Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Представьте, что мы взяли простейшую модель электрона, когда весь его заряд д равномерно распределен по поверхности сферы радиусом а, В специальнолт случае точечного заряда мы можем положить его равным нулю. Теперь вычислим энергию электромагнитного поля. Если заряд пеподвнжен, то никакого магнитного поля вокруг нет, н энергия в единице объема будет пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. Величина же напряженности электрического поля равна дале г', поэтому плотность энергии еолл 9 Чтобы получить полную энергию, нужно эту плотность проинтегрировать во всему пространству. Используя элемент объема 4лглдг, найдем полную энергию, которую мы обозначим через У„: чэ У =- ( — дг.
эл ) Зкеоээ Это выражение интегрируется очень просто. Нижний предел интегрирования равен а, а верхний — бесконечности, поэтому 1 оэ У эл 3 4лео а (28. 1) Если вместо д подставить заряд электрона д, и обозначить сим- волом е' комбинацию о,'!4яе, то получим ~ эл (28.2) Все идет хорошо до тех пор, пока мы не переходим к точечному заряду, т. е. пока мы не положим а=О. Но как только мы переходим к точечному ааряду, начинаются все наши беды. И все потпму, что энергия поля изменяется обратно пропорционально четвертой степени расстояния, интеграл по объему становится 303 расходящимся, а количество энергии, окружающей точечный заряд, оказывается бесконечным.
Но чем, собственно, плоха бесконечная энергия? Есть ли какая-то реальная трудность в том, что энергия никуда не может уйти от заряда и обречена навсегда оставаться около него? Досадно, конечно, что величина оказалась бесконечной, но главный вопрос в том — есть ли здесь какой-нибудь наблюдаемый физический эффект? Чтобы ответить на него, нужно обратиться не к энергии, а к чему-то другому. Нас может, скажем, заинтересовать, как изменяется энергия, когда заряд движется. Если при этом окажется бесконечным изменение, то дело совсем плохо. й) М.
И.игбульо ноля двтбэгсущегооя заряда Возьмем равномерно движущийся электрон и предположим на минуту, что скорость его мала по сравнению со скоростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс — даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы — это импульс электромагнитного поля.
Мы попая<ем, что для малых скоростей он пропорционален скорости т и совпадает с ней по направлению. В точке Р,находящейся на расстоянии г от центра заряда и под углом О к линии его дэви<ения (фиг. 28.1), электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно чхЕссо. Плотность же импульса, в соответствии с формулой ~27.21), будет д=зоЕхВ. Она обязательно направлена по линии движения, как это видно иэ рисунка, и по величине равна д=- — 'Р Еоэ1п О.
Поле симметрично относительно линии движения заряда, по- этому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полученныи Ф ие, 22П. Поля Е и В и илотность итпульса д для полоясительноео алсктрона. Ллл отри««те ъноео ел «трона поля В и В поеернртн е обратную сторону, но З остается тен аее. Сферический бявктрон (+) 304 Ф и е. 38.3. Элеяиноь объема 2вео в»вО ~Ю е»е, иенояьоиеяеиб нри ои ьиелении иинульеа иола. в»в»у р= ( — ', Е'в(во 0 2яг'в»п Ос»Ойг. л сь Поскольку Е ие аависит от угла О (для о(~с), то по углу можно немедленно проинтегрировать: сове 3 в»по Ос»0=- — ) (1 — сов'6) й(совО) = — сов 0-»- оз 3 Иптегрироваиие по 6 ведется в пределах от 0 до я, так что этот интеграл дает просто льяоя<итель а/э, т.
е. р= — — ) Е г с»г. визои Р 2 а 3 с' ) А такой интеграл (для о((с) мы только что вычисляли, чтобы иайтв эиергию; ов равен дэ/(бпэеоа, так что 2 Оъ о 3 4из~ асо ' илп 2 ее р=- —, — т. 3 ь (28.3) Импульс поля, т. е. электромагнитный импульс, оказался пропорциовальиым т. В частности, то же самое выражение получилось бы для частицы с массой, равной коэффициенту пропорциопальиости при т. Вот почему этот коэффициент пропорциоиальности мы можем назвать электромагнитной массой т,„, т.
е. положить о ео т 3 асъ (28.4) в результате импульс будет параллелен скорости ъ. Величину составляюптей вектора д в этом направлении, равную д в(п0, нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость которого перпендикулярна т (фиг. 28.2). Объем его равен 2яоэв»п О е»0 с»г. Подлый импульс будет при этом Величина ее г =— е~ е' е (28.6) называется «классическим радиусом электрона« и равна она 2,82х(0 "см, т. е. одной стотысячной диаметра атома. Почему радиусом электрона названа величина г«, а не а1 Потому что мы можем провести те же самые расчеты с другим распределением заряда. Мы можем ваять его равномерно разма- ф 8. Электпромазнипи«ая масса Откуда же вообще возникло понятие массы1 В наших законах механики мы предполагали, что любому предмету присуще некое свойство, называемое массой.
Оно означает пропорциональность импульса предмета его скорости. Теперь же мы обнаружили, что это свойство вполне понятно — заряженная частица несет импульс, который пропорционален ее скорости, Дело можно представить так, как будто масса — это просто электродинамнческий эффект. Ведь до снх пор причина возникновения массы оставалась нераскрытой. И вот, наконец, в электродпнамнке нам представилась прекрасная возмол«ность понять то, чего мы никогда не понимали раньше.
Прямо как с неба (а точнее, от Максвелла и Пойнтинга) свалилось на нас объяснение пропорциональности импульса любой заряженной частицы ее скорости через электромагнитные свойства. Но давайте все-таки встанем на более консервативную точку зрения и будем говорить, по крайней мере временно, что имеется два сорта масс и что полный импульс предмета должен быть суммой механического и электромагнитного импульсов. Причем мех аническкв импульс равен произведени1о «механической» массы ш„,„иа скорость ч.
В тех экспериментах, где масса частицы измеряется, например, определением импульса или «кручением на веревочке«ч мы находим ее полную массу, Импульс равен произведению именно полной массы (и„,е+т„,) на скорость. Таким образом, наблюдаемая масса может состоять из двух (а может быть, и из большего числа, если мы учтем другие поля) частеп: механической и электромагнитной. Мы знаем, что наверняка имеется электромагнитная часть; для пее у нас есть даже формула. А сейчас появилась увлекательная возможность выоросить механическую массу совсем и считать массу полностью электромагнитной. Посмотрим, каков должен быть размер электрона, если «механическая» часть массы полностью отсутствует. Это поясно выяснить, приравнивая электромагнитную массу (28.4) наблюдаемой массе электрона, т.
е. т,. Получаем а=— (28.5) ванным по всему объему шара или наподобие пушистого шарика. Например, для заряда, равномерно распределенного по всему объему сферы, коэффициент '(з заменяется коэффициентом '7,. Вместо того чтобы спорить, какое распределение правильно, а какое нет, было решено взять в качестве «номинального» радиуса величину гэ. А разные теории приписывают к ней свой коэффициент. Давайте продолжим наше обсуждение электромагнитной теории массы. Мы провели расчет для с(( с, а что произойдет при переходе к ббльшнм скоростям? Первые попытки вычисления привели к какой-то путанице, но позднее Лоренц понял, что прн больших скоростях заряженная сфера должна сзкиматься в эллипсоид, а поля должны изменяться согласно полученным нами для релятивистского случая в гл.
26 формулам (26.6) и (26.7). Если вы проделаете все вычисления для р в этом случае, то получите, что для произвольной скорости ч импульс умножается еще на 1!)Г1 — и'7с', т. е. 2 ес с Р= 3 асс Ф 1 с2!сз (28.7) Г7„1 е сз " ас'' (28.8) которая не совпадает с электромагнитной массой т,, определеннон формулой (28.4). В самом деле, если бы мы просто Другими словами, электромагнитная масса возрастаетсузеличением скорости обратно пропорционально )~1 — сз7с'. Это открытие было сделано еще до создания теории относительности.
Тогда предлагались даже эксперименты по определению зависимости наблюдаемой массы от скорости, чтобы установить, какая часть ее электрическая по своему происхожденшо, а какая — механическая. В те времена считали, что электромагнитная часть массы должна зависеть от скорости, а ее механическая часть — нет. Но пока ставились эксперименты, теоретики тоже не дремали. И вскоре была развита теория относительности, которая доказала, что любая масса, независимо от своего происхоя~дения, должна изменяться как тэГу 1 — о'/с'. Таким образом, уравнение (28.7) было началом теории, согласно которой масса зависит от скорости. А теперь вернемся и нашим вычислениям энергии поля, которые привели к выводу выражения (28.2).
Энергия Г7 в соответствии с теорией относительности эквивалентна массе Г7!с', поэтому (28.2) говорит, что поле электрона должно обладать массой скомбинировали выражения (28.2) и (28.4), то должны были бы написать ВЛ 3 Вм Эта формула была получена еще до теории относительноств, н когда Эйнштейн и другие физики начали понимать, что У всегда должно быть равно лгсг, то замешательство было очень велико. ф 4. С какой силой элем»прон дейстггауеггг саэ«иа себя У Разница между двумя формулами злектромагнитиой массы особенно обидна, потому что совсем недавно мы доказали согласованность злектродинамики с принципами относительности. Кроме того, теория относительности неявно и неизбежно предполагает, что импульс должен быть равен произведению знерпги на г»сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
