Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Вообще-то уравнений для напряжения тоже можно написать больше, чем нунсио. Хотя в схеме фиг. 22.11 и рассматривалась только четверка самых маленьких контуров, но ничего не стоило взять другие контуры и выписать для них уравнения для напряжений. Можно было взять, скажем, путь абс/еда. Или сделать обход по пути або)ейбс)а. Вы видите, что контуров — множество. И, анализируя сложные схемы, ничего не стоит получить слишком много уравнений. Но хоть есть правила, которые подсказывают, как надо поступать, чтобы вышло наименьшее количество уравнений, обычно и так бывает сразу понятно, как выписать нужное число простейших уравнений. Кроме того, одно-два лишних уравнения вреда не приносят.
К неверному ответу они не приведут, разве только немного запутают выкладки. В гл. 25 (вып. 2) мы показали, что, если два импеданса г, и зе соединены последовапеельно, они эквивалентны одиночному импедансу вю равному хе=ге+э . (22.18) Кроме того, было показано, что, когда два импеданса соединены параллельно, они эквивалентны одиночному импедансу з, равному 1 е,ео Р (1/еь)+ ( 1!ее) ед + ее ' Если вы теперь оглянетесь назад, то увидите, что, выводя эти результаты, на самом деле вы пользовались правилами Кирхгофа.
Часто можно проанализировать сложную схему, повторно Сй и е. 22Л2. Депе, которую можно проаналиеироеать с помощью последоеательник и параллельник комоииация. 179 Фи г. 22.13. Ценз, которую нельвк кроанализировать о номоьцью ногледовательннк и нарал- ~ гз= ()зьгз) лельннн комбинаций. откуда 1з = (1з+ 1з). Выкладки можно сэкономить, если этот реаультат сразу же подставить в уравнения для напряжений. В этой схеме таких уравнений два: — 8,+1зг,— 1,г,=О и 8з — (1,+1,)г,— 1зг,=О.
На два уравнения приходится два неизвестных тока. Решая нх, получаем 1, н 1,; гзьз (гз+гз)ьз гз (ге+аз)+гзгз 1 гзоз+гзаз гз (гг+ гз)+ гзгз (22.2 з) А третий ток получается как сумма первых двух. Вот еще пример цепи, которую по правилам параллельных и последовательных импедансов рассчитывать нельая применяя формулы для последовательного и параллельного импедансов.
Скажем, таким способом можно проанализировать схему, показанную на фиг. 22.з2. Импедансы г, и з, можно заменить их параллельным эквивалентом, то же можно сделать с импедансами г, н г,. Затем импеданс г, можно скомбинировать с параллельным эквивалентом г, и г, по правилу последовательного соединения импедансов. Так постепенно можно свести всзо схему к генератору, последовательно соединенному с одним импедансом 2.
И тогда ток через генератор просто равен 8/Е. А действуя в обратном порядке, можно найти токи в каждом импеда нее. Однако бывают совсем простые схемы, которые этим методом не проанализируешь. Например, схема фиг. 22ЛЗ. Чтобы проанализировать эту цепь, надо расписать уравнения для токов и напряжений по правилам Кирхгофа. Давайте проделаем это. Имеется только одно уравнение для токов: 1,+1,+1.=О, Фи г. 22.1б. Мостикоеая схема. (фиг.
22.х4). Такую схему называют «мостик». Она встречается во многих приборах, измеряющих импедансы. В таких схемах обычно интересуются таким вопросом: как долясны соотноситься различные имиедансы, чтобы ток через иьшеданс зе был равен нулю? Вам предоставляется право найти те условия, при которых это действительно так, й" М. Энвнвалентгьньае монт урьа Положим, мы подключили генератор ю' к цепи, в которой есть множество сложных переплетений импедансов (схематически это показано на фиг. 22.х5, а).
Все уравнения, вытекающие из правил Кирхгофа, линейны, и поэтому, вычислив из них ток 1 через генераторы, мы получим величину 1, пропорциональную юс. Можно написать 1= —, 8 х, где теперь з — это некоторое комплексное число, алгебраиче- вФФ ская функция всех элеменхов цепи. (Коли в цепи нет никаких генераторов, кроме упомянутого, то в формуле не будет добавочной части, не зависящей от аьь.) Но получившееся уравнение — это как раз то, которое о нужно было бы написать для схемы фиг.
22.15, б. И покуда нас интересует спи е. 22Лб. Любая сеть пассивных элементов с двумя выводами вквивалентна эффективному б импедансу. 18к Фиг. сс.ад, Любую сеть с дауат аиаодами моасно ааатнить генератором, посаедоаатеаьно соединенним с импедансом. е» а только то, что происходит слева от зажимов а и Ь, до тех пор обе схемы фиг. 22.15 эявиваленшны. И поэтому б можно сделать общее утверждение, что любую цепь пассивных элементов с двумя выводами можно заменить одним-единственным импедансом за „,, не изменив в остальной части цепи йзи токов, ни напряжений.
Утверждение зто, естественно, всего лишь мелкое замечание о том, что следует из правил Кирхгофа, а в конечном счете — из линейности уравнений Максвелла. Идею эту можно обобщить на схемы, в которые входят как генераторы, так и импедансы. Представьте, что мы глядим на эту схему «с точки зрения» одного из импедансов, который мы обозначим за (фиг.
22Л6, а). Если бы решить уравнение для тока, мы бы увидели, что напряжение е', мел'ду зажимами аи 5 есть линейная функция а", которую можно записать в виде (22.22) У„= А — ВУт Здесь А и В зависят от генераторов и импедансов в цепи слева от зажимов. Например, в схеме, показанной на фиг. 22.13, мы находим Кг=1,гм Это можно переписать [используя (22.20)) в виде (22.23) Тогда полное решение мы получаем, комбинируя это уравнение с уравнением для импеданса гм т. е. с уг=у,з» или в общем случае комбинируя (22.22) с у„= с„е,. Если мы рассмотрим теперь случай, когда г„подключается к простой цепи из последовательно соединенных генератора и импеданса (см. фиг. 22.15, б), то уравнение, соответствующее (22.22), примет вид )/„=  — 1„г, что совпадает с (22.22), если принять 8,ь — — Л и г, =В.
Значит, если нас интересует лишь то, что происходит направо от выводов а и Ь, то произвольную схему фиг. 22. (6 можно всегда ааменить эквивалентным сочетанием генератора, последовательно соединенного с импедансом. ф д. Эиепгггя Мы видели, что для создания в индуктивности тока 1 надо из внешней цепи доставить энергию У='/г11г.
Когда ток спадает до нуля, эта энергия уводится обратно во внешнюю цепь. В идеальной индуктивности механизма потерь энергии нет. Когда через индуктивность течет переменный ток, энергия перетекает то туда, то сюда — от иядуктивности к остальной части цепи и обратно, но средняя скорость, с какой энергия передается в цепь, равна нулю. Мы говорим, что индуктивность — яедиссипативяый элемент, в ней не растрачивается (не «диссипируетэ) электрическая энергия. Точно так же возвращается во внешнюю цепь и энергия конденсатора 1/='/гСУг, когда он разряжается. Когда он стоит в цепи переменного тока, то анергия течет то в него, то из него, но полный поток энергии за каждый цикл равен нулю.
Идеальный конденсатор — тоже недиссипативный элемент. Мы знаем, что э.д. с.— ато источник анергии. Когда ток 1 течет в направлении э.д.с., то энергия поставляется во внешнюю цепь со скоростью И1//И=81. Если электричество гонят прошив э.д.с. (с помощью других генераторов), то э.д. с. поглощает энергию со скоростью 81; поскольку 1 отрицательно, то и д1/Яг отрицательно. Если генератор подключен к сопротивлению В, то ток череэ сопротивление равен 1=8/В. Знергия, поставляемая генератором со скоростью 81, поглощается сопротивлением. Зта энергия тратится на нагрев сопротивления и для электрической энергии цепи фактически уже потеряна. Мы говорим, что электрическая энергия рассеивается, диссипирует в сопротивлении.
Скорость, с какой она рассеивается, равна Ы1//пг=ВР. В цепи переменного тока средняя скорость потерь энергии в сопротивлении — это среднее значение В1' за цикл. Поскольку 1=1е'"' (что, собственно, оэначает, что 1 меняется как сое юг), то среднее аначениеР эа цикл равно (Х~г/2, потому что ток в максимуме — это (1(, а среднее эначение соэ' юг равно '/,. Ср и г. Зднт. Любой импеданс гееиеалентен последоеательному соединению чистого сопротиеленил и чистого реаатанса. А что можно сказать о потерях энергии, когда генератор подключен к произвольному имкедансу з? (Под «потерянно мы, конечно, понимаем превращение электрической энергии в теп- ловую.) Всякий импеданс з мо кет быть разбит на действитель- ную и мнимую части, т.
е. г=Л+(Х, (22.24) где Л и Х вЂ” числа действительные. С точки зрения эквивалентных схем можно сказать, что всякий импеданс эквивалентен сопротивлению, последовательно соединенному с чисто мнимым импедансом, называемым реантансои (фнг. 22Л7). Мы уже видели раньше, что любая цепь, содержащая только 1 и С, обладает импедансом, выражаемым чисто мнимым числом. А раз в любом из 1 и С в среднем никаких потерь не бывает, то и в чистом реактансе, в котором имеются только 1, и С, потерь энергии не бывает.
Можно показать, что зто должно быть верно для всякого реактанса. Если генератор с э. д. с. ф подсоединен к импедансу з (см. фиг. 22Л7), то его э. д. с. должна быть связана с током 1 из генератора соотношением 8=1(В+ (Х). (22.25) Чтобы найти, с какой средней скоростью подводится энергия, нужно усредннть произведение юо1. Но теперь следует быть осторожным. Оперируя с такими произведениями, надо иметь дело только с действительными величинами 8(~) и 1(з). (Действительные части комплексных функций изображают настоящие физические величины только тогда, когда уравнения линейны; сейчас же речь идет о произведении, а это, несомненно, вещь нелинейная.) Пусть мы начали отсчитывать ~ так, что амплитуда 1 оказалась действительным числом, скажем 1„; тогда истинное изменение 1 во времени дается формулой 1 = 1» соз юг.
$84 Входящая в уравнение (22.25) э.д.с.— это денствительная часть от 1 еин(1?+ ?Х), или 8 = 1„Л сов «в1 — 1,Х в)н юг. (22.26) Два слагаемых в (22.26) представляют падение напряжений на Я и Х (см. фиг. 22.17). Мы видим, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, тогда как падение напряжения на чисто реактивной части находится с током в противофазе. Средняя скорость потерь энергии <Р>,», текущей от генератора, есть интеграл от произведения й1 за один цикл, деленный на период Т; иными словами, <Р>, = — ) ~И~ = — ~ 1, Л сов'«в1Ж вЂ” —,~ 1, Х сов«ее в)в ю1Йг.
Первый интеграл равен Ч»1'„В, а второй равен нулю. Стало быть, средняя потеря анергии в импедансе г=Л+«Х зависит лишь от действительной части г и равна 1',Л/2. Это согласуется с нашим прежним выводом о потерях энергии в сопротивления. В реактивной части потерь энергии не бывает.
й 6. Лестнннчнагг сетмь Л теперь мы рассмотрим интереснейшую цепь, которую можно выражать через параллельные и последовательные сочетания. Начнем с цепи, изображенной на фиг. 22.18, а. Сразу видно, что импеданс между зажимами а и Ь просто равен г,+г,. Возьмем теперь цепь потруднее (фиг. 22.18, б). Ее моя«но проанализировать с помощью правил Кирхгофа, но нетрудно обойтись и последовательными и параллельными комбинациями. Два импе- данса на правом конце можно заменить одним г»=г»+г» (см. фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
