Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Дивергенция, определяемая формулой (25.7), есть инвариант, и для всех систем координат, отличающихся друг от друга преобразованием Лоренца, применение ее приводит к одинаковой величине. Остановимся теперь на физическом примере, в котором появляется четырехмерная дивергенция. Ею можно воспользоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13, 2 7, вып.
5), что плотность электрического заряда р и плотность тока 1 образуют четырехвектор ) =(р, 1). Если незаряженный провод переносит ток 7'„, то в системе отсчета, движущейся относительно него со скоростью и (вдоль оси я), в проводнике наряду с током появится и заряд !который возникает согласно закону преобразований Лоренца (25.1)): — Ю!' )» р у»,, 1» Но это как раз то, что мы нашли в гл.
13. Теперь нужно подставить эти источники в уравнение Максвелла в движущейся системе и найти поля. Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмерную дивергенцию вектора у,: А д~+ (25.18) Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из единицы объема должно быть равно отрицательной скорости увеличения плотности заряда. Иными словами, до т )= — —. де' Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму закона сохранения заряда: ч„А=о.
(25. 19) Благодаря тому что т7„)', — инвариант, равенство его нулю в одной системе отсчета означает равенство нулю и во всех других. Таким образом, если заряд сохраняется в одной системе, он будет сохраняться и во всех других системах координат, движущихся относительно нее с постоянной скоростью. В качестве последнего примера рассмотримскалярное произведение оператора градиента 17„ на себя. В трехмерном пространстве такое произведение дает лапласиан д» д» д» Зуз п.~1 + + д»» дд» д»» ' Что получится для четырех измерений7 Вычислить это очень просто.
Следуя нашему правилу скалярного произведения, на- 251 11 ,ь ! н 1 11 э!» ! Ф 11 ь !1 " 14 1 э) 11 э + + 11 Ф Я Ф а В э)ч 1! э ' 14 11 Ь о И о' Ф эо $ ~а Ф И Я~ Ф Ф Ф о Р П Ф В у о, ж с с ж Х М с с Ц М И с с Ф а Х й 2 В 3 Н О Ж М ! .с," .о ь Ф ь ! ,ь !4 Ф!4 11 $> э~а !4 ! Этот оператор, представляющий аналог трехмерного лапласиана, называется далалсбертианозс и обозначается специальным символом И =Р,ч.=зс,— У. а (25,20) По построению он является скалярным оператором, т. е., если подействовать им, скажем, на четырехвекторное поле, возникает новое четырехвекторное поле. (Иногда даламбертиан определяется с противоположным по отношению к (25.20) знаком, так что при чтении литературы будьте внимательны!! Итак, для большинства величин, перечисленных нами в табл.
25.1, мы нашли их четырехмерные эквиваленты. (У нас еще нет эквивалента векторного произведения, но его нахождение мы оставим до следующей главы.) А теперь соберем в одно место все важнейшие результаты и определения и составим еще одну таблицу (табл. 25.2); она поможет вам лучше запомнить, что во что переходит. ф А Электнттоднналснка е метыуешме1тныю обозначеннлсс В гл, 18, $6, мы уже сталкивались с оператором Даламбера, хотя и не знали, что он так называется. Мы нашли там дифференциальное уравнение для потенциалов, которое в новых обозначениях выглядит так: дс,р э !-~зА (25.
21) зь сь С правой стороны (25.21) стоят четыре величины р, !„, 1, 1„ поделенные на е, — универсальную постоянную, одинаковую во всех системах координат, если во всех системах для измерения заряда используется одна и та же единица. Таким образом, четыре величины р/е„у„/ес, 1 /еь, ус/еь тон<е преобразуются как четырехвектор. Их можно записать в виде 1„/е,. Оператор Даламбера не изменяется при переходе к другим системам координат, так что четыре величины ср„А„, А иА, тоже должка преобразсвашься как четырехвектор, т. е. должны быть компонентами четырехвектора.
Короче говоря, величина А,= (<р, А) есть четырехвектор, То, что мы называли скалярным и векторным потенциалами, оказывается только разными частями от одной и той же физической величины. Они неотделимы друг от друга. А если это так, то релятивистская инвариантность мира очевидна. Вектор А мы называем чстмрехмсрным потенциалом (4-потенциалом). В четырехмерных обозначениях (25.21) приобретает очень простой вид: (:)гА,= ~. (25.22) Физика этого уравнения та яге, что и уравнений Максвелла. Но есть своя прелесть в том, что можно переписывать их в столь элегантной форме. Впрочем, зта красивая форма содержит и коечто более значительное — из нее непосредственно видна ипвариантность электродинамики относительно преобразований Лоренца.
Напомним, что уравнение (25.21) можно получить из уравнений Максвелла только тогда, когда наложено дополнительное условие градиентной инвариантности: (25. 23) что означает просто 7„А =О, т. е. условие градиентной инвариантности говорит, что дивергенция четырехмерного вектора Ае равна нулю. Зто требование носит название условия 7оргнча. Такая форма его записи очень удобна, нбо она инвариантна, а поэтому уравнения Максвелла во всех системах отсчета сохраняют вид (25.22).
ф д. Четяыуехмерггый ыотпетацчгая детгжущегося наряда Ч вЂ” гА„ г' 1 — гг А„— лр (25. 24) При атом предполагается, что штрнхованная система координат движется по отношению к нештрихованной со скоростью и в направлении оси х. Рассмотрим один пример плодотворности идеи 4-потенциала. Чему равны векторный и скалярный потенциалы заряда д, движущегося со скоростью в в направлении оси И Задача очень упрощается в системе координат, движущейся вместе с зарядом, ибо в этой системе заряд покоится. Пусть заряд находится в начале координат системы Я', как это показано на фиг. 25.2.
Теперь выпишем законы преобразования, выражающие ~р и А в движущейся системе через ~ и А в неподвижной, хотя неявно мы ул1е говорили о них. Поскольку А =(~р, А) является четырехвектором, это уравнение должно выглядеть подобно (25.1), за исключением того, что г нужно заменить на ~р, а х — на А. Таким образом, Фи г. 2в.н Система отсчетаЮ' движется со ско- ростью о (в наяравлении оси х) яо отношению к системе Я. Заряд, кокоякгийся вначале системи координаог 6', наводится е системе Б е точке а=ой Потгнииолн в гиочке Р могут бить найденн для любой еиетемн отсчета. Скалярный потенциал в движущейся системе задается выражением 4яе,е' ' (25.25) ер' -)- оА „ А„+ тр' А =А', (25.26) Используя далее выражение для зр'!см. (25.25)) и равенство А'=О, получаем о 1 1 ф = 4ЛОО ге р 1 ОЗ 4ибо )г 1 ОЗ )/Х'З+р'3+З'3 Эта формула дает нам скалярный потенциал ер, который мы увидели бы в системе Ю, но он, к сожалению, записан через координаты штрихованной системы.
Впрочем, это дело легко поправимо; с помощью (25.4) можно выразить 1', х', у', з' через 1, х, р, з и получить ЫЕ з 1 (25. 27) 4аео )г" 1 — зз $геИх оз)~ у" ~ оз)з+ уз+ зз 255 причем г' — расстояние от заряда д до точки в движущейся системе, где производится измерение поля.
Векторный же потенциал А', разумеется, равен нулю. Теперь без особых хитростей можно найти потенциалы ср и А в неподвижной системе координат. Соотношениями, обратными к уравнениям (25.24), будут Повторяя ту же процедуру для вектора А, вы можете показать, А =тир. (25. 28) Это те же самые формулы, которые мы вывели в гл. 21, но там они были получены другим методом.
Э 6. Итвари п«»»п»»остпь 1»1»авиеи«»й олен«п1»од«»нам«»к«» Итак, потенциалы «р и А, оказывается, образуют в совокупности четырехвектор, который мы обозначили через А„, а волновое уравнение (полное уравнение, выражающее А через !„) можно записать в виде (25.22). Это уравнение вместе с сохранением заряда (25.19) составляют фундаментальный закон электромагнитного поля: (25. 29) !!»А = — 1, з, »' И вот, пожалуйста, все уравнения Максвелла просто и красиво записываются всего в одной строке.
Достигли ли мы чего-нибудь, записав их в таком виде, кроме, разумеется, красоты и простоты? Прежде всего, есть ли здесь какое-нибудь отличие от того, что было раньше, когда мы выписывали их во всем разнообразии компонентУ Можно ли из этих уравнений получить нечто, чего нельзя получить из волновых уравнений для потенциалоз, содержащих заряды и токи7 Ответ вполне определенный— конечно, нельзя. Единственное, что мы сделали — зто изменили названия, т.
е. испольэовали новые обозначения. Мы нарисовали квадратик для обозначения производных, но это по-прежнему не более и не менее как вторая производная по ~ минус вторая производная по х, минус вторая производная по у, минус вторая производная по з. А значок р говорит, что у нас есть четыре уравнения, по одному для каждого из значений !»=!, х, у или г. Какой же тогда смысл того, что уравнения можно записать в столь простой форме3 С точки зрения получения чего-то нового — никакого.
Хотя, возможно, простота уравнений и выражает определенную простоту природы. Сейчас я покажу вам нечто интересное, чему мы понемногу научились. Можно сказать, что всв законы физики опиеываюжся одним уравнением: ц=0 (25.30) 11е правда ли, удивительно простое уравнение! Конечно, нуя«- но еще знать, чтб обозначает символ О. Это физическая величина, которую мы будем называть «несообразностью» а ситуации. У нас даже есть для нее формула.
Вот как вычисляется ' В аз»лай«ком орвгввалв «завоз!а!ш«зз».= Прим. р«О. зта несообразность: вы берете все физические ааконы и записываете их в особой форме. Например, вы взяли закон механики Р=та и записали его в виде Р— та=О. Теперь вы можете величину (Р— та), которая, разумеется, в нашем мире должна быть нулем, назвать «несообразностью» механики. Затем вы берете квадрат этой несообразности, обозначаете его через О, и называете ее «механической несообразностью». Другими словами, вы берете (25.31) О, = (Р— та)», потом выписываете второй физический закон, скажем У Е= = р/е„и определяете О»=(» Š— Я который можно назвать «гауссовой электрической несообразностью».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
