Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(24.33)!. Одну и ту же вещь можно рассматривать многими способами. е..»ава 2б ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В РЕЛЯТИВИСТСКИХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ й 1. Четырехвекторы » 2. С«алярпое прон»ведение й д. Чг тырехмеряый градиент Э У. 'Тетыреогоекп»орь« В этой главе мы рассмотрим применение специальной теории относительности к злектродинамике.
Мы изучали теорию относительности довольно давно (гл. 15 — 17, вып. 2), поэтому я здесь коротко напомню основные идеи. Экспериментально установлено, что законы физики при равномерном движении не изменяются. Если вы находитесь внутри звездолета, летящего с постоянной скоростью по прямой линии, то не можете установить самого факта движения корабля: для этого надо выглянуть наруягу или по крайней мере провести какне-то наблюдения, связанные с внешним миром.
Любой написанный нами истинный закон физики должен быть сформулирован так, чтобы этот факт природы был «встроен» в него. Соотношение между пространством и временем з двух системах координат (одна нз которых 8' равномерно движется относительно другой о в направлении оси х со скоростью о) определяется преобразованиями Лоренца: г — »х з =з. г' 1 — »« й 'ь .)»гагр«динамика » четырехмерных ггбоз~гачеггггях з 5. Четырехмерный потенциал двшкущегося заряда з 6. Иквзриантность ур гзпеыггп злект родин амишг Пооьноргыыье гл.
15 (зып. 2) «Специальная теория относительности»; гл. 16 (вып. 2) «Релятивистская »пергия и импульс»1 гл. 17 (вып. 21 «Пространство- время»; гл. 13 (вып. 5) «Магяитостатика» Законы физики должны быть таковы, чтобы после преобразований Лоренца они з новой форме выглядели абсолютно так же, как и раньше. Это в точности напоминает принцип независимости законов физики от ориентации нашей системы координат. В гл. 11 (вып. 1) мы видели, что способом математического описания этой инвариантности относительно вращения является запись уравнений в векторном виде.
Там мы обнаружили, что если, скажем, взять два вектора А = (А„, л)~, А,) и В = (В„, В, В,), то комбинация А В АхВх+'хуВу+АаВх прн повороте системы координат не меняется. Таким образом, если с обеих сторон уравнения мы видим скалярное произведение, подобное А В, то уравнение будет иметь в точности ту же форму в любой повернутой системе координат.
Кроме того, мы открыли оператор (см. гл. 2) е —,), который, будучи применен к скалярной функции, дает три величины, преобразующиеся в точности как вектор. С помощью этого оператора был определен градиент, а в комбинации с другими векторами — дивергенция и лапласнан, И, наконец, мы обнаружили, что, составляя суммы некоторых попарных произведений компонент двух векторов, можно получить три величины, которые ведут себя подобно новому вектору. Мы назвали это еектпорным произведением двух векторов.
Используя затем векторное произведение с оператером 7, мы определили ротор вектора. В дальнейшем нам часте придется ссылаться на то, что было нами сделано в векторном анализе, поэтому все ванснейшне векторные операции в трехмернем пространстве, которые использовались в прошлом, мы собрали в табл. 25.1.
Таблица 2б.1 ° ВАжнеишие величины и ОпеРАторы трехмерногО векторного АндлизА Пользуясь ею, можно так записать любое уравнение физики, что обе его части преобразуются при вращениях одинаковым образом. Если одна его часть — вектор, то вектором должна быть и другая часть, н обе они при вращении системы координат изменяются в точности одинаково. Аналогично, если одна часть скаляр, то скаляром должна быть и другая часть, так что ни та, ни другая не изменяется при вращении системы координат и т. д. 242 Определевяе вектора Скалярное произведение Векторный двффервпцвааьпый Градиент Дкзергвпцяя Лапласпая Векторное произведение Ротор А (А„,А, А) А В оператор 7 77 7.А 77 7з АХВ 7ХА В теории относительности пространство и время неразделимо связаны друг с другом, поэтому то же самое придется проделать и для четырех измерений.
Мы хотим, чтобы наши уравнения оставались неизменными не только при вращениях, но и при переходе в любую инерциальную систему. Зто означает, что наши уравнения должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (25 1). Цель настоящей главы — показать, как этого можно добиться. Но прежде чем начать, примем соглашение, которое значительно облегчит нашу работу (и к тому же поможет избежать путаницы). Заключается оно в таком выборе единиц измерения длины и времени, чтобы скорость света с оказалась равной единице, Вы можете считать, например, что в качестве единицы времени взят интервал, за который свет проходит отрезок з один метр (это составляет около 3 10 ' сек). Можно даже так и назвать эту единицу времени.
"«один световой метр». Использование этой единицы еще ярче оттеняет симметрию пространства и времени. Кроме того, из наших релятивистских уравнений исчезнут все с. (Если это почему-либо вас смущает, то вы можете в любом уравнении восстановить их или заменить каждое 1 на с1, а еще лучше вставить с повсюду, где это необходимо для правильной размерности уравнения.) Теперь, после такой подготовки, мы можем двинуться дальше. Наша программа состоит в том, чтобы повторить в четырехмерном пространстве-времени все. то, что мы делали с векторами в трех измерениях. Дело это нехитрое — мы просто будем действовать аналогично.
Единственное затруднение встретится только при обозначениях (символ вектора у нас уже занят трехмерными векторами), и несколько изменятся знаки в скалярном произведении. Пре»кде всего, по аналогии с векторами в трехмерном пространстве, введем четырехеектор как набор четырех величин а„а„, а и а„которые при переходе в движущуюся систему координат преобразуются подобно», х, у и з. Для обозначения четырвхвектора используется несколько различных способов. Мы же будем писать просто а, понимая под этим группу четырех величин (а„а„, а, а,); другими словами, значок )«принимает какое-либо из четырех «значвний»: ~, х, у и . Иногда нам будет удобно обозначать три пространственные компоненты з виде трехмерного вектора, т.
е. писать а„=(а„а). Мы ужв сталкивались с одним таким чвтырехвектором, состоящим из энергии и импульса частицы (см. гл. 17, вып. 2). В наших новых обозначениях он запишется так: р,=(Е, р) (25.2) т. е. четырехвектор р, состоит из энергии Е и трех компонент трехмерного импульса частицы р. Похоже, что игра действительно оказывается нехитрой." единственное, что мы должны сделать,— это найти для каждого трехмерного вектора недостаю«цую компоненту и получить четырехвектор. Однако все же эта задача потруднее, чем кажется на первый взгляд. Возьмем, например, вектор скорости с ком- понентами Ых х Ес' ви у е«' ее г,= —.
е« Что будет его временнбй компонентой? Инстинкт подсказывает навц что поскольку чегырехвектор подобен «, х, у, г, то временнби компонентой как будто должно быть и = — =1. й Но это неверно. Дело в том, что время ~ в каждом знаменателе не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Числитель имеет правильное поведение, а Ж в знаменателе портит все дело: оно не одинаково в двух различных системах. Оказывается, что четыре компоненты «скоростн», которые нам нужно выписать, превратятся в компоненты четырехвектора, если мы попросту поделим их на )' т — и'.
В правильности этого можно убедиться, взяв четырехвектор импульса р =(Е, р)=( ", " ) (25.3) ( ) (25.4) что по-прежнему должно быть четырехвектором. (Деление на скаляр не изменяет трансформационных свойств.) Так что четырехвектор скорости и можно определить так: »у (25.5) »х Ю их у — „«~ иг у« Это очень полезная величина; мы можем теперь написать, например, р„=т,и . (25.6) Таков типичный вид, который должен иметь правильное релятивистское уравнение: каждая сторона его должна быть четырех- вектором. (В правой части стоит произведение инварианта на четырехвектор, которое по-прежнему есть четырехвектор.) и поделив его на массу покоя, которая в четь«рехмерном прост- ринстве является скаляром.
Мы получим при этом ф 2. С««алланов проывееден««е То, что расстояние от некоторой точки до начала координат не изменяется при повороте, если хотите,— счастливая случайность. Математически это означает, что г'=х'+у'+з' является инвариантом. Другими словами, после поворота т'=т» иля х'+ у '+ г'» = х»+ у'+ з». Возникает вопрос: существует ли подобная величина, которая инвариантна при преобразованиях Лоренцау Да, существует.
Из (25.() вы видите, что «' — х" = «» — х'. Она была бы всем хороша, если бы только не зависела от нашего выбора оси х. Но этот недостаток легко исправить вычитанием у» и з'. Тогда преобразование Лоренца плюс вращение оставляют ее неизменной. Таким образом, роль величины, аналогичной трехмерному г' в четырехмерном пространстве, играет комбинация «« — х» — у» — 2». Ояа является инвариантом так называемой «полной группы Лоренца», которая включает как перемещения с постоянной скоростью, так и повороты.
Далее, поскольку эта инвариантность представляет собой алгебраическое свойство, зависящее только от правил преобразования (25 т) плюс вращение, то она справедлива для любого четырехвектора. (Все они, по определению, преобразуются одинаковым образом.) Так что для любого четырехвектора а, а ' — а' — а' — а' = а' — а' — а' — а'. К т 2 ! М 1 Л Эту величину мы будем называть квадратом «длины»четырех- вектора а„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
