Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(После мы увидим, какая частота «низкая», а какая «высокаяю) Конденсатор, скажем, соединен с низкочастотным генератором. Когда напряжение меняется, то с верхней обкладки положительный заряд убирается и прикладывается отрицательный. В момент, когда это происходит, алектрическое поле исчезает, а потом восстанавливается, но уже в обратную сторону.
Заряд медленно плещется туда-сюда, и поле поспевает за ним. В каждый момент электрическое поле однородно (фиг. 23.4, б); есть, правда, небольшие краевые эффекты, но мы намерены ими пренебречь. Величину электрического поля можно записать в виде индуктивность. По мере роста частоты магнитное поле усиливается: оно пропорционально скорости изменения Е, т. е. «з. Импеданс конденсатора больше не будет просто равен ИаС, Будем увеличивать частоту и посмотрим повнимательнее, чтб происходит. У нас есть магнитное поле, которое плещется то туда, то сюда. Но тогда и электрическое поле не может, как мы раньше предполагали, остаться однородным! Если имеется изменяющееся магнитное поле, то по закону Фарадея должен существовать и контурный интеграл от электрического поля. Так что если существует заметное магнитное поле (а так и бывает на высоких частотах), то электрическое поле не может быть на всех расстояниях от центра одинаковым.
Оно должно так меняться с г, чтобы криволинейный интеграл от него мог быть равен иаменяющемуся потоку магнитного поля. Посмотрим, сможем лн мы представить себе правильное электрическое поле. Это можно сделать, подсчитав «поправку» к тому, что было на низких частотах,— к однородному полю. Обозначим поле при низких частотах череа Е„и пусть оно по- прежнему равно Е е' ', а правильное поле запишем в виде Š— Е где Š— поправка из-за изменения магнитного поля. При любых » п Ф ю мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде Е е'" (тем самым определяя Е«), так что в центре поправки не будет: Е,=О при г=О. Чтобы найти Е„можно использовать интегральную форму закона Фарадея д Ф Б лз ~ (воток В).
г ш Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии 1'», показанной на фнг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния г, потом вертикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к осн по радиусу.
Контурный интеграл от Е, вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только Е„и интеграл равен просто — Е,(г)й, где Ь вЂ” зазор между обкладками. (Мы считаем Е положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В, который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади Я внутри Г» (фиг. 23.4,б). Поток через вертикальную полосу шириной й равен В(г)Ыг, а суммарный поток Ь ) В (г) «(г.
Полагая — д/д» от потока равным контурному интегралу от Е», получаем Е,( )= —,~ В(г) «1~. (23.6) 203 Ее Ф ие. ддХ 9лектричеекое ноле между обкладками конденеанеоро но еиеоких чаоенотак. Нроеиеми еяРектоми иреиеареели. Заметьте, что Ь выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.
Используя для В (г) формулу (23.5), получаем Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель ев: (23. 7) Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на леле иервоначальное электрическое поле. Исправленное поле Е=Е,+Е, тогда равно Е=Е,+Е,=(1 4 е )Е,е' '. (23.8) Электрическое поле в конденсаторе больше уже не однородно; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.
Наши результаты можно использовать для того, чтобы подсчитать импеданс конденсатора на больших частотах. Эная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты ю. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: чтб станется, если частота будет продолжать повышаться, чтб произойдет на еще бслыних частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчитали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении.
Обозначим его Вм а (23.5) перепишем в виде (23.9) с Ве 2яг= — (поток Е через Г ). д дт Поскольку Ее с радиусом меняется, то для получения его пото- ка надо интегрировать по круговой поверхности внутри Г,. Беря в качестве элемента площади 2ягпг, напишем этот интеграл в виде Г (дЕ, (г).2яг с(г. Значит, В,(г) выразится так: Ве( ) едт ) 2( ) 1 д Р (23.10) Подставляя сюда Е,(г) из (23.7), получаем интеграл от гей, который равен, очевидно, ге/4.
Наша поправка к магнитному полю ока~нется равной (23.11) Но мы еще не кончили) Раз магнитное поле В вовсе не такое, как мы сперва думали, то мы, значит, неверно подсчитывали Е,. Надо найти еще поправку к Е, вызываемую добавочным магнитным полем В . Эту добавочную поправку к электрическому полю назовем Ее. Она связана с магнитным полем Ве так же, как Е, была связана с Вп Можно опять прибегнуть к тому же самому соотношению (23.6), изменив в нем только индексы: (23.12) Подставляя сюда наш новый результат (23.11), получаем новую поправку к электрическому полю: зм Е (г) = +с4 е Еее (23.13) 205 Вспомните, что это поле появилось от изменения Еп А правильное магнитное поле будет соадаваться изменением суммарного электрического поля Е,+Ее. Если магнитное поле представить в виде В =В +В„то второе слагаемое — это просто добавочное поле, создаваемое полем Ее.
Чтобы узнать Ве, надо повторить все те же рассуждения, которые приводились, когда подсчитывали Вд. 'контурный интеграл от Ве вдоль кривой Г, равен скорости изменения потока Е, через Г,. Опять получится то же уравнение (23.4), но В в нем надо заменить на В„а Š— на Е Если теперь наше дважды исправленное поле записать в виде К=К,+К,+Е„то мы получим К= К е' ) 1 — 5г( — ) +2а аа( —,) ~.
(23.14) Изменение электрического поля с радиусом происходит уже не по параболе, как было на фиг. 23.5; на больших радиусах значение поля лежит чуть выше кривой (Ед+Еа). Мы пока еще не дошли до конца. Новое электрическое поле вызовет новую поправку к магнитному полю, а заново подправленное магнитное поле вызовет необходимость дальнейшей поправки к электрическому и т. д. и т. д. Но у нас уже есть все нужные формулы.
Для Ва можно использовать (23.10), изменив нндснсы при В н Е с 2 до 3. Очередная поправка к электрическому полю равна Уа(х)=1 — —,, ( — ) + —,( — ) — — а( — ) +.... (2316) Тогда искомое решение есть произведение Еае' ' на эту функцию при х=вг/с: Кае ')а ( а )' (23.17) Мы обозначили нашу специальную функцию через Уа потому, что, естественно, не мы первые с вами занялись задачей колебаний в цилиндре.
Функция эта появилась давным-давно, и ее уже привыкли обозначать Х . Оиа всегда возникает, когда С этой степенью точности все электрическое поле дается, стало быть, формулой 10 (Ы) +<лР (2 ) (З~Р ( ° ) +'''1 ' (23.15) где численные коэффициенты написаны в таком виде, что становится ясно, как продолжить ряд. Окончательно получается, что электрическое поле между обкладками конденсатора на любой частоте дается произведением Кае™ на бесконечный ряд, который содержит только переменную ег/с. Можно, если мы захотим, определить специальную функцию, обозначив ее через У (х), как бесконечный ряд в скобках формулы (23.15): вы решаете задачу о волнах, обладающих цилиндрической симметрией. Функция Х, по отношению к цилиндрическим волнам— это то же, что косинус по отношению к прямолинейным волнам. Итак, это очень важная функция.
И изобретена она очень давно. Затем с нею связал свое имя математик Бессель. Индекс нуль означает, что Бессель изобрел целую кучу разных функций, а наша — самая первая из них. Другие функции Бесселя — У„У, и т. д.— относятся к цилиндрическим волнам, сила которых меняется при обходе вокруг оси цилиндра. Полностью скорректированное электрическое поле между обкладками нашего кругового конденсатора, даваемое формулой (23.17), изображено на фиг. 23.5 сплошной линией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
