движущегося заряда, чтобы связать все это с на~пей прежней теорией света.
Все, что нам остается сделать,— это взять движущийся заряд, вычислить из этих интегралов его потенциал и затем из — Уу — дА/дс, дифференцируя, найти Е. Мы должны получить формулу (21.1). Работы придется проделать много, но принцип ясен. Итак, мы дошли до центра электромагнитной вселенной. У нас в руках полная теория электричества, магнетизма и света, полное описание полей, создаваемых движущимися зарядами, и многое, многое другое.
Все сооружение, воздвигнутое Максвеллом, во всей его полноте, красе и мощи сейчас перед нами. Это, пожалуй, одно из величайших свершений физики. И чтобы напомнить о его важности, мы переписываем все формулы вместе и обводим их красивой рамкой. 148 р(1,()=~ '"' '""Л;. (21.14) сс Иначе говоря, поле в точке (1) в момент времени г представляет собой сумму всех сферических волн, испускаемых в момент с — г„/с всеми элементами источника, расположенного в точке (3). Выражение (21.14) является решением нашего волнового уравнения для любой системы источников. Теперь мы видим, как получать общее решение уравнений Максвелла.
Если подразумевать под ф скалярный потенциал ср, то функция источника з превращается в Р/е,. А можно считать, что ф представляет одну из трех компонент векторного потенциала А; тогда з означает соответствующую компоненту 1/зсс'. Стало быть, если во всех точках известна плотность зарядов Р(х, у, г, с) и плотность тока )(х, у, г, Г), то решения уравнений (21.4) и (21.5) можно выписать немедленно: ф 4. По иь молебытом(егосл дтлтаоля Мы пока еще не провели обещанного вывода формулы (21.1) для электрического поля движущегося точечного ааряда. Даже зная то, что мы уже знаем, этот вывод все равно проделать нелегко. Нам не удалось обнаружить формулы (21.1) нигде, нн в каких книжках и статьях (кроме первых выпусков этих лекций) *. Это свидетельствует о том, что вывод ее не прост.
(Поля движущегося заряда записывались неоднократно и в других видах, которые все, конечно, эквивалентны.) Мы ограничимся поэтому здесь тем, что просто покажем на нескольких примерах, что (21 15) и (21 16) приводят к тем же результатам, что и (21.1). Первым делом мы покажем, что при том единственном условии, что движение заряженной частицы является нерелятввистским, (21.1) приводит к правильной величине полей. (Уже этот частный случай покрывает 00% всего того, что было сказано о явлении света.) рассмотрим такую ситуацию, когда имеетсн сгусток зарядов, каким-то образом перемещающийся в небольшой области; требуется найти создаваемые им где-то вдалеке от этого * Формула была выведена Р. Фейнманом в 1950 г, з прнаодптся пногда в ленцнях кан удобный способ расчета сннхротронного налучення.
1 (2Л вЂ” есг/с) Г с се (21.17) Если размеры заряда-сгустка на самом деле намного меньше, чем гпо то г,к в знаменателе можно положить равным г (расстоянию от центра сгустка) и вынести г аа знак интеграла. Кроме того, мы собираемся положить и в числителе гтг=г, хотя зто и не совсем верно. А неверно это потому, что на самом деле, скажем, полагается брать) в верхней части сгустка совсем Ф и г. ел.2. ееотенэиали е точке (1) даются интегралами от плот- ности гарлда р.
150 места поля. Можно поставить вопрос и иначе: мы найдем поле на произвольном расстоянии от точечного заряда, который почти незаметно колеблется вверх и вниз. Поскольку свет обычно испускают такие нейтральныо тела, как атомы, то мы будем считать, что наш колеблющийся заряд с) расположен вблизи неподвижного, равного по величине, но противоположного по знаку заряда. Если расстояние меягду центрами зарядов равно и, то у зарядов появится дипольпый момент р=дй, который мы будем считать функцией времени. Следует ожидать, что поблиаости от зарядов запаздыванием полн можно будет пренебречь; электрическое поле будет в точности таким же, как и то, которое получалось раньше для электростатического диполя (но, конечно, с мгновенным дипольным моментом р(~)).
Однако при большом удалении в формуле для поля должно появиться добавочное слагаемое, которое меняется как 1/г и зависит от того, каково ускорение заряда в направлении, поперечном к лучу зрения. Посмотрим, получится ли у нас этот результат. Начнем с вычисления векторного потенциала А при помощи (2.16). Пусть плотность зарядов в сгустке есть р(х, р, з) и весь он движется все время со скоростью ч. Тогда плотность тока 1(х, р, з) равна чр(х, у, з). Удобно систему координат располояеить так, чтобы ось х была направлена по ч; тогда геометрия нашей задачи изобразится так, как показано на фиг.
21.2, Нас интересует интеграл не в тот момент, когда в нижней„а немного в другое время. ПолагаЯ гы=г в 1(1 — г„,/с), мы вычислнем плотность тока ДлЯ всего сгустка в одно и то же время (4 — г/с). Это приближение годится лишь тогда, когда скорость и заряда много меньше с. Мы, стало быть, ведем расчет в нерелятивистском случае, После замены ) на рт интеграл (21.17) превращается в — ) тр (2,1 — — ) е(Уе. Раз скорость всех зарядов в сгустке одна и та же, этот интеграл просто равен т/г, умноженному на общий заряд д.
Но амт†это как раз др/д4 (скорость изменения дипольного момента), только надо ее, конечно, определять в более раннее время (г — г/с). Запшпем зту величину так: р(4 — г/с). Итак, мы получаем для векторного потенциала А(1А)= 4 з (21.18) 4яеоее Мы узнали, что ток в меняющемся днполе создает векторный потеяциал в форме сферических волы, источник которых обладает силой р/4язесе, Теперь из В=у хА можно получить магнитное поле.
Поскольку р направлен по оси г, у А есть только з-компонента; в роторе остаются только две ненулевые производные. Значит, В =дА /ду и В = — дА,/дх. Погчядим сперва на В„: дхх 1 д р (à — г/С) (21Л9) х ду 4яеосе ду ч.м р.е фьр, вьг...-, -„..*. -гЭГг*~Р; так что Вх=4 Р (с — г) д ( )+4 е ' дур (с — — ). (21.20) Но мы помним, что дг/ду=-у/г; значит, первое слагаемое даст 1 ур (3 — 'г/с) (21.21) 4яеесе ге что убывает как 1/г', т. е.
как поле статического диполя (потому что в данном направлении у/г постоянно). Второе слагаемое в (21.20) приводит к новому эффекту, Если провести в нем дифференцирование, то получится (21.22) где р — просто вторая производная р по 1. Вот это-то получающееся от дифференцирования числителя слагаемое и ответ- 1Ы стзепио за излучеиие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
