Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Из этих трех фактов вы можете получить зсе. Из того, что А — четырехвектор, мы преобразованием куловова потенциала, который известен, получим потенциал заряда, движущегося с постоянной скоростью. Затем из последнего утверждения, что потенциал зависит только от скорости в запаздывающий момент, мы, используя проекционное положение, можем нх найти. Правда, это не очень-то удобный способ рассмотрения, но интересно убедиться в том, что законы физики можно сформулировать множеством самых различных способов.
Иногда кое-кто безответственно заявляет, что вся электро- динамика может быть получена только нз преобразований Лоренца и закона Кулона. Зто, конечно, совершенно неверно. Мы пре)кде всего должны предположить, что у нас имеются скалярный и векторный потенциалы, которые в совокупности образуют четырехвектор. Зто говорит нам, как преобразуются потенциалы.
Затем, откуда нам известно, что необходимо учитывать только аффект в запаздывающий моменте Или, еще лучше, почему потенциал зависит только от положения и скорости и не 261 зависит, например, от ускорениями Ведь леля Е и В злгисяш все-таки и от ускорения.
Если вы попытаетесь применить те же рассуждения к ним, то будете вынуждены признать, что они зависят только от положения и скорости в запаздывающий момент. Но тогда поле ускоряющегося заряда было бы таким же, как и поле от заряда в проекционном колол<енин, а зто неверно. Поля зависят не только от полол<ения и скорости вдоль траектории, но и от ускорения. Так что в «великомг утверждении, что все моя<но получить из преобразования Лоренца, содержится еще несколько неявных дополнительных предположений. (Всегда, когда вы слышите подобное эффектное утверждение, что нечто большое можно построить на основе малого числа предположений,— ищите ошибку.
Обычно неявно принимается довольно много такого, что оказывается далеко не очевидным, если посмотреть внимательнее.) ф М. Поля тяочечного наг<яда, деижугс)егося с тгосипоянной сноростяьто Е = — 7<р — — и В = 7 х А. дл д< Возьмем сначала Е;. д~р дА Е = — — — — '. дх д< Но компонента А, равна нулю, а дифференцирование выражения (26Л) для <р дает Г( — ш)'+, +,1 ч* ' г< Аналогичная процедура для Е приводит к Е Ч У У 4.,у< — 'Г( — <)' +з'+г' (26.3) Итак, мы нашли потенциалы точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. Для практических целей нам нужно найти поля. Равномерно движущиеся заряды попадаются буквально на каждом шагу, скажем проходящие через камеру Вильсона космические лучи или даже медленно движущиеся электроны в проводнике.
Так что давайте хотя бы посмотрим, как выглядят зти поля для любых скоростей заряда, даже для .скоростей, близких к скорости света, но предположим при этом, что ускорение вообще отсутствует. Это очень интересный вопрос. Поля мы будем находить по обычным правилам, исходя из потенциалов Немного больше работы с х-компонентой. Производная от 1р более сложна, да и А„не равна нулю. Давайте сначала вычислим — д~р/дх: д р 1 ( — ~)!(1 — ') дх длх 1Г1 хз "(х — х1) х 2 ) 1 — хз Л затем продифференцвруем Ах по 1: дА д — ц~ (х — И)((1 — Р) 2 .5 4лх У 1 — из (х (6.) 1 — х~ + И, наконец, складывая их, получаем х — И 4лзо У"1 х2 ((х — и) ) 1 — из Бросим на минуту заниматься полем Е, а сначала найдем В. Для его г-компоненты мы имеем (26.6) дА В = — — —.".
дх дд Но, поскольку А равна нулю, у нас остается только одна производная. Заметьте, однако, что А„просто равна др, а производная (д/ду) Рр равна — иЕ . Так что В,=хЕ . (26.7) Аналогично, дАх дАх д(р В = — х — — *=х— У дх дх дх или (26,8) В = — еЕ,. У (26.9) Теперь посмотрим, как выглядят наши поля. Мы попытаемся нарисовать картину поля вокруг положения заряда в настоящий момент. Конечно, влияние заряда в каном-то смысле происходит иа запаздывающего положения, но, поскольку мы имеем дело со строго заданным движением, запаздывающее положение однозначно определяется положением в настоящий момент. При постоянной скорости заряда поля лучше связывать с текущими координатами, ибо компоненты поля в точке х, у, з зависят только от (х — И), у и з, которые являются компонентами Наконец, компонента В„ равна нулю, поскольку равны нулю и А и А,.
Таким обрааом, магнитное поле можно записать в виде В =тхЕ. йиг. АХ 9яектрическое поле заряда, движущегося в постоянной скоростью, направлено по радиусу от истинного пояожения заряда. вектора перемещения гр из постоянного полол«ения заряда в точку (х, у, е) (фиг. 26.3). Рассмотрим сначала точки, для которых г= О. Поле Е в этих точках имеет только х- и у-компоненты. Из уравнений (26.3) и (26.6) видно, что отношение этих компонент как раз равно отношению х- и у-компонент вектора перемещения.
Это означает, что направление Е соападйепг с направлением гр, как это показано на фиг. 26.3. Тот ясе результат остается справедливым н для трех измерений, поскольку Е, пропорционально г. Короче говоря, электрическое ноле заряда радиально и силовые линии расходятся от ааряда так же, как и в стационарном случае. Конечно, вследствие наличия дополнительного фактора (1 — ьп) поле не будет тем же самым, что в стационарном случае.
Но здесь мы мол«ем увидеть нечто очень интересное. Дело обстоит так, как будто вы пишете закон Кулона в особой системе координат, «сжатой» вдоль оси х множителем )з'1 — рг. Если вы сделаете это, то силовые линии впереди и позади заряда разойдутся, а по бокам сгустятся (фнг. 26.4). Если мы связываем обычным образом напряженность поля Е с плотностью силовых линий, то видим, что поле впереди и поаади заряда ослабевает, но зато по бокам становится сильнее, т.
е. как раз то, о чем говорит нам уравнение. Когда вы измеряете напряженность поля под прямыми углами к линии двиясения, т. е. при (х — э«)=О, расстояние от заряда будет равно уг+зг, а полная напряженность )з'Егя+Ег в этих точках равна Е ч (26.10) 4лгв у 1 — ог У +г Она, как и в случае кулонова поля, пропорциональна квадрату расстояния, но еще усиливается постоянным множителем 1/)з'1 — рг, который всегда больше единицы.
Таким образом, по бокам двиясущегося заряда электрическое поле сильнее, чем это следует из закона Кулона. Фактически увеличение по сравнению с кулоновым потенциалом равно отношению энергии частицы к ее массе покоя. Впереди заряда (илн позади него) у и з равны нулю, а поэтому Е=Е„= (26. И) Снова поле обратно пропорционально расстоянию от заряда, но теперь оно заредаетдя мноячителем (1 — рэ), что согласуется с картиной силовых линий. Если р/с мало, то рэ/сэ еще меньше, и действие (1 — ьэ) почти незаметно, поэтому мы снова возвращаемся к закону Кулона.
Но если частица движется со скоростью, близкой к скорости света, то поле перед частицей сильно уменьшается, а поле сбоку чудовищно возрастает. Наш результат, относящийся к электрическому полю заряда, можно представить и так. Предположим, что вы на клочке бумаги нарисовали силовые линии покоящегося заряда, а затем эту картину запустили со скоростью рэ. Тогда благодаря лоренцеву сокращению рисунок сожмется, т.
е. частички графита на бумаге будут казаться нам расположенными в других местах. Но чудо состоит в том, что в результате на пролетающем мимо листочке вы увидите точную картину силовых линий точечного двиячущегося заряда. Лоренцево сокращение сблизит их по бокам, раздвинет перед зара- о дом и позади него как раз настолько, чтобы получить нужную плотность. Мы уже отмечали„ что силовые линии — это не реальность, а лишь способ представить себе Е электрическое поле. Однако здесь они ведут себя как самые настоящие реальные линии.
В этом частном 6 п=09с чтл и о. 2о.4. 9леетричеоиое иоле обряда. о — ненодтетччоео, б — юеояноего о «оетоян|юа онороетою о=б,э о. случае, если вы и сделали ошибку, рассматривая силовые линии как нечто реальное и преобразуя их как реальные линии в пространстве, поле в результате все равно получилось бы правильным. Однако от этого силовые линии не станут более реальными. Вспомните об электрическом поле, создаваемом зарядом вместе с магнитом; когда магнит движется, он создает новое электрическое поле и разрушает всю нашу прекрасную картину.
Так что простая идея сокращающейся картинки, вообще говоря, не годится. Но все н<е это очень удобный способ запомнить, как выглядит поле быстро движущегося заряда. Магнитное поле (из уравнения (26.0)1 равно ч х Е. Когда вы векторно помножите скорость па радиальное поле Е, то получите поле В, силовые линии которого представляют окружности вокруг линии движения (фиг.
26.5). Если же теперь мы подставим обратно все с, то вы убедитесь, что результат получился тот же, что и для медленно движущихся зарядов. Хороший способ установить, куда должны войти с, — это вспомнить формулу для силы: Г = д (Е+ ч х В). Вы видите, что произведение скорости на магнитное поле имеет ту же размерность, что н электрическое поле, так что в правой части (26,9) должен стоять множитель $/со, т.
е. (26Л2) с' Для медленно движущегося заряда (з(<с) поле можно считать кулоновым, и тогда (26ЛЗ) Эта формула в точности соответствует магнитному полю тока, которое было найдено в гл. 14 (вып. 5). Попутно мне хотелось бы отметить кое-что весьма интересное просто для того, чтобы вы об этом подумали. (К обсуждению этого мы еще вернемся, но несколько позже.) Представьте себе два электрона, скорости которых перпендикулярны, так что пути их пересекаются, однако электроны не сталкиваются; один из них успевает проскочить перед другим. В какой-то мо- Ф ив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
