Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Ж.Б. Магнитное лоле валили деижуивееося заряда равно оХЕ (ср. с фиг. сд.ов. 'Ог Чг г<гт <д и е. 26.6. Силы между двумя движугиимися зарядами не всегда равны и противоположны. Д Оетеие, опав юавгпсв, гы равно епротиееееаегпеию, <<г ~г рг мент их относительное положение будет таким, как изобрая<ено на фиг. 26.6, а. Рассмотрим теперь силы, с которыми д, действует на д,, и наоборот. На <7г со стороны д действует только электрическая сила, ибо д, на линии своего движения не создает магнитного поля. Однако на д, кроме злектрического поля, действует еще и магнитное, так что он движется и в магнитном поле, создаваемом зарядом дг.
Все зги силы показаны на фиг. 26.6, б. Электрические силы, действующие на <7< и д„равны по величине и противоположны по направлению. Однако на д, еще действует и боковая (магнитная) сила, которой и в помине пеги у д,. Равно ли здесь действие противодействи<о7 Поломайте голову над зтим вопросом. В о..геелятггггвггешег<ое тгреобравовагггге тголем В предыдущем параграфе мы вычисляли злектрическое и магнитное поля, исходя из трансформационных свойств потенциалов. Но, несмотря на приведенные ранее аргументы в пользу физического смысла и реальности потенциалов, поля все же вал<- нее. Они тоже реальны, и для многих задач было бы удобно иметь способ вычисления полей в движущейся системе, если поля в некоторой «покоящейся» системе уже известны.
Мы имеем законы преобразования для ф и А, поскольку А представляет собой четырехвектор. Теперь нам хотелось бы йайти законы преобразования Е и В. Пусть мы знаем векторы Е и В в одной системе отсчета. Как же оки выглядят в другой системе, движу-- щейся относительно первой? Здесь-то нам и понадобятся преобразования. Конечно, мы всегда можем сделать зто через потенциал, но иногда удобно уметь преобразовывать поля непосредственно.
Сейчас мы увидим, как зто делается. Как можно найти закон преобразования полей7 Нам известны законы преобразования ф и А, и мы знаем, как выражаются поля через ф и А, так что отсюда нетрудно найти преобразования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каждого вектора 267 дАх дАл дАУ дА» дА дА„ В х дд д« В слагаемые, образующие х-компоненту В, входят только г- и у-компоненты А. Предположим, мы назвали эту комбинацию производных и компонент «гу-штукой», нли сокращенно Р, .
Мы просто имеем в виду, что дА, дАУ »У дд д» (26А5) Подобной же «штуке» равна и компонента В, но на сей раз это будет «хг-штука», а В„разумеется, равна «ух-штуке». Таким образом, В Р, В =Р„, В,=Р „. (26А6) Посмотрим теперь, что получится, если мы попытаемся смастерить «штуки» типа «>», т. е. Р„, или Р>«(ведь природа дол- жна быть красива и симметрична по х, у, г и 1). Что такое, например, Рм? Разумеется, она равна дА> дА д» д> Но вспомните, ведь А,=>р, поэтому предыдущее выражение равно д» дА, дг д» Такое выражение нам уже встречалось раньше.
Зто почти г-компонента поля Е. Почти, эа исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте проиаводная по 8 идет со знаком, противоположным производным по х, у и г. Так что на самом деле нам следует взять более есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, например, с вектором Е можно связать некую величину, которая сделает его четырехвектором. То же самое относится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно, равно 7 х А.
Теперь мы знаем, что х-, у- и г-компоненты векторного потенциала — это только одна часть, помимо них есть еще и г-компонента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора 7 наряду с производными по х, у и г есть также производная по г. Давайте я<е попытаемся найти, чтб получится, если мы произведем замену у на ~, или г на г, или еще что-нибудь в этом духе. Прежде всего обратите внимание на форму слагаемых, образующих компоненты В: умное обобщение, т. е. считать длс дА гс= + дг дс (26.17) Теперь она в точности равна — Ех.
Так же можно построить гс и г"с к получить три выражения: Г сх = Ех Рсу = — Еу, Р сг = Ьг' (26. 18) А что, если оба индекса внизу будут С7 Или оба будут х7 Тогда мы получим выраясения типа дАс дАс сс дс дс р д л х хх дх дх т. е. просто нуль. Итак, у нас есть шесть таких «Р-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ничего нового, ибо помня при этом, что сгд д д дс х» (дС ' дх' ду' дг/ ' А =(ср, Ах, А, А,). То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе существуют шесть величин, которые представляют различные стороны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, которые в нашем обычном медленно движущемся мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как совершенно отдельные векторы, в четырехмерном пространстве уже не будут ими.
Они — часть некоторой новой «штуки». и т.п. Таким образом, из шести возмонсных попарных комбинаций четырех значений индексов мы получили шесть различных физических объектов, которые предстаеляют компоненты В и В. Чтобы записать члены Р в общем виде, мы воспользуемся обобщенными индексами )с и т, каждый из которых может быть 6, 1, 2 или 3, обозначающих соответственно (как и в обычных четырехвекторах) с, х, у или з. Кроме того, все будет прекрасно согласовываться с нашими четырехмерными обозначениями, если Р„„определить как хг = с7~ г ссг (26.19) Наше физическое «поле» на самом деле шестикомпонентный объект Р „. Вот как обстоит дело в теории относительности. Полученные результаты для Р „собраны в табл. 26Л. таблица гб.г ° компонкнты к „ Вы видите, что мы сделали фактически обобщение векторного произведения.
Мы начали с ротора и с того факта, что его свойства преобразования в точности такие же, как свойства преобразования двух векторов — обычного трехмерного вектора А и оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обычному векторному произведению в трехмерном пространстве, например к моменту количества дзян~ения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой оказывается комбинация (хв — уо„), а при дэни~енин в трехмерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали моментом количества движения: ~гг = т (*"т угх)~ А „=т(уи,— ги ), Ь „т(гв — ги,). Затеи (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотворили в гл. 20 (вып.
2) чудо: эти три величины превратились в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искусственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент Ь;~ (~ и ! равны х, у или г) оказался антисимметричным объектом, т. е. ~су= ~д гк=0. Из девяти возможных его величин независимы чишь три.
И вот оказалось, что при изменении системы координат эти три оператора преобразуются в точности, как компоненты вектора. То же свойство позволяет записать в виде вектора и элемент поверхности. Элемент поверхности имеет две части, скажем дг и Ыу, которые можно представить вектором да, ортогональным к поверхности.
Но мы не можем сделать этого же для четырех измерений. Что будет нормалью к элементу Ыгду7 Куда она направлена — по оси г или по Й 270 Короче говоря, для трех измерений оказывается, что комбинацию двух векторов тина Х,,7, к счастью, снова можно представить в виде вектора, поскольку возникают как раз три члена, которые, выходит, преобразуются подобно компонентам вектора. Для четырех измерений это, очевидно, невозможно, поскольку независимых членов шесть, а шесть величин вы никак не представите в виде четырех.
Однако даже в трехмерном пространстве мох«но составить такую комбинацию векторов, которую невозможно представить в виде вектора. Предположим, мы взяли какие-то два вектора а=(а„, а„, а») и Ь=(Ь„, Ь„, Ь,) и составили всевозможные различные комбинации компонент типа а„Ь„, а„Ь и т, д. Всего получается девять возможных величин: а„Ь„, а„Ь„, а,Ь„ Эти величины можно назвать Т,р Коли теперь перейти в повернутую систему координат (скажем, относительно оси г), то при этом компоненты а и Ь изменяются. В новой системе а„должно быть заменено на а„= а, соз О + а з1п О, а Ь вЂ” на У Ь =Ь созΠ— Ь з1вО. У У х Ляалогичные вещи происходят и с другими компонентами. Девять компонент изобретенной нами величины Тое разумеется, тоже изменяются.
Например, Т„=а„Ь переходит в Т„у=а„Ь (соз»О) — а„Ь„(созОМвО)+а Ь (з1пбсозО) — а Ь„(з1в»О), или Т„= Т„»сов~Π— Т„„созОз1в О+ Т з1п О сов Π— Т э1п О. ху Каждая компонента Т«7 — это линейная комбинация компонент Т; . Итак, мы обнаружили, что из векторов можно сделать не только векторное произведение аХ Ь, три компоненты которого преобразуют подобно вектору. Искусственно мы из двух векторов Т, можем сделать «произведение»другого сорта. Девять его компойент преобразуются при вращении по сложным правилам, которые можно выписать.
Подобный объект, требующий для своего описания вместо одного индекса два, называется тел»ором. Мы построили тензор «второго ранга», но так же можно поступить и с тремя векторами и получить тензор третьего ранга, а из четырех векторов — тензор четвертого ранга и т. д. Тензором первого ранга является вектор. 271 Ь,— Ь„ с )сс — е«1 ~'х с Ьс "= у'$ —.« ' ас — с'« а,'= х Ь'1 — »« ' а — ««с к Ь' $ — »« (26.21) а =а,„ аг — а«г Ь,=Ь,. Теперь преобразуем компоненты С„. Начнем с С,„: С', с'Ь ° Ь ( ас — »«х)( ь„— »ьс) (~» — ~~с)( ьс — »ьх) = а,Ь вЂ” а,,Ьс.
х Но ведь это просто С,„. Таким образом, мы получили простой результат Возьмем еще одну компоненту: « „„Ь РЬ„(ась — а Ьс) — » (а„ьу — «уЬ„> 272 Суть всего этого разговора в том, что наше электромагнитное поле Р „— тоже тензор второго ранга, так как у него два индекса. Одйако это уже тензор в четырехмерном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
