Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если радиус пластин равен а, а расстояние между ними й, то полная энергия, 292 заключенная между пластинами, будет 0 = ( — ',Е') (лаесс). (27.19) С изменением напряженности Е зта энергия тонге меняется. Когда конденсатор заряжается, внутренний объем приобретает энергию со скоростью — = з,ла'ЕЕ. дс (27.20) Так что должен существовать поток энергии, направленный откуда-то со стороны внутрь объема, Вы, конечно, думаете, что он идет от проводов, заряжающих конденсатор,— а вот и нет! Поток внутрь никоим образом не может идти с атой стороны, так как Е перпендикулярно к пластикам, а поэтому ЕхВ должно быть параллельно им.
Вы, вероятно, помните, что при зарядке конденсатора возникает магнитное поле, которое направлено по окружности вокруг оси. Об этом говорилось в гл. 23. Воспользовавшись последним уравнением Максвелла, мы там нашли, что магнитное поле на краю конденсатора определяется выражением 2лаееВ = Е ла', илн сэ и е.
22.8. Вбливи варнкеенноео кондегтатора вектор Пойнтинеа 8 направлен внутрь нега. 20 Гэ 2254ь Направление его показано на фиг. 27.3. Таким образом, на краях конденсатора, как видно из рисунка, возникает поток энергия, пропорциональный Е Х В. Так что энергия на самом деле втекает в конденсатор не со стороны проводов, а со стороны окружающего его пространства, Ф и е. 2г .4. Поле ене ноггденеапгора, еарязнеггнозо двумя очень удаленными заряда.ии. Давайте проверим, согласуется ли полный поток через всю поверхность между краями пластин со скоростшо изменения внутренней знергии. Для этого лучше всего повторить весь путь, проделанный нами при выводе выражения (27.15). Посмотрим, к чему он приведет. Площадь поверхности равна 2яа)е, а абсолютпая величина Б=е с»(ЕХВ) равна "" (ь ) так что полный поток энергии будет па»Ье,ЕЕ.
Это совпадает с уравнением (27.20). Удивительная вещь! Оказывается, при зарядке конденсатора энергия идет туда не через провода, а через зазор мевгду краямн пластин. Вот что говорит нам эта теория! Как зто может быть? Вопрос не из легких, но вот вам один из способов рассуяедения. Предположим, у нас есть заряды, расположенные над и под конденсатором вдали от него. Когда такие заряды расположены вдалеке, то конденсатор окружаеч хотя и слабое, но необычайно протяженное поле (фиг.
27.4). Затеи, когда заряды подходят все ближе и ближе, поле становится все сильнее и сильнее и все теснее «обнимает» конденсатор. Так что знергия поля, которая вначале была далеке, дви'кется ° по направлению» к конденсатору и в конце концов входит в пространство между пластинами. В качестве следующего примера давайте посмотрим, что происходит с кусочком провода (с ненулевым сопротивлением), по которому течет ток. Поскольку провод обладает каким-то сопротивлением, то вдоль него действует электрическое поле, которое порождает ток, а в результате падения потенциала вдоль провода существует также параллельное его поверхности электрическое поле вне провода (фиг.
27.5). Кроме того, наличие тока порол<дает также магнитное поле, направленное по окруж- Ф и г. де'.б. Вектор Лойнепинеа и вблоги провода с токио. ности вокруг провода. Векторы Е и В направлены под прямым углом, а поэтому вектор Пойнтинга направлен радиально, как это показано на рисунке. Внутрь проводнпка со всех сторон втекает энергия. Она, разумеется, должна быть равна энергии, теряемой проводником в виде тепла.
Таким образом, наша «сумасшедшая» теория говорит, что электроны получают свою энергию, растрачиваемую ими на создание теплоты извне, от потока энергии внешнего поля внутрь провода. Интуиции нам подсказывает, что электрон пополняет свою энергию за счет «давлення», которое толкает его вдоль провода, так что энергия как будто должна течь вниз (или вверх) по проводу.
А вот теория утверждает, что на самом деле на электрон действует электрическое поле, создаваемое очень далекими зарядами, и электроны теряют свою энергию, расходуемую на тепло именно из этих полей. Энергия отдаленных зарядов каким-то образом растекается по большой области пространства н затем втекает внутрь провода. Наконец, чтобы окончательно убедить зас з том, что это явно ненормальная теория, возьмем еще один пример, когда электрический заряд и магнит покоялгся — сидят себе рядышком и не шевелятсн. Представьте, что мы взяли точечный заряд, покоящийся вблизи центра магнитного бруска (фиг. 27.6).
Все находится в некое, так что энергия тоже не изменяется со временем; Е и В постоянны. Но вектор Пойнтинга утверждает, что адесь есть поток ввергни, так как ЕХ В не равно нулю. Если вы понаблюдаете за потоком энергии, то убедитесь, что он циркулирует вокруг этой системы.
Но никакого изменения энергии не Фиг. де.б, Заряд имагнопп дают вектор Пойнтинга, Чиркулируюеэий по еомкнутой петле. 10«в происходит; все, что втокает в любой объем, снова вытекает из него. Это напоминает круговой поток несжимаемой воды. Итак, в такой, казалось бы, статической ситуации есть поток энергии. Выглядит, прямо скажем, абсурдно! А, может быть, это все-таки не так уж удивительно, если вспомнить, что так называемый «статический» магнит представляет на самом деле непрерывно циркулирующий ток. Внутри постоянного магнита электроны все время крутятся. Так что, моясет быть, циркуляция энергии не так уж удивительна.
У вас, без сомнения, начинает создаваться впечатление, что теория Пойнтинга, по крайней мере частично, опровергает вашу интуицшо относительно того, где находится энергия электромагнитного поля. Вам может показаться, что необходимо заняться «починкой» своей интуиции, отработкой ее на множестве примеров. Однако в этом, по-видимому, никакой необходимости нет. Не думаю, чтобы вы оказались в большом затруднении, забыв на время, что энергия втекает внутрь провода извне, а не течет вдоль него. Не так уж важно, используя идею сохранения энергии, указать во всех деталях, какой путь избирает энергия. Циркуляция внергии вокруг магнита и заряда в большинстве случаев, по-видимому, совершенно несущественна.
Хотя это и не так уж важно, однако ясно, что повседневная интуиция нас обманывает. ф 6. И.м»»улье»»оля Теперь мне бы хотелось поговорить об импульсе поля. Поле обладает энергией; точно так же в единице объема оно обладает каким-то импульсом. Обозначим плотность импульса через к. Импульс, равумеется, может иметь различные направления, поэтому и должно быть вектором.
Временно мы будем говорить об одной компоненте и для начала возьмем х-компоненту. Поскольку любая компонента импульса сохраняется, то мы можем сразу написать закон примерно такого вида: д ~импульс~ дхв ~'Потов д« ~ вещества /„д» ~ вмпульса) „' Левая часть тривиальна. Скорость изменения импульса вещества равна просто действующей на него силе. Для частиц г = д(К+» х В), а для распределенных зарядов на единицу объема действует сила Р=(рЕ+)ХВ). Однако слагаемое «поток импульса» несколько странно. Оно не может быть дивергенцией какого-то вектора, ибо это не скаляр, а скорее х-компонента некоторого вектора. Но как бы то ии было оно должно иметь вид да дь дс дл+дд+д« ' поскольку х-компонента импульса долукна течь в каном-либо из трех направлений. Во всяком случае, каковы бы ни были а, Ь и с, такая комбинация предполагается равной потоку х-компоненты импульса.
Дальше по правнлам той же самой игры напишем рЕ+)хВ только через Е и В, исключив плотность заряда р и плотность тока 1 и затем жонглируя слагаемыми и произведя подстановку, получаем ду„ да дд дс †"+ — + — +— д/ дх ду дз ' Сопоставляя затем разные слагаемые, мы должны найти выражения для д„, а, Ь и с. В общем, здесь масса работы, но мы не собираемся заниматься ею. Вместо этого мы найдем только выран;ение для плотности импульса и и притом совсем другим способом. В механике есть очень важная теорема, которая говорит: каков бы ни был поток энергии любого вида (энергия поля или какой-то другой сорт энергии), произведение ее количества, прошедшего через единицу площади в единицу времени, на 1/сз равно импульсу в единице объема пространства.
В случае электродинамики эта теорема говорит, что и равно вектору Пойнтинга, поделенному на с': (27.21) Так что вектор Пойнтинга дает нам не только поток энергии, но после деления на с' и плотность импульса. Этот же результат получился бы из анализа, который мы только что предполагали проделать, однако более заманчиво воспользоваться общей теоремой.
Сейчас мы рассмотрим несколько интересных примеров и рассуждений, призванных убедить вас в справедливости этой общей теоремы. Первый пример: возьмем мноягество заключенных в ящик частиц. Пусть, скажем, их будет /1' штук на кубический метр, и пусть они движутся вдоль ящика со скоростью ч. Рассмотрим теперь воображаемую плоскость, перпендикулярную к ч. Поток энергии через единипу площади этой плоскости в секунду равен /уи (т.
е. числу частиц, пересекающих плоскость за секунду), умноженному на энергию каждой частицы. Энергия же каждой частицы будет шзсз/)/1 — эУс'. Так что поток энергии равен у Ирс э )/ т — э'/сз Но импульс каждой частицы равен тзвl)/1 — у'/с', откуда плотность импульса будет "'о" )/1 — иу/сз 297 Ф и г, с7.7. Порция энергии У, двигаясь со скоростью с, несет иткряьс, равкыа У/с. что в полном согласии с теоремой как раз равно 1!сг ка поток экер4вйр гии. Таким образом, для пучка У частиц теорема оказывается веркой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
