Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 32
Текст из файла (страница 32)
«7очве!ыйья»ыд Правильный ответ такой: !р(1,!) = — —, 1 о 1 бнао е' 1 — о,/с 1» е (21.29) (21.30) где г! — расстояние от точки (1) к е-му элементу объема Л)е(, а р; — плотность заряда в Лй! в момент сс=(! — г!/с). Поскольку все г!))а, удобно будет выбрать все Л»е! в виде тонких прямоугольных ломтиков, перпендикулярных к г„(фиг. 21.6). Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема Л)'! некоторой толщины !о, много меньшей а. Отдельные элементы объема будут выглядеть так, как показано на фиг. 21.7, а, Их нарисовано гораздо болыпе, чем яужно, чтобы вакрыть весь заряд.
А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать7 Ведь для кап!дога элемента объема Лу'! надо брать р в свой момент ге=(т — гв/с). Но раз заряд движется, то для каждого элемента обьема Л)'! он окажется в другом месте! Начнем, скажем, с элемента объема 1 на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в момент с«=(ь' — г,/с) «задняя» ОЭи в. 21.б. длемент объема Ле"е, испольеуемый для вычисления потекииалое. 157 где о„— компонента скорости заряда, параллельная гиы т.
е. направленная к точке (1). Сейчас я объясню, почему это так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (1) со скоростью о (фиг. 21.5). Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше г, (расстояния от центра заряда до точки (1)). Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы 11 11 г) Г!) Фиг.
г1.г. ггнтегрирование рГ — г'/с)г)Ъ' дяя Згигауигггося гаряда. грань заряда пришлась на Л)г (фиг,2(.7, б). Тогда, вычисляя ргЛ)г„ нугкно ваять положение заряда в несколько более позднее время гг=(à — гаГс) и заряд к атому времени сместится в положение, показанное на фиг. 21.7, в.
Так же будет с Л)г„Л)гг и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму. Толщина каждого Л)г, равна иг, а объем вгаа. Поэтому каждый элемент объема, накладывающийся на распределение за- г58 где Лà — тот последний элемент Лг'„который еще накла- дывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7, д). Сумма тем самым равна Но раз — просто общий заряд д, а Л'и — длина Ь, показанная на фяг. 21.7, д. Получается 4язсс ~ а )' (21.31) А чему же равно Ь? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от с =(с — г,/с) до (и — — (» — гд/с). Это расстояние, пройденное зарядом за время Л(=/„— г, ="— * — "~= — '. с с А поскольку скорость заряда равна и, то пройденное расстояние равно »Л(=гЬ/с.
Но длина Ь вЂ” само это расстояние плюс а: Ь= а+ — Ь. с Отсюда Ь= $ — (и/с) ' Здесь, конечно, под и подразумевается скорость в «запаздывающий» момент 1' = (8 — г'/с); зто можно указать, записав (1 — г/с)сыб тогда уравнение (21.23) для потенциала принимает вид ~Ь Й~=м — !( (/)! Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29).
Появился поправочный множитель. Он появился потому, что з то время, как наш интеграл спроносится над зарядом», сам заряд движется. Когда заряд движется к точке (1), его вклад в интеграл увеличивается в Ь/а раз. Поэтому правильное значение интеграла равно о/г', умноженному на Ь/а, т. е. на 1/[1 — о/с)„„.
(59 ряда, содержит в себе заряд лса»р, где р — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (1) велико, то можно все г, в знаменателях положить равными некоторому среднему значению, скажем, взятому с учетом запаздывания положению г' центра куба. Сумма (21.30) превращается в Если скорость заряда направлена не к точке наблюдения (1), то легко видеть, что важна только составляюп/ал его скорости в направлении к точке (1). Если обозначить вту составляющую скорости через п„, то поправочный множительзапишется в виде 1/И вЂ” и,/с)„„. Кроме того, проделанный нами анализ в равной степени проходит для распределения заряда любой формы (это не обязательно должен быть куб), Наконец, поскольку «размер» а заряда пе вошел в окончательный итог, то тот же результат получится, если заряд стянется до любых размеров, вплоть до точки.
Общий результат состоит в том, что скалярный потенциал точечного заряда, движущегося с произвольной скоростью, равен (1) с 4яевг (1 — (гг/вВва» (21.32) Это уравнение часто пишут в эквивалентном виде: Р( ' ) 4 и( — ( /))„„' (1, 1) (2ЕЗЗ) где г — вектор.
соединяющий заряд с той точкой (1), в которой вычисляется потенциал у, а все величины в скобках надо вычислять в «запаадывающий» момент времени 1'=(1 — г'/с). То же самое получается и тогда, когда по (21.16) вычисляют А для точечного заряда. Плотность тока равна рч, а интеграл от р — тот же, что и в ~р. Векторный потенциал равен А(1, 1)= 4пзввз(г — (т г/в)) „, ' (21.34) * Если у зас достаточно времени и зам не жаль бумаги, то попытайтесь проделать зто самостоятельно. Вот вам парочка советов: во-первых, ве забывайте, что производные г/ довольно запутанны, ведь они суть функции от 111 Во-вторых, не пытайтесь виввсл«и формулу (21Л); лучше проделайте в ией все дифференцирования и аатем сопоставьте то, что у вас получится, с выражением для Е, полуиенным из потенциалов (21.ЗЗ) и (21.34).
160 Потенциалы точечного заряда в этой форме были впервые получены Льенаром и Вихертом. Их так и называют: потемциалы Л ьенара — Вихерта. Чтобы замкнуть круг и вернуться к формуле (21.1), теперь нужно только подсчитать Е и В из этих потенциалов (при помощи В= т хА и Е= — р~р — дА/д/). Теперь остается одна арифметика. Впрочем, арифметика эта довольно запутанна, так что мы не будем приводить здесь детали счета. Придетси поверить мне на слово, что формула (21 1) эквивалентна выведенным нами потенциалам Льенара — Вихерта *. ф гг. Лотаенцналы варяда, двнжущегося с ностяоянной * сноггосзаьго; Формула Лоренца Применим теперь потенциалы Льенара — Вихерта к случаго заряда, движущегося по прямой с постоянной скоростью, я вычислим поле этого заряда.
Позже мы повторим зтот вывод, используя уже принцип относительности. Мы знаем величину потенциалов в той системе, в которой заряд покоится. Когда заряд движется, то все получается простым релятивистским преобразованием от одной системы к другой. Но теория относительности ведет свое начало от теории электричества и магнетизма. Формулы преобразований Лоренца (см. гл. 15 (вып. 2)!— зто открытия, сделанные Лоренцем при исследовании уравнений злектричества и магнетизма. И для того чтобы вы понимали, откуда все пошло, я хочу показать вам, что уравнения Максвелла действительно приводят к преобразованиям Лоренца. Я начну с вычисления потенциала равномерно движущегося заряда прямо из злектродинамики, из уравнений Максвелла.
Мы уже показали, что уравнения Максвелла приводят к потенциалу, полученному в предыдущем параграфе. Стало быть, пользуясь этими потенциалами, мы используем тем самым теорию Максвелла. Пусть имеется заряд, движущийся вдоль осн х со скоростью и (фиг. 21.8). Нас интересуют потенциалы в точке Р(х, р, г). Если 1=0 — момент, в который ааряд проходит через начало координат, то в момент г заряд окажется в точке х=иг, у=с=О. А пам нужно знать его положение с учетом вапаадывания, т.
е. положение в момент г' с (21.35) (21.36) г Р Чтобы найти г' или г', зто уравнение надо сопоставить с (21.35). Исключим сперва г', решив (21.35) относительно г' и подставив в (21.36). Возвысив затем обе части в квадрат, получим сг (г — 1 ) г = (х — иг') г + уг + хг, т. е. квадратное уравнение относительно 1'. Раскрыв скобки и расположив члены по степеням г', получим (гг — гг) 1" — 2 (хи — сгг) г'+ха+ уз+ ха — (с1)г =О.
ь га згьг где г' — расстояние от заряда до точки Р в этот запаздываю- и1ий момент. В это более раннее время г' заряд был в х= зг', так что Ф и е. 2Е,В. Определение потенциала в точке Р варядо, двихеучсееооя равномерно вдоль оси х. Отсюда найдем (1 — "— ') Е'= Š— — "х — е ~/(х — р~)г-(-(1 — "— ) (уь+гв) . (21.37) надо это ь подставить в ' = с (Š— Е'). можем найти ф ив выражения (21.33), Чтобы получить г', Теперь мы уже имеющего вид ф (х. у,г, Е)= —, д 4яео г' — (т г'/о) (21.38) е (е — е ) — — (х — рЕ ) = с ~Г — — — ~~1 — — ~ г ], о о оь ~ чаЕ Подставляя (1 — ра/са) Е' из (21.37), получаем ф(х,у,г, Ф) (х — И)г+ (1 — —,) (у'+г') Это уравнение становится более понятным, если переписать его в виде (ввиду того, что р постоянно).
Составляющая т в направлении г' равна р(х — вЕ')Ег', так что т г' просто равно р(х — рг'), а весь знаменатель равен Векторный потенциал А — зто такое же выражение, но с до- бавочным множителем т/с', А= — ф. с~ В выражении (21.39) со всей ясностью предстает перед вами начало преобразований Лоренца. Если бы заряд находился в начале координат в своей собственной системе покоя, то его потенциал имел бы вид ч % (х~ У~ з) — 4яе (.г+,а+И) ~ А мы смотрим на него из движущейся системы координат, и нам кажется, что координаты следует преобразовать с помощью формул х — ~ У1 — ~/~' у — '.
у, з — г. Это обычное преобразование Лоренца. Лоренц вывел его тем же самым способом, каким пользовались и мы. Но что можно сказать о добавочном множителе 1/)/1 — зз/сз, который появился перед дробью в (21.39)? И кроме того, как появляется векторный потенциал А, если он в системе покоя частицы повсюду равен нулю? Мы вскоре покажем, что А и у вместе составляют четырехвектор, подобно импульсу р и полной энергии (/ частицы. Добавка 1/)/1 — ее/с' в (21.39) — зто тот самый множитель, который появляется всегда, когда преобразуют компоненты четырехвектора, так же как плотность заряда р преобразуется в р/)/1 — е'/се.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
