Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Так, средний сомножитель Но если мы имеем выражение Р/1», то оно означает Р1 =(» 1) д Заметим теперь, что, согласно нашему новому правилу, 1Р/б означает то же самое. Одно и то я<е выражение можно записать любым из следу«ощих способов: в уравнении (27.10) можно переписать как Е (Чз Х В). !Надеюсь, вы помните, что а (Ьхс)=Ь (сХа).1 А последний — как В.(ЕХ Чз).
Хотя это выглядит несколько странно, но тем не менее здесь все в порядке. Если же мы теперь попытаемся вернуться к старыы обозначениям, то доля<им будем расположить операторы Ч так, чтобы они действовали на свои «собственные» переменные. В первом из них все в порядке, так что мы можем просто опустить индекс у Ч.
Второй же требует некоторой реорганизации, чтобы оператор Ч поставить перед Е. Этого можно добиться, переставляя сомножители в векторном произведении и меняя знак: В (ЕхЧ )= — В (Ч-хЕ), Теперь все стоит на своем месте и можно вернуться к обычным обозначениям. Формула (27.10) эквивалентна следующему равенству: Ч (ВхЕ)=Е (ЧхВ) — В (ЧхЕ). (27.11) (В этом специальном случае быстрее было бы использовать компоненты, но, право же, стоило потратить время ради того, чтобы показать вам математический трюк. Может случиться, что вы болыле нигде его не встретите, а он очень удобен тогда, когда в векторной алгебре нужно освободиться от правила порядка членов при дифференцировании.) Вернемся теперь к нашему закону сохранения энергии, причем для преобразования ЧхВ в (27.7) мы используем новый результат — равенство (27Л1). Вот что оно дает: Е )=е,сзЧ.(вхк)+ззсзв (Чхк) — Ы,(2 зоЕ Е). (27Л2) д /! Теперь вы видите, что мы почти у цели.
Одно из наших слагаемых — настоящая производная по С, ее мы используем при образовании и, а другое (превосходная дивергенция) войдет в Я. К несчастью, справа в середине осталось еще одно слагаемое, которое не является ни дивергенцией, ни производной по Так что пока еще не все закончено. После некоторых размышлений мы опять обращаемся к уравнениям Максвелла и, к счастью, обнаруживаем, что (ЧхЕ) равно — дВ/дг. Это позволяет превратить дополнительный член в чистую производную чего-то по времени: В.(ЧхЕ)=В.( — — )= — -( — ). Вот теперь у нас получилось то, что нужно.
Уравнение для энергии переписывается в виде Е 1=Ч (е сзВХЕ) — — ( — 'В ° В+ ~~ Е.Е), (27ЛЗ) А это, если мы определим и и Я как и «(Е Е) ( « В В (27.14) (27.15) Б =- е„с»Е х В, в точности напоминает уравнение (27.6). (Перестановкой сомножителей в векторном произведении мы добиваемся правильного знака.) Итак, наша программа успешно выполнена. Из выра»кения для плотности энергии мы видим, что она представляет сумму «электрической» и «магнитной» плотностей энергии, которые в точности равны выражениям, полученным нами в статике, когда мы находили выражение для энергии через поля.
Кроме того, мы получили выражение для вектора потока энергии электромагнитного поля. Этот новый вектор Я=а с'ЕхВ по имени своего первооткрывателя называется «вектором Пойнтинга». Он говорит нам о скорости, с которой энергия двия«ется в пространстве. Энергия, протекающая в секунду через малую поверхность да, равна Я пда, где и — вектор, перпендикулярный к поверхности да. (Теперь, когда у нас есть формулы для и и 8, можете, если хотите, забыть все выкладки.) В А Неонределенностпь энергии ноля Прежде чем заняться некоторыми приложениями формул Пойнтинга (т. е.
выражений (27.14) и (27.15)1, я хотел бы заметить, что на самом деле мы их не «доказали». Все, что мы сделали,— это нашли только возможное и и возможное Б. Но откуда же нам известно, что, покрутив формулами, мы не придем к другому выражению для и и другому выражению для 8? Новое Б и новое и будут отличаться от старых, но по-прежнему будут удовлетворять уравнению (27.6).
Таное вполне может случиться, Однако в формулы, которые получаются при этом, всегда входят различные производные нолей (причем это всегда члены второго порядка типа второй производной или квадрата первой производной). Для и и Я можно фактически написать бесконечное число различных выражений, и до сих иор никто не думал над акспериментальной проверкой того, которое же из вих истинное.
Люди полагают, что простейшее выражение, по-видимому, и должно быть истинным, но надо сознаться, что мы так и не знаем, как же на самом деле распределена энергия в алектромагнитном поле. Пойдем по тому >ке легчайшему пути ипостулируем, что энергия поля определяется выражением (27.14). При этом вектор потока 8 должен задаваться уравнением (27.15). Самое интересное то, что единого способа избавиться от неопределенности энергии поля, по-видимому, вообще нет. Иногда утверждают, что эту проблему можно разрешить, используя теорию гравитации; при этом приводятся такие доводы.
В теории гравитации источником гравитационного притяжения является вся энергия. Поэтому если нам известно, какие гравитационные силы действуют па свет, то можно правильно определить плотность энергии электричества. До сих пор, однако, такими тонкими экспериментами, которые позволили бы точно определить гравитационное влияние на электромагнитное поле, никто не занимался. Впрочем, установлено, что свет при прохождении около Солнца отклоняется, поэтому мы можем говорить, что Солнце притягивает к себе свет.
Во всяком случае, найденные нами выражения для электромагнитной энергии и потока всегда всеми признавались. И хотя иногда результаты, полученные с их использованием, казались странными, никто никогда не обнаружил в них чего-то невероятного, какого-то расхождения с экспериментом. Согласимся со всеми и будем считать, что, повидимому, здесь все в порядке. Мне хотелось бы сделать еще одно замечание о формуле для энергий. Прежде всего формула для энергии поля в единице объема очень проста — это сумма электрической и магнитной энергий, если электрическую энергию мы определим как Е', а магнитную — как Вг, Зги выражения были найдены нами как возможные выражения для энергии при рассмотрении статических задач.
Кроме него, мы нашли для энергии электростатического поля и несколько других выраскений, например рср, которое в электростатическом случае равно интегралу от Е Е. Однако в электродинамическом случае это раненство нарушается, и нет критерия, позноляющего установить, которая из формул пранильна. Но теперь мы это знаем. Аналогично, мы нашли выражение для магнитной энергии, которое верно в самом общем случае. В б.
77рммерас иоагоков энергии Наша формула для вектора потока энергии Я представляет нечто новое. Теперь следует посмотреть, насколько она годится в некоторых специальных случаях, а также проверить ее на том, чтб мы знали раньше. Первым нашим примером будет свет. В световой волне векторы Е и В направлены под прямым углом друг к другу и направлению распространения волны (фиг. 27.2). В электромагнитной волне величина В равна (г /с)Е, а поскольку они направлены под прямым углом, то величина (ЕхВ) равна просто Ес/с. Таким образом, для света поток энергии в секунду через единичную поверхность ранен Я = еосЕ' 10* «В ив. 2е.2. Векторы Е, и и 8 световой волны.
р сор»отто. неннв волны В световой волне, где Е=-Еосозео(с — х!с), средняя скорость потока энергии через единичную площадь <Я>,р, которая называется «интенсивностью» света, равна среднему значению электрического поля, помно кенному на зос: интенсивность = Ф>,р = еос <Е >ср. (27.17) Этот результат, как ни странно, мы уже получали в гл. 31, з 5 (вып. 3), когда изучали свет. Мы получили его совсем другим путем и по»тому можем сейчас в него поверить.
Когда у нас есть пучок света, то плотность энергии в пространстве задается уравнением (27.14). Воспользовавшись теперь тем, что в световой волне сВ=Е, получаем Однако вектор Е изменяется в пространстве, поэтому средняя плотность энергии равна <и>,р — — зо <Е'>,р. (27 18) Далее, свет распространяется со скоростью с, поэтому можно думать, что энергия, проходящая в секунду через квадратный метр, равна произведению с на количество энергии в кубическом метре, т. е. <Я>, = з,с <Е'>„. Все в порядке.
Мы снова получили выражение (27.17). Возьмем теперь другой пример, на этот раз очень любопытный. Рассмотрим поток энергии в медленно заряжающемся конденсаторе. (Мы не хотим сейчас иметь дело со столь высокими частотами, прн которых конденсатор становится похожим на резонансную полость, но нам не нужен и постоянный ток.) Возьмем о5ычяый конденсатор с круглыми параллельными пластинами (фиг. 27.3). Между ними создается почти однородное электрическое поле, которое изменяется с течением времени. Полная электромагнитная энергия внутри конденсатора в любой момент равна произведению плотности энергии и на объем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
