Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 37
Текст из файла (страница 37)
22.18,в). Тогда два импеданса г, и г можно заменить их эквивалентным параллельным импедансом г« (фиг. 22.18, г). И наконец, г, и г, эквивалентны одному импедансу г, (фяг. 22.18, д), А теперь можно поставить забавный вопрос: что произойдет, если к цепи, показанной на фиг. 22.18, б, бесконечно подключать все новые и новые звенья (штриховая линия на фиг. 22.19, а)? Можно ли решить задачу отакойбесконечной цепи? Представьте, зто совсем не трудно.
Прежде всего мы замечаем, что такая бесконечная цепь не меняется, если новое звено подключить к «переднему» концу. Ведь если к бесконечной цепи добавляется одно звено, она остается все той же бесконечной 188 22 = хе+22 — =' — + — Гз =ИВ+24 / ./ / ~4 ~2 яв Ф и в. 22.18. Эффехтивний импедане леетниэи. цепью. Пусть мы обозначили импеданс между зажимами а и Ь бесконечной цепи через зо, тогда импеданс всего того, что справа от зажимов с и е/, тоже равен 2,. Поэтому если смотреть с переднего конца, то вся цепь представляется в виде, показанном на фиг.
22Л9, б. Заменяя два параллельных импеданса 22 и 2о одним и складывая его с з„сразу же получаем импеданс всего сочетания 1 еоео 2=2 + П/М+П/во) ИЛИ 2 = го+ — '' во+ ео Но этот импеданс тоже равен хо. Получается уравнение 2,=2,+— воео во+ во Найдем иэ него 2 вв ю 2 = — +У вЂ” +22 . (22.27) Ф и е. ди1д. Эффективный импеданс бесконечной лестницы. Таким образом, мы нашли решение для импеданса бесконечной лестницы повторяющихся параллельных и последовательных импедансоз. Импеданс го называется характеристическим импедансолв такой бесконечной цепи. Рассмотрим теперь частный пример, когда последовательный элемент — всегда индуктивность Ь, а шунтовой элемент— емкость С (фиг. 22.20, а). В этом случае импеданс бесконечной сети получается, если положить г,=1ечА и г,=ИсеС.
Заметьте, что первое слагаемое г,/2 в (22.27) равно просто половине импе- данса первого элемента. Естественнее было бы поэтому (или по крайней мере проще) рисовать нашу бесконечную сеть так, как показано на фиг. 22.20, б. Глядя на бесконечную сеть из зажима а', мы бы увидали характеристический импеданс ч / А тв/.в а С 4 (22.28) Смотря по тому, какова частота (е, наблюдаются два интересных случая. Если ю' меньше 4//С, то второе слагаемое яод корнем меньше первого, и импеданс г, станет действительным числом. Если же тв болыпе 4/ЬС, то импеданс г, станет чисто мнимым числом и его можно записать в виде /ов/в 1 о=У 4 С Раньше мы сказали, что цепь, составленная из одних только мнимых импедансов, таких, как индуктивности и емкости, будет иметь чисто мнимый импеданс.
Но как же тогда выходит„что Ф и в. Зг.гд. Лестница Ь вЂ” С, й/г,,г/г, г/г, л/ иаображеннак двина вкви- а а' Е валентными способами. б ° .а $87 в той цепи, которую мы сейчас рассматриваем (а в ней есть только одни Х, и С), импеданс при частотах ниже )Х4!ХС представляет собой чистое сопротивление) Для высоких частот импеданс чисто мнимый, в полном согласии с нашим прежним утверждением. Для низких же частот нмпеданс — чистое сопротивление и поэтому поглощает энергию. Но как может цепь, подобно сопротивлению, непрерывно поглощать энергию, если ояа составлена только из индуктивностей и емкостей? Ответ состопт в том, что этих емкостей и самоиндукций бесконечное множество, и получается, что, когда источник соединен с цепью, он обязан сперва снабдить энергией первую индуктивность и емкость, затем вторую, третью и т.
д. В цепях подобного рода энергия непрерывно и с постоянной скоростью отсасывается из генератора и безостановочно течет в цепь. Энергия запасается в индуктивностях и емкостях вдоль цепи. Эта идея подсказывает интересную мысль о том, чтб фактически происходит внутри цепи. Следует о>кидать, что если к переднему концу цепи подключить источник, то действие эзого источника начнет распространяться вдоль по цепи к бесконечному концу.
Распространение волн вдоль линии очень похоже на излучение от антенны, которая отбирает энергию от питающего ее источника; точнее, можно ожидать, что такое распространение происходит, когда импеданс действителен, т, е. когда ш меньше ф'4ИС. Но когда импедапс чисто мнимый, т. е. пря а, ббльших ~'4ИС, то такого распространения ожидать не следует. ф 7. Фылътмрьз В предыдущем параграфе мы видели, что бесконечная лестничная сеть (см. фиг. 22.20) непрерывно поглощает энергию, если зта энергия подводится с частотой, которая ниже некоторого критического значения )Г4/ХС, называемого граничной частотой ю„.
У нас возникла мысль, что этот эффект можно понять, основываясь на представлении о непрерывном переносе энергии вдоль линии. С другой стороны, яа высоких частотах (при ю ~ю,) непрерывного поглощения энергии не бывает; тогда следует ожидать, что токи, видимо, не смогут «проникнуть» далеко вдоль линии. Поглядим, верны ли эти представления. Пусть передний копец лестницы соединен с какпм.то генератором переменного тока, и нас интересует, кан выглядит напряжение, скажем, в 754-м звене лестницы. Поскольку сеть бесконечна, при переходе от одного звена к другому происходит всегда одно и то же; так что можно просто посмотреть, что случается, когда мы переходим от и-го звена к (и+1)-му. Токи Х, и напряжения У„мы определим так, как показано на фиг.
22.21,а. 188 Ф и е. 22.21. Нааоасдснае Доктора распространенна аестницн. Напряжение $'„„, можно получить нз )е„, если вспомнить, что остаток лестницы (за и-м звеном) всегда можно заменить ее характеристическим импедансом зо; и тогда достаточно проанализировать только схему фиг. 22.21, б. Мы прежде всего замечаем, что каждое сс„, поскольку зто напряжение на зажимах сопротивления зо, должно быть равно Е„зо. Кроме того, разность между р„и у„+, равна просто Х„г,: ео Получается отноженке с~ ео — с~ ра со со которое можно назвать фактором распространения для одного звена лестницы; обозначим его сс.
Для всех звеньев со — сс а= со (22.29) и напряжение за и-м звеном разно )1„= а"з7. (22.30) Теперь ничего не стоит найти напрянсение за 754-м звеном; оно просто равно произведению юн на 754-к> степень сс. Как выглядит и для лестницы Š— С на фиг. 22.20, а? Взяв го из уравнения (22.27) и г,=йоЕ, получим Р (12С) — (теАс/4) — с (т1./2) а (22.31) У(Е(С) — ( еЕ 14)+с <ссЕ(2) а это означает, что величина (модуль) напряжения в каждом звене одна и та же; меняется только фаза.
Она меняется на число 189 Если частота яа входе ниже граничной частоты соо='рсЧЕС, то корень — число действительное, и модули комплексных чисел в числителе и знаменателе одинаковы. Поэтому значение сс по модулю равно единице; можно написать сс = е Ь; оио на самом деле огрицательио и представляет собой «задержку» яапряжекия по мере того, как последнее проходит по сети. А для частот выше граничной частоты са лучше вынести в числителе и знаменателе (22.31) множитель ( и переписать его в виде )С( г/.
/4) — (Л/С) — «ат./2) (22.32) У (саг/.г/4) — (1/С) + (ой./2) Теперь фактор распространения а — число дейст«шпальное, притом меньшее единицы. Это означает, что напряжение в иекотором звене всегда меньше напряжения в предыдущем звене; мпожитель пропорциональности равен а. При частотах выше соо напряжение быстро спадает по мере движения вдоль сети. Кривая модуля а как функции частоты похожа иа график, приведениый яа фиг. 22.22.
Мы видим, что поведение а как выше, так и ниже юо согласуется с нашим представлением о том, что сеть передает энергию при а(соо и задерживает ее при со)соо. Говорят, что сеть «пропускает> низкие частоты и «отбрасывает», или «отфильтровывает», высокие. Всякая сеть, устроенная так, чтобы ее характеристики менялись указанным образом, называется «фильтром».
Мы проанализировали «фильтр иизкого пропускаиия», или «яизких частот». Вас может удивить — к чему все это обсуждение бесконечных сетей, если иа самом деле оии иевозможиы/ Но вся хитрость в том и заключается, что те же характеристики вы обнаружите и в конечной сети, если ааключите ее импедаисом, совпадающим с характеристическим импедаксом зо. Практически, конечно, иевозможно точно воспроизвести характеристический импедавс несколькими простыми элемеитами, такими, как Л, Л и С. Но в некоторой полосе частот нередко этого моя'ио добиться в хорошем приближении. Этим способом можно сделать конечную фильтрующую сеть со свойствами, очень близкими к тем, которые проявляются в бескоиечиом фильтре. Скажем, лестница Ь вЂ” С будет во многом вести себя так, как было описано, если иа конце ее помещено чистое солротивлекие Я=у'ХуС.
А если в нашей лестивце Х,— С мы поменяем местами Л и С, чтобы получилась лестница, показаииая иа фиг. 22.23,а, (а( 1 Фиг. 22.22. Фактор раснространгнин одного сосна агстниэн. с с с с гр и е. 22.сд. Высококастотный филетр ~а) и его фактор распространения как функция г/ог (д/. (гк( О ~/то ~/го б то получится фильтр, который пропускает высокие частоты и отбрасывает низкие. Пользуясь уже полученными результатами, легко понять, чтб происходит в этой сети.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
