Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Он преобразуется специальным образом, и через минуту мы найдем его. Это просто произведение векторных преобразований. Если у тензора Р „вы переставите индексы, то он изменит свой знак. Это особый вид тензора, и называется он антиеиэсметричнмм. Иначе говоря, электрическое и магнитное поля являются частью антисимметричного тензора второго ранга в четырехмерном пространстве.
Вот какой мы прошли длинный путь. Помните, мы начали с определения, что такое скорость7 А теперь мы уже рассуждаем о «тензоре второго ранга в четырехмерном пространстве». Теперь нам нужно найти закон преобрааования Р „. Сделать это нетрудно — мороки только много,— шевелить мозгами особенно не нужно, а вот потрудиться все же придется. Единственное, что мы должны найти,— это преобразование Лоренца величины Ч А„— Ч„А . Так как Ч вЂ” просто специальный слу- » ~ ~ » чай вектора, то мы будем работать с общей антисимметричной комбинацией векторов, которую можно назвать С „: С„„=а ܄— а„Ь . (26.20) (Для наших целей а следует, в конце концов„заменить на Ч„, а Ь вЂ” на потенциал А .) Компоненты а и Ь преобразуются по формулам Лоренца: Итак, получается С~у хоху ~у у" т — иэ И, конечно, точно таким же образом х ' С!х "~хх 1 — х Л теперь ясно, как ведут себя все остальные компоненты. Давайте составим таблицу преобразований всех шести членов; только теперь мы будем все писать для величин Г,„: Гху — ху ~у у $ ~'~у — РУху у"1 —.~ ' я' ~М х" хх $у$ — и' (26.22) Рхх "~ х1 х хх— Рааумеется, по-прежнему у нас Р'„= — г',„, а Г„„=О.
Итак, мы имеем преобразования электрических и магнитных полей. Единственное, что нам нужно сделать,— это заглянуть в табл. 26.1 и узнать, что означает для векторов Е и В преобразование, записанное для Р,„. Речь идет о простой подстановке. Чтобы можно было видеть, как это все выглядит в обычных символах, перепишем наши преобразования компонент поля в виде табл. 26.2. ТабЛица 26,2 ° ЛОРКНЦВВЫ ПРВОВРАЗОВАНИЯ злвктгичвских и мАгнитных ползи 273 Уравнения в атой таблице говорят нам, как изменяются Е и В при переходе от одной инерциальной системы к другой. Если известны Е и В в одной системе, то мы можем найти, чему они равны в другой, движущейся относительно нее со скоростью и.
Можно переписать эти уравнения в форме, более легкой для запоминания. Для этого заметьте, что поскольку скорость и направлена по оси х, то все компоненты с и представляют собой векторные произведения РХЕ и чХВ. Так что преобразования можно записать в виде табл. 26.3. Табаиза 2б.8 ° ДРУГАЯ ФОРМА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ пОлей Теперь легко запомнить, какая компонента куда идет. Фактически эти преобразования можно записать даже еще проще, если ввести компоненты поля, направленные по оси х, т. е. «параллельные» компоненты Е ~ и Ва (которые параллельны относительной скорости систем Я и Я ) и полные поперечные или «перпендикулярные» компоненты ЕА и ВА, т. е.
векторную сумму р- и з-компонент. В результате мы получим уравнения, сведеяные в табл. 26.4. (Для полноты мы восстановили все с.) Табаива 2бм ° еще однА догма логвнцевых ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОЛЕЙ Е И В Преобразования поля позволяют по-другому решить задачи, которыми мы занимались прежде, например найти поле движущегося точечного заряда. Раньше мы вычисляли поля, дифференцируя потенциалы.
Но теперь то же самое можно сделать, преобразуя кулоново поле. Если у нас в системе Я находится покоящийся заряд, то он создает только простое радиальное поле Е. В системе Я', движущейся относительно системы Я со скоростью с= — и, точечный заряд будет казаться нам летящим со скоростью и. Покажите сами, что преобразования табл.
26.3 и 26.4 дают те же самые злектрические и магнитные поля, которые мы получили в $2. Преобразования табл. 26.2 дают нам очень интересный и простой ответ на вопрос: что мы видим, если движемся мимо 274 Ф и е. 2д.7. Система координат о ' деиасетск е статическом саектризескоМ иоле. любой системы фиксированных зарядов) Пусть нам хочется узнать поля в нашей системе Ю', если мы движемся между пластинами конденсатора вдоль него, как показано на фиг. 26.7.
(Но, разумеется, все равно, если бы заряженный конденсатор двигался мимо нас.) Что же мы увидим? Преобразования в атом случае облегчаются тем, что в первоначальной системе поле В отсутствует. Предположим сначала, что наше движение перпендикулярно к направлению Е, при этом мы увидим поле Е'=Е/)/т — се/са, которое остается полностью поперечным. Но мы еще увидим и магнитное поле В'= — тх Е'/са. (Не удивляйтесь, что в этой формуле нет )/ т — с'; ведь мы записали ее через Е', а не через Е; так хоже можно делать.) Итак, когда мы двия;емся в направлении, перпендикулярном к статическому полю, то видим измененное Е и вдобавок еще поперечное поле В. Если наше движение не перпендикулярно вектору Е, то мы разбиваем Е на Е, и Ел.
Параллельная часть остается неизменной, Е~~ — — Ем а что происходит с дерпендикулярной компонентой, мы уже описали. Давайте разберем противоположный случай и вообразим, что мы движемся через чисто статическое магнитное поле. На этот раз мы бы увидели электрическое поле Е', равное чХВ', и магнитное поле, усиленное множителем 1/'р 1 — вк/са (предполагая, что оно доперечное). До тех пор, пока в много меньше с, изменением магнитного доля моя<но пренебречь, и основным аффектом будет появление электрического поля. В качестве примера этого эффекта рассмотрим некогда знаменитую проблему определения скорости самолета.
Сейчас она уже больше не знаменита, поскольку для определения скорости можно использовать отражение от Земли сигналов радиолокатора. Но раньше в плохую погоду скорость самолета было очень трудно определить. Ведь вы не видите Землю и не можете сказать куда вы летите. А знать, насколько быстро вы движетесь относительно Земли, было важно. Как я'е это можно сделать, не видя ее) Те, кому были знакомы уравнения преобразования, считали, что нуягно испольэовать тот факт, что самолет движется в магнитном поле Земли.
Предположим, что самолет летит там, где магнитное поле нам более или менее известно. Возьмем простейший случай, когда магнитное поле вертикально. Если 275 мы летим через него с горизонтальной скоростью и, то в соответствии с нашей формулой должны наблюдать электрическое поле ух В, т. е. перпендинулярное к направлению движения. Если поперек самолета подвесить изолированный провод, то электрическое поле на его концах будет индуцировать заряды. Ну в атом ничего нового нет. С точки зрения наблюдателя на Земле, мы просто передвигаем провод в магнитном поле, а сила с)(ч х В) заставляет заряд двигаться к концу провода.
Уравнения преобразования говорят то же самое, но другими словами. (То, что одну и ту же вещь можно получить не одним, а несколькими способами, вовсе не означает, что один способ лучше другого. Мы овладели столькими методами и приемами, что один и тот же результат можем получать какими хотите способами!) Итак, единственное, что мы дол'кны сделать для определения скорости и,— это измерить напряясенне между концами провода. Хотя для этой цели мы не можем воспользоваться вольтметром, нбо то же самое поле будет действовать и на провода внутри вольтметра, способы измерения таких полей все же существуют. О некоторых из них мы уже говорили в гл. 9 (вып.
5), когда рассказывали об атмосферном электричестве. Так что измерить скорость самолета, казалось бы, можно. Однако эта важная проблема ве была решена таким методом. Дело в том, что величина электрического поля, ноторое при атом развивается,— порядка нескольких милливольт на метр.
Измерить такие поля, конечно, можно, но вся беда в том, что они ничем не отличаются от любых других электрических волен. Поля, создаваемые движением через магнитное поле, нельзя отличить от электрических полей, возникающих в воздухе по каким-то другим причинам (скансем, от электростатических зарядов в воздухе или на облаках). В гл. 9 мы говорили, что обычно над поверхностью Земли существуют электрические поля с напряженностью около 100 в/я, но ови совершенно нерегулярные, Так что самолет во время полета будет наблюдать флуктуации атмосферных электрических полей, которые огромны по сравнению со слабенькими полями, возникающими из-за множителя ух В.
Ввиду этих чисто практических причин измерить скорость самолета, используя его движение в магнитном поле Земли, невозможно. я 4, КРавненмя двтежетемя в релятптевтестяеяиас обовтеамететеяю е Полученные из уравнений Максвелла электрические и магнитные поля сами по себе не представляют особой ценности, если мы не знаем, чтб эти поля могут делать, на что они спо- е В етом параграфе мы не будем принимать с за единицу.
276 собны. Вы, вероятно, помните, что поля нужны для нахождения действующих на заряды сил и что именно эти силы определяют их движение. Так что связь движения варядов с силами, разумеется, тоже есть часть электродинамики. На отдельный заряд, находящийся в полях Е и В, действует сила Г=д(Е+ч хВ). При небольших скоростях эта сила равна произведению массы на ускорение, но истинный закон, справедливый при любых ско- ростях, гласит: сила равна с/рЯ».
Подставляя р=тсч/)' 1 — и»/е», находим релятивистское уравнение двинсения заряда: — 1)=р=д(Е+чхВ). (26.24) с» ()' 1 — с»/сс) (26.25) ке образуют четырехвектора. После этого мы обнаружили, что их можно превратить в компоненты четырехвектора, если ду сгт — тР. в р* р р ростью» и оказался вектор и„= У1 — */с" У1 — '/" ) ' =( -' (26.26) Теперь мы хотим обсудить это уравнение с точки зрения теории относительности. Поскольку уравнения Максвелла ааписаны у нас в релятивистской форме, интересно посмотреть, как в релятивистской же форме выглядят уравнения движения. Посмотрим, можно ли переписать уравнения движения в четырехмерных обозначениях.
Мы знаем, что импульс есть часть четырехмерного вектора р с энергией т /)/ т — э»/с» в качестве временнбй компоненты, так что мы надеемся заменить левую часть уравнения (26.24) на Ир„/с)с. Теперь нам нужно найти только четвертую 'компоненту силы г. Эта компонента должна быть равна скорости изменения энергии или скорости совершения рабе»ы, т. е. Г ч. Так что правую часть уравнения (26.24) н<елательно было бы записать в виде четырехвектора типа (Р ч, Р„, Р', Р,). Однако эти величины не составляют четырехвектора. Производная четырехвектора по времени не будет больше четырехвектором, так как Ы/с(с требует для измерения» вено- торой специальнои системы отсчета. С этой трудностью мы уже сталкивалнсь раньше, когда пытались сделать четырехвектор иэ скорости ч. Тогда мы попыталнсь считать, что роль временнбй компоненты скорости играет ес(с/с(1=с.
Но на самом деле величины Вот в чем фокус! Нужно умножать производную д/й на 1/)Гт — в«/с», если мы хотим превратить ее компоненту в четырехвектор. Итак, вторая гипотеза: четырехвектором должна быть ве- личина 1 В У 1 — с'/с» ⻠— (р,) (26.27) Но что такое ч? Это уже скорость частицы, а не скорость системы координат! Таким образом, обобщением силы на четырехмерное пространство будет величина /1 Р» Г У 1 — »»/с» У 1 — е»/с») =(— (26.28) что представляет четырехмерное скалярное произведение, то в ней мы приобретаем настоящий скаляр и можем пользоваться им для измерения четырехмерного интервала. Исходя из величины Лв нли ее предела Ив, мы можем определить параметр е= ) с)в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
