Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Они утверждают, что заряд может перейти из одного места в другое только при том условии, что нечто такое происходит в пространстве между ними. Чтобы описать такой закон, нам нужна не только плотность заряда р, но и величина другого сорта, именно вектор ), задающий скорость потока заряда через поверхность. При этом поток связан со скоростью изменения заряда уравнением (27.1). Это более сильная формулировка закона сохранения. Она говорит, что заряд сохраняется особым образом, сохраняется «локально». Сохранение энергии, оказывается, тоже локальный процесс. В мире существует не только плотность энергии в данной области, но и вектор, представляющий скорость потока энергии через поверхность.
Например, когда источник излучает свет, мы можем найти энергию света, излучаемого им. Если мы вообразим некую математическую поверхность, окружающую источник света, то потеря энергии этого источника равна потоку энергии через окружающую его поверхность. нате, а затем поворачиваете выключатель. Комната внезапно наполняется светом, т. е. в ней оказывается энергия поля, которой раньше не было.
Уравнение (27.2) не составляет полного закона сохранения, ибо энергия одного только поля не сохраняется, а существует еще энергия вещества; сохраняется лишь полная энергия во всем мире. Энергия поля будет изменяться, если оно производит работу над веществом или вещество производит работу вад полем. Однако если внутри интересующего нас объема находится вещество, то мы знаем, сколько энергии оно несет з себе: анергия каждой частицы равна тоег/ф à — иг7ег.
Полная лсе энергия вещества равна просто сумме энергий всех частиц, а поток ее через поверхность равен просто сумме энергий, переносимой каждой частицей, пересекающей эту поверхность. Но сейчас мы будем иметь дело только с энергией электромагнитного поля. Так что мы должны написать уравнение, которое говорит, что полная энергия поля в данном объеме уменьшается либо в реаультате вытекания ее из объема, либо потому, что поле передает свою анергию веществу (или приобретает ее, что означает просто отрицательную потерю).
Энергия поля в объеме Г равна ) иду, у а скорость ее уменьшения равна производной этого интеграла по времени со знаком минус. Поток энергии поля из объема У равен интегралу от нормальной компоненты Я по поверхности Х, ограничиваю1цей объем У: ) (8 и) Иа. Таким образом, — — ~ ид Г = (Я и) Иа+ (Работа, аатрачеввая (27,3) д г все ва вещество в объеме У). Раньше мы видели, что вад каждой единицей объема вещества поле в единицу времеви производит работу Е >.
[Сила, действующая на частицу, равна Г=д(Е+тХВ), а мощность равна Р ч=дЕ т. Если в единице объема содерлсится )У частиц, то эта мощность в единице объема равна УдЕ ч, а Фдч=).) Таким образом, величина Е ) должна быть равна энергии, теряемой полем в единице объема за единицу времени.
Уравнение (27.3) при атом приобретает вид Вот как выглядит наш закон сохранения энергиив поле. Его можно записать как дифференциальное уравнение, подобное (27.2); для этого второе слагаемое нужно превратить в интеграл по объему, что легко делается с помощью теоремы Гаусса.
Поверхностный интеграл от нормальной компоненты 8 равен интегралу от дивергенции 8 по объему, ограниченному атой поверхностью, так что уравнение (27.3) эквивалентно следующему: — ) — ",сЛ~=~1(Ч $)Л'+) (Е )) Л', — —,=(Ч Я)+(Е )). (27.5) Однако это уравнение не даст нам ничего хорошего, пока мы не узнаем, что такое и и Я. Быть может, мне следовало бы просто сказать вам, как они выражаются через Е и В, поскольку это единственное, что нам, собственно, нужно.
Однако мне очень хочется изложить вам все те рассуждения, которыми в 4884 г. воспользовался Пойнтинг, чтобы получить формулы для Я и и, с тем чтобы вы понимали, откуда они взялись. (Для дальнейшей работы, впрочем, вам этот вывод не потребуется.) ф 3. хглотвност.ь энергии и вопгок энергнн е эленгпромагннтном воле Идеи заключается в том, что должны существовать плотность энергии и и поток 8, которые зависят только от полей Е и В. [В электростатике, например, плотность энергии, как мы знаем, можно записать в виде '/ге,(Е Е).! Разумеется, и и Я могут зависеть от потенциалов и чего-то другого, но давайте лучше посмотрим, чтб мы можем написать. Попытаемся переписать величину Е 7 в таком виде, чтобы она стала суммой двух слагаемых, одно из которых было бы производной по времени от некоторой величины, а второе — дивергенцией.
'Гогда первую величину мы бы назвали и, а вторую — В (разумеется, с надлежащими знаками). Обе величины должны быть выражены только через поля, т. е. мы хотим записать наше равенство в виде Е 1= — —,— (Ч Я), ди дг (27.6) причем левая часть уравнения должна выражаться только через поля.
Как это сделать? Разумеется, нужно воспользоваться где производную по времени от первого слагаемого мы внесли под интеграл. Поскольку это уравнение верно для любого объема, то интегралы можно отбросить и получить уравнение для энергии электромагнитного поля: уравнениями Максвелла. Из уравнения для ротора В имеем )=з»с (ЧХВ) — е,—.
» дЕ 0 д« Подставляя это в (27.6), получаем выражение его только через ЕиВ: Е )=з»с»Е.(ЧХВ) — е,Е ° —,. (27.7) Работа частично нами уже закончена. Последнее слагаемое есть производная по времени — это (д/д?)(»/»з»Е Е). Итак, '/ е Е.Е должно быть по крайней мере частью и. Такое же выражение получалось у нас и в электростатике. А теперь единственное, что нам остается сделать,— это превратить в дивергенцию чего-то второе слагаемое. Заметьте, что первое слагаемое в правой части (27.7) переписывается в виде (27.8) вы знаете из векторной алгебры, что (а Х Ь) с равно а (Ь Х с), поэтому первое слагаемое принимает вид (27.9) Ч (ВХЕ), т. е.
получилась дивергенция «чего-то», к которой мы так стремилнсь. Получилась, но только все это неверно! Я предупреждал вас, что оператор Ч только «похож» на вектор, а на самом деле он не «настоящий» вектор. Вспомните, что в дифференциальном исчислении существует дополнительное сов«ашелие: когда оператор производной стоит перед произведением, он действует на все стоящее правее него.
В уравнении (27.7) оператор Ч действует только на В и не затрагивает Е. Но если бы мы записалк его в форме уравнения (27.9), то общепринятое соглашение говорило бы, что Ч действует как на В, так и на Е. Так что это нз одно и то же. В самом деле, если расписать Ч (ВХЕ) по компонентам, то можно убедиться, что оно равно Е (ЧХВ) плюс какие-то другие слагаемые.
Зто напоминает взятие производной от произведения в обычном анализе. Например, д д/ с~я Б(/д) дв д+/Йх ' Вместо того чтобы выписать все компоненты Ч (ВХЕ), мне бы хотелось показать вам один трюк, очень полезный в задачах такого рода. Он позволит вам всюду в выражениях, содер»кащих оператор Ч, пользоваться правилами векторной алгебры, не попадая впросак. Трюк состоит в отбрасывании (по крайней мере на время) правил дифференциального исчисления относительно того, на что действует оператор производной.
Вы знаете, 28? что порядок сомножителей важен в двух различных случаях. Во-первых, в дифференциальном исчислении: 1(И/«?х)» ие то же самое, что я(«Ил)1; и, во-вторых, в векторной алгебре: аХЪ отличается от ЪХа. Мы можем, если захотим, на минуту откаваться от правил дифференциального исчисления. Вместо того чтобы говорить, что производная действует на все стоящее правее от нее, мы примем ново» правило, избавляющее нас от порядка, в котором записаны сомножители. После этого мы можем крутить ими, как хотим, без всяких помех.
Вот наше новое правило: с помощью индекса мы будем указывать, на что же именно действует дифференциальный оператор; при этом порядок сомножителей не имеет никакого значения. Допустим, что оператор д/дх мы обозначили через Р. Тогда символ .Р говорит, что берется производная только функции 1 т. е. Р/1 = — .
д! А' — ~ /1 — 1 /б — 1б / Вы видите, что Р/ может стоять даже лес«е всего. (Странно, почему такому удобному обозначению обычно не учат в книгах по математике и физике.) Вы, пожалуй, удивитесь: а что, если я хочу написать производную от 1»? Если мне нужна производная от обоих членов? Это очень легко: вы пишете Р/(1д)+Р (1»), т. е. д(д1/дх)+1(дд/дх), что в старых обозначениях как раз равно д(1»)/дх. Вы сейчас увидите, как просто теперь получить новое выражение для Ч (В ХЕ). Начнем с перехода к новому обозначению и напишем Ч (В х Е) = Ч„(В х Е) + Ч» (В х Е). (27.10) Как только мы сделали это, уже нет болыпе нужды придерживаться строгого порядка.
Мы всегда знаем, что Ч» действует только на Е, а Чв действует только на В. При этих обстоятельствах оператором Ч можно пользоваться как обычным вектором. (Разумеется, после того как все будет окончено, нам захочется вернуться к «стандартным» обозначениям, которые обычно используются.) Таким образом, теперь мы можем делать различные перестановки сомножителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
