Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Хорошим четырехмерным оператором будет и производная по в, т. е. а/с!в, так как она инвариантна относительно преобразований Лоренца. 278 которую мы назовем «4-силой». Она уже четырехвектор, и ее пространственными компонентами будут уже не Р, а еЛ т-ж. Почему же / четырехвектор7 Неплохо бы понять, что зто Д'Г~~.. т. - -*р.- чаемся с ним уже второй раз, то самое время посмотреть, почему производная «И1 всегда должна входить с одним и тем я<е множителем. Ответ заключается вот в чем. Когда мы берем производную по времени некоторой функции х, то подсчитываем приращение Лх за малый интервал Лг переменной 1. Но в другой системе отсчета интервал Л1 может соответствовать изменению как 1', так и х', так что при изменении только 1' изменение х будет другим.
Для наших дифференцирований следовало бы найти такую переменную, которая была бы мерой «интервала» в пространстве-времени и оставалась бы той же самой во всех системах отсчета. Когда в качестве этого интервала мы принимаем приращение Лх, то оно будет тем же во всех системах отсчета. Когда частица «движется» в четырехмерном пространстве, то возникают приращения как Л1, так и Лх, Лу, Лг. Можно ли из них сделать интервал7 Да, они образуют компоненты приращения четырехвектора х =(сг, х, у, г), так что, если определить величину Лв через (Ле)' = —, Лх Лх = — (с' Л1» — Лх' — Лу' — Лг') (26.29) » 1 Для двшкущейся частицы ззг легко связывается с ззз.
Для точечной частицы ,(х= и„Ю, с(у=и й, дз=изд8, (26.36) а ,) / (,цзусз) (сз „'„з,з в',) = й )г~$ — вз/сз (26.31) Таким образом, оператор 1 л у з — з/оз 'Зз есть ияаарианлзнмй оператор. Если подействовать им на любой четырехвектор, то мы получим другой четырехвектор. Например, если мы действуем им на (сз, х, у, з), то получаем четырехвектор скорости ох — »=и . Из Теперь мы видим, почему г' 1 — иЧсз поправляет дело.
Инвариантная переменная з — очень полезная физическая величина. Ее нааывают «собственным временем» вдоль траектории частицы, ибо в системе, в любой момент движущейся вместе с частицей, Ыг просто равно интервалу времени. (В атой системе Лх=Лу=Л«=О, а Лг=Л».) Если вы представите себе часы, скорость хода которых не зависит от ускорения, то, двигаясь вместе с частицей, такие часы будут показывать время з. Теперь можно вернуться назад и записать закон Ньютона (подправленный Эйнштейном) в изящной форме: Ыр » у (26.32) где координаты х =(с~, х, у, з) описывают теперь траекторию частицы.
Наконец, четырехмерные обозначения приводят нас к очень простой форме уравнений движения: ~Рх 1 =лзо ~Ь« (26.34) напоминающей уравнения Г=лза. Важно отметить, что уравнения (26.34) и Р=та — вещи разные, ибо четырехзекторная форма уравнения (26.34) содержит в себе релятивистскую механику, которая при больших скоростях отличается от механики 279 где ~, определяется формулой (26.28). Импульс же р может быть записан в виде Из (26.33) Ньютона.
Это абсолютно непохоже на случай уравнений Максвелла, где нам нужно было переписать уравнения в релятивистской форме, совершенно не изменял их смысла, а изменяя лишь обозначения. Вернемся теперь к уравнению (26.24) и посмотрим, как в четырехвекторных обозначениях записывается правая часть. Три компоненты Р, поделенные на )/1 — ог/сг, составляют пространственные компоненты /,, так что в (и+тхи)х ) ~х "туз "луг 1 26 33 у"~ — '/' )' у'т — / уг — / у1 — / 1' Теперь мы должны подставить все величины в их релятивистских обозначениях. Прежде всего с/)/1 — ьл/сг, и /)/1 — о'/с' и Л1 '7Е и- ° Компоненты же Е и В входят в электромагнитный тензор второго ранга Р,„.
Отыскав в табл. 26.1 компоненты Рсо соответствующие Е„, В, и В, получим /„=о(и,ры — и Є— и,Р,); здесь уже начинает вырисовываться что-то интересное. В каждом слагаемом есть индекс х, и вто разумно, ибо мы находим х-компоненту силы. Все же остальные индексы появляются в парах гг, уу, гг — все, кроме слагаемого с хх, которое куда-то делось. Давайте просто вставим его и запишем 1„= д (и,Р„, — и„Р„„— и Є— и,Р„,). (26,36) Этим мы ничего не изменили, так как благодаря антисимметрии Р „слагаемое Р„равно нулю. Причиной же нашего желания восстановить его является возможность сокращенной записи уравнения (26.36): (26.37) Это по-прежнему уравнение (26.36), если предварительно мы примем соглашение: когда какой-то индекс встречается в произведении двалсды (подобно т), нужно автоматически суммировать все слагаемые с одинаковыми значениями этого индекса точно так же, как и в скалярном произведении, т.
е. пользуясь гаем же самым правилом знаков. Нетрудно поверить, что уравнение (26.37) так же хорошо работает и для р=у, и для )г=г. Но как обстоит дело с )г=17 Посмотрим для забавы, что дает формула Ус =- я (иАс илРгв игру ивр тв) Теперь мы снова должны перейти к Е и В. После этого получается ~,=Я(0+, Ех+,, Еу+ Ех)с (2638) или дт К 'г' 1 — и~(с~ Е1о в (26.28) ~, бралось равным Г т дт ° (Е+тхн) г' 1 — х~/хз $' 1 — х'/с' А это одно и то же, что (26.38), ибо т (т м В) равно нулю.
Так что все идет как нельзя лучше. В результате наше уравнение движения записывается в элегантном виде: (26.39) Как ни приятно видеть столь красиво записанное уравнение, форма эта не особенно полезна. При нахождении движения частицы обычно удобнее пользоваться первоначальным уравнением (26.24), что мы и будем делать в дальнейшем. Гл а е а г2 4" ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ И ЕГО ИМПУЛЬС з 1. Локальные зак пы сохранения з 2. Сохранение эпергпп п элеи ромагнптное по. 3. Плотность энергии и пот! энерпш в электр! т!агпптпот! поле 4.
Неопределенность энергии поля 5. Прил!еры потоков энергз 6, Цмпу,!Ьс цо;и! 282 Э л. Д'опальные ваконн ооэсранення 5 То, что энергия вещества ие всегда сохракяется, ясно как день, При излучении света объект теряет энергию, Однако потеряииую экергию можно представить в какой-тодругой форме, скажем, в форме энергии света. Поэтом!8 закон сохраиекия энергии ие полон, если ие рассмотреть энергию, связанную со светом, в частности, и с электромагкиткым полем вообще. Сейчас мы подправим его, а заодио и зако4 сохранения импульса с учетом электромагнитного поля. Мы, разумеется, ие можем обсуждать их порознь, ибо, согласно теории отиоситель~~ ности, это различные проявления одного и того же четырехвектора. С сохранением эиергии мы поаиакомились еще в начале нашего курса; тогда мы просто сказали, что полная энергия в мире остается постояииой.
Теперь же мы хотим сделать очень важное обобщение идеи закона сохранения энергии, которое скажет иам нечто о деталях того, лак это происходит. Новый зэков будет говорить, что если эиергия уходит из какой-то области, то это может происходить только за счет ее вытекаяия через границы рассматриваемой области. Это утверждение сильнее, чем просто сохранение эиергии без подобиых ограиичеиий. Нтобы легче повять смысл этого утверждения, посмотрим, как работает закон сохранения заряда. У иас есть плотность тока 1 и плотность заряда р, а сохранение заряда описывается тем, что если в каком-то месте заряд уменьшается, то оттуда должен происходить отток зарядов.
Мы называем это сохранением заряда. Математически закон сохранения записывается в виде 7.) = — —, др дс (27») Пак следствие этого закона полный заряд всего мира остается постоянным. Заряды никогда не рождались и не уничтожались; в мире как целом нет никакой чистой прибыли зарядов, как нет и никаких потерь. Однако полный заряд мира можно сделать постоянным и другим способом. Пусть вблизи точки (1) находится заряд ~3„а вблизи точки (Г), расположенной от нее на некотором расстоянии, никакого заряда нет (фиг. 27Л). Предположим теперь, что с течением времени заряд ее, постепенно исчезает, но что одновременно с уменьшением ед, вблизи точки (2) появляется заряд ед„причем так, что в любой момент сумма е1, и е,«остается постоянной.
Другими словами, в любой промежуточный момент количество заряда, теряемое ~3„прибавляется к е1 . При этом в мире полное количество заряда сохраняется. Хотя это тоже «всемирное» сохранение заряда, мы не будем его называть «локальным» сохранением, ибо для того, чтобы заряд перебрался из точки (1) в точку (2), ему не обязательно появляться где-то в пространстве между этими точками. Локально заряд просто «теряется». Однако такой «всемирный» закон сохранения встречает в теории относительности большие трудности. Понятие «одновременно» для точек, разделенных расстоянием, неэквивалентно для разных систем. Два события, происходящие одновременно в одной системе, не будут одновременными в системе, двюкущейся относительно нее.
Для «всемирного» сохранения только что описанного типа требуется только одно — чтобы заряд, теРЯемый вд„одновРеменно поЯвлЯлсЯ в ~з. В пРотивном слУчае будут такие моменты, когда заряд не сохраняется. По-видимому, способа сделать закон сохранения заряда релятивистски е21 Ф ив. 87,1.
в7ва способа описания сохранения варяда. а .' Ое Е О, постоянно. б: — = ) Ьи ба= — '. «и, е бе. ' ас ) ае 283 ф М. Сохранение онер«ни и электромагнитное ноле Нам надо теперь описать сохранение энергии в электромагнитном поле количественно. Для этого нужно выяснить, сколько энергии находится в единице объема, а также какова скорость ее потока. Рассмотрим сначала энергию только электромагнитного поля.
Пусть и обозначает плотность»нерзии поля, т. е. количество энергии в единице объема пространства, а вектор 8 — вол»ок»яергии поля (т. е. количество энергии, прошедшее в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную к потоку). Тогда, аналогично сохранению заряда (27.1), можно нависать «локальный» закон сохранения энергии поля в виде — = — Ч Я. э» (27.2) Конечно, этот закон, вообще говоря, не верен; энергия поля не сохраняется. Представьте, что вы находитесь в темной ком- инвариантяым, не делая его «локальным», не существует.
Суть в том, что требование лореицевой инвариантности, как оказывается, удивительнейшим образом ограничивает всемв>нные законы природы. В современной квантовой теории поля, например, теоретики часто пытаются изменить теорию, допустив то, что мы называем «нелокальным» взаимодействием, когда нечто, находящееся здесь, непосредственно влияет на нечто, находящееся там, но мы всегда наталкиваемся на трудности, се я за нные с принципами от н оси тел ьн ости. «Локальные» же законы сохранения основаны на другой идее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
