Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пока сечение постоянно и между проводниками нет ничего, волны распространяются со скоростью света. Подобных общих утверждений по поводу характеристического вмпеданса сделать нельзя. Для коаксиальной линии он равен 1в (Ыа) (24.11) Множитель $/з,е имеет размерность сопротивления я равен 120я ом. Геометрический фактор 1п (Ыа) только логарифмячесии зависит от размеров, так что коаксиальвая линия (и большинство других линий), как правило, обладает характеристическим импедансом порядка 50 ом илн что-то около этого, до нескольких сот ом. (г й.
Х1рямоугольный волноеод То, о чем мы сейчас будем говорить, на первый взгляд кажется поразительным явлением: если из коаксиального кабеля убрать внутреннюю я<илу, он все равно будет проводить электромагнитную энергию. Иными словами, на достаточно высокой частоте полая труба действует ничуть не хуже, чем труба, внутри которой имеется провод. Связано это с другим таинственным явлением, о котором мы уже знаем,— на высоких частотах резонансный контур (конденсатор с катушкой) можно заменить простой банкой. Это выглядит очень странно, если пользоваться представлением о передающей линии, как о распределенных индуктивности и емкости.
Но ведь все мы знаем, что внутри пустой металлической трубы могут распространяться электромагнитные волны. Если труба прямая, через нее все видно( Значит, электромагнитные волны через трубу бесспорно проходят. Но мы знаем такя<е, что нет возможности передавать волны низкой частоты (перев<енный ток или телефонные сигналы) через одну-единственную металлическую трубу. Выходит, электромагнитные волны проходят через нее только тогда, когда их длина волны достаточно мала. Поэтому мы рассмотрим предельный случай самых длинных волн(или самых низких частот), способных проходить через трубу данного размера.
Зту трубу, служащую дли прохождения волн, называют волноводом. Начнем с прямоугольной трубы, ее проще всего анализировать. Сперва изложим все математически, а потом еще раз вернемся назад и рассмотрим вопрос более элементарно. Но этот более элементарный подход легко применить лишь к прямоугольным трубам. Основные же явления в любой трубе одни и те же, так что математические доводы звучат более основательно. Поставим перед собой следующий вопрос< какого типа волны могут существовать в прямоугольной трубе) Выберем сначала удобные оси координат: ось з направим вдоль трубы, а оси х и у — вдоль стенок (фиг.
24.3). Известно, что когда волны света бегут по трубе, их электрическое поле ноперечно; поэтому начнем с поиска таких решений, в которых Е перпендикулярно з, скажем решений с одной только у-компонентой Е (фиг. 24.4,а). Зто электрическое поле 223 ври е. 34.8. Выбор овей координат длн прпмодеольного волноеода.
должно как-то меняться поперек волновода; действительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных осн йч токи и ааряды в проводнике устраиваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля. Значит, график Е от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,б).
Иожет быть, У это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя понвляются только в задачах с цилиндрической симметрией. При прямоугольных сечениях вблны — это обычные гармонические функции, что-нибудь вроде е1п ее„х. Рае мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то следует ожидать, что поле как функция г будет колебаться между положительными и отрицательными значениями (фиг.
24.5) и что вд и е. 24.4. 9лектричеекое поле е волноводе при некотором вначении в. 224 ! се ив. воХ Вовисимость иоле в вовиоводв от в. зги колебания будут боя<ать вдоль трубы с какой-то скоростью з. Если имеются колебания с определенной частотой сз, то надо испытать, может ли волна меняться по г как соз(сос — /с ) или, в более удобной математической форме, как евсис — "Ф. Такая зависимость от г представляет волну, бегущую со скоростью о=со//св (см.
гл. 29 (вып. 3)!. Значит, можно допустить, что волна в трубе имеет следующую математическую форму; Е =Еоз(п/с„хе'~ис-" и. (24 12) — о Давайте-ка поглядим, можно ли при таком допущении удовлетворить правильным уравнениям поля. Во-первых, злектрическое поле не должно иметь составляющих, касательных к проводнику. Для етого наше поле подходит; вверху и внизу оно направлено поперек стенок, а с боков равно нулю. Впрочем, для последнего необходимо, чтобы полволны з1п /с„х как раз укладывалось на всей ширине волновода, т. е.чтобы было /с,а= я. (24. $3) Это условие определяет й„.
Есть и иные возможности, например /с„а=2я, Зя, ... или в общем случае йиа= пк, (24Л4) где и — целое. Все они представляют различные сложные расположения полей, по мы дальше будем говорить о самом простом, когда й„=я/а, а а — внутренняя ширина трубы. Далее, дйвергенция Е в пустом пространстве внутри трубы должна быть равна нулю, потому что в трубе вет зарядов.
У вашего Е есть только у-компоневта, но по у она не меняется, так что действительно 7 Е=О. 8 ве згзз Наконец, наше электрическое поле должно согласовываться с остальными уравнениями Максвелла для пустого пространства внутри трубы. Это все равно, что потребовать, чтобы оно удовлетворяло волновому уравнению (24Л5) Нам надо проверить, подойдет ли сюда выбранная нами форма (24Л2). Вторая производная Е по х просто равна — й„'Е . Вторая производная по у равна нулю, потому что от р ничего не зависит. Вторая производная по з есть — А,'Е, а вторая производная по г зто — сз'Е .
Тогда уравнение (24Л5) утверждает, что Коли Ег не обращается всюду в нуль (этот случай нас не очень интересует), то это уравнение выполняется всегда, если (24.16) Число й„мы уже закрепили, так что это уравнение говорит нам, что волйы предположенного нами типа возков.ны лишь тогда, когда /с, связано с частотой в условием (24.16), т. е. когда /еа ~Р й=~/ .а да (24. 17) (24.18) Вспомните теперь, что длина Л бегущей волны дается формулой Р.=2яс/в, так что /г, также равняется 2я/Хю где Х вЂ” длина волны осцилляций в направлении з — «длина волны в волноводе». Длина волны в волноводе, конечно, отличается от длины электромагнитных волн той же частоты, но в пустом пространстве. Если длину волны в пустом пространстве обозначить )., (что равно 2яс/в), то (24.17) можно переписать в таком виде: Х = ~о )/~-(ь,/за)з ' (24.19) 226 Волны, которые мы описали, распространяются в направлении г с таким значением Й .
Волновое число й„которое мы получили из (24Л7), дает нам приданной частоте го скорость, с которой бегут вдоль трубы узлы волны. Фазовая скорость равна «В и г, 2в'.о. Магиииеиое ио- ле в волиоводе. Кроме электрических полей, существуют и магнитные поля, которые тол<э движутся волнообразно. Мы не будем сейчас заниматься выводом выражений для них. Ведь сг7 х В = дЕ/дц и линии В циркулируют вокруг областей, где дЕ/дг — наибольшее, т. е. на полпути между максимумом и минимумом Е. Петли В лежат параллельн гребнями и впадинами Е (фиг.
24.6). о плоскости хз и между (24.20) Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе могут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении — з), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно могут существовать оба типа воли, то решение в виде стоячих волн тоже возможно. Наше уравнение для й, сообшает нам также, что высшие частоты приводят к большим значениям й„т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших ео величина й не станет равной ео/е — тому аначению, которое бывает, когда волна бежит в пустоте.
Свет, который мы «вндим» сквозь трубу, все еще бежит со скоростью с. Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота ео станет чересчур малой, то под корнем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это ф 3. Хрантгчнавг егаспзотпа Уравнение (24И6) для й, на самом деле имеет два корня— один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так: произойдет, когда сз перевалит через яс/а или когда Л,станет больше 2а. Иначе говоря, когда частота становится меньше некоторой критической частоты со,=пс/а, волновое число Й, (а также Л ) становится мнимым и никакого решения у нас не остается.
Или остается? Кто, собственно, сказал, что Й, должно быть действительным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнениято поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые Й, тоже представляют какую-то волну? Предположим, что са действительно меныпе сз,; тогда можно написать /с,=~ сй', (24.21) где Й' — действительное положительное число: (24.22) Ксли теперь вернуться к нашей формуле (24Л2) для Е, то надо будет написать Е =Е,з(п/с хек"стсмо, (24.23) у О х что можно также представить в виде Е =Е,зшЙ,хеьм'е' ~. (24.24) Это выражение приводит к полю Е, которое во времени колеблется как е' ', а по г меняется как е~"'. Оно плавно убывает или возрастает с г, как всякая действительнан экспонента.
В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он долвсен быть. И анак, который стоит при Й', должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн. Итак, прн частотах ниже юь=пс/а волны вдоль трубы не распространлютпся; осциллирующее поле проникает в трубулишь на расстояние порядка 1/Й'.
По этой причине частоту сз, называют «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы видим, что для частот чуть пониже сз, число Й мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если со намного меньше ю„коэффициент Й' в экспоненте равняется п/а, и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24/7). Поле убывает в е раз на расстоянии а/я, т. е. на трети ширины волновода.
Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника. Мы хотим еще раз подчеркнуть эту характерную черту нашего анализа прохождения волн по трубе — появление мнимого волнового числа А;. Когда, решая уравнение в физике, мы получаем мнимое число, то это обычно ничего физического не означает. Для волн, однако, мнимое волновое число действительно нечто означает.
Волновое уравнение по-прежнему удовлетворяется; оно только означает, что решение приводит к экспонен- Это любопытно, ведь сходное соотношение мы встречали и в квантовой механике. У частицы с любой скоростью (даже у релятивистской) импульс р и энергия У связаны соот- ношением У» = р'с'+ т»с«. (24.29) Но в квантовой механике энергия — это Ьсс, а импульс — это сс/Х, или Ь)с; значит, (24.29) можно записать так: с»~ » т«с» й«„( с» фа (24.30) или - / оР т'с' с» — ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
