Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(Будьте внимательны! Иногда берут обратные знаки у всех слагаемых и квадратом длины называют число а„+а +а, — а).) Если теперь у нас есть два вектора а„и Ь, то нх одноименные компоненты преобразуются одинаково, поэтому ко»«бинация а»Ь» — а„܄— а Ь вЂ” а Ь, также будет инвариантной (скалярной) величиной. (Фактически мы доказали это уже в гл. 17, вып. 2.) Получилась величина, совершенно аналогичная скалярному произведению векторов. Мы так и будем называть ее скалярным произведением двух четырехвекторов. Логично, казалось бы, и записывать его а„Ь,, чтобы оно даже амсяядеяо лоха»хим на скалярное произведение. Но обычно, к сожалению, так не делают и пишут его без точки. И мы тоже будем придерживаться этого порядка и записывать скалярное произведение просто а,Ь .
Итак, по определению, а„Ь„= атЬс — а„܄— а„Ь вЂ” п,Ь,. (25.7) Помните, что повсюду, где вы видите два одинаковых значка (вместо )ь мы иногда будем пользоваться т или другими буквами), необходимо взять четыре произведения и сложить их, не забьшая при этом о знаке минус перед произведениями пространственных компонент.
С учетом такого соглашения инвариантность скалярного произведения при преобразованиях Лоренца можно записать как а„Ь =а Ь„. Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) представляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись: а Ь„=а,Ьт — а Ь. Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как а„а,: а а =а' — а' — а' — а' =а' — а а. С л у С (25.8) Но иногда удобно эту величину записать как а,'„: а„'= — а„а .
Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (Р) получают на больших ускорителях из реакции Р+Р Р+Р+Р+Р. Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с покоящимся протоном (например, с помещенной в пучок водородной мишенью), и если падающий протон обладает достаточной энергией, то вдобавок к двум первоначальным протонам может родиться пара протон †антипрот ". * Вас может удивить, почему же мы не пользуемся реакцией Р+Р Р+Р+Р или даже Р+Р- Р+Р для которой, несомненно, требуется меньшая энергия3 Все дело в принципе, называемом сохранением бариоввоео заряда, согласно которому величина, равная кислу протонов минус яисло антипротонов, не может ивмевиться.
В левой стороне нашей реакции эта величина равна 2. Следовательно, если мы хотим справа иметь антипротон, то ему должны сопутствовать еще три протона (или других бариона). Фиг. Зо,я'. еееаицияр+р-о Зр+р е яабораторнай системе и системе ц. м. Лредпояоеается, что енереия подаюиеего проточна как рое достачяочна дяя прот ения реакции. Протона одоони ени черниии примочками, а антипротони — беячеми. Р+Р =Р Еа ) Еь Ес а комбинируя эти два выражения, можно написать Р',„+ Рй = Р'и (25.9) Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной? Ответ легче всего получить, рассмотрев зту реакцию в системе центра масс (ц.
м.) (фиг. 25.1). Назовем падающий протон протоном а, а его четырехимпульс обозначим через р'„. Аналогично, протон мишени назовем Ь, а его четырехимпульс обозначим через р"„. Если энергии падающего протона как рад достаточно для реакции, то в конечном состоянии (т. е. в состоянии после соударения) образуется система, содержащая три протона и антипротон, покоящиеся в системе ц. м.
Если энергия падающего протона будет несколько выше, то частицы в конечном состоянии вылетят с некоторой кинетической энергией и будут разлетаться в стороны; если же она немного ниже, то ее будет недостаточно для образования четырех частиц. Пусть р'„— полный четырехимпульс всей системы в конечном состоянии, тогда, согласно закону сохранения энергии и импульса, Теперь еще одно важное обстоятельство: поскольку мы получили уравнение для четырехвекторов, то оно должно выполияться в любой инерциальиой системе. Этим фактом можно воспользоваться для упрощения вычислекий.
Напишем длины каждой из частей (25.9), которые, разумеется, тоже должны быть равны друг другу, т. е. (ра+ Ь) (да+рЬ) ра ра (25.10) Так как р' р'„— инвариант, то можно вычислить его в какой-то одной системе координат. В системе ц. и. временная компонента р ' равна энергии покоя четырех протонов, т. е. 4М, а пространственная часть р равна нулю, так чтор'„) — — (4М, 0).
При этом мы воспользовались равенством масс протона и антипротона, обозначив их одной буквой М. Таким образом, уравнение (25.10) принимает вид рара + 2ра рЬ Ь рЬ р» ИМ« (25.11) Произведения р'„р'„и рь рь вычисляются очень быстро: «длина» четырехвектора импульса любой частицы равна просто квадрату ее массы: р р = Е' — р« = М'. Это можно доказать прямыми вычислениями или, несколько более эффектно, простым замечанием, что в систезье веком частицы р„=(М, 0), а следовательно, р„р =М'. А так как это инвариант, то он равен М' в любои системе отсчета. Подставляя результаты в уравнение (25.11), мы получаем 2ра рЬ 14М» и э или эа рь 7М» и э (25.12) Теперь моньке вычислить р„'рь в лабораторной системе. В этой систеие четырехвектор р'„= (Е', р'), а р„=(М, 0), ибо он описывает покоящийся протон.
Итак, р'„рь должно быть равно МЕ', а мы знаем, что скалярное произведение — это инвариант, поэтому оно должно быть равно значению, найденному нами в (25.12). В результате получается Еа 7М Полная энергия падающего протона должна быть по меньшей мере равна 7М (что составляет около 6,6 Гзе, так как М=938 Мэв) или после вычитания массы покоя М получаем, что кинел»и««скол энергия должна быть равна по мепыпей мере 6М (около 5,6 Гэв).
Именно с тем, чтобы иметь возможность производить антипротоны, беватрон в Беркли проектировался ка кинетическую энергию ускоренных протонов около 6,2 Гэв. Скалярное произведение — инвариант, позтому полезно знать его величину. Что, например, можно скааать о «длине» четырехвектора скорости и и р а» ии =и' — п'= — — — =1, 1 — а' 1 — »» т. е. и — единичный четпырехвентор. ф 3. Четпыреоемерньгй градиент»« Следующей величиной, которую нам следует обсудить, является четырехмерный аналог градиента.
Напомним (см. гл. 14, вып. 1), что три оператора дифференцирования д/дх, д/ду, д/дг преобразуются подобно трехмерному вектору и называются градиентом. Та же схема должна работать и в четырех измерениях; по простоте вы можете подумать, что четырехмерным градиентом должны быть (д/дг, д/дх, д/ду д/дг), но ото неверно.
Чтобы обнаружить ошибку, рассмотрим скалярную функцию, которая зависит только от х и 1. Приращение ~р при малом изменении Г на Дг и постоянном х равно Д~р= —, Дг. дх д« (25.13) С другой стороны, с точки зрения движущегося наблюдателя Д~р= —, Дх + —,Д1. дх, де дг' дд Дг' = Дх' = — " Дг, ~1 — ю Таким образом, Сравнивая зтот результат с (25.13), мы узнаем, что (25.14) Используя уравнение (25.1), мы можем выразить Дх' и Дг' через Д1.
Вспоминая теперь, что величина х постоянна, так что Дх=О, мы пишем Аналогичные вычисления дают (25 15) Теперь вы видите, что градиент получился довольно странным. Выражения для х и с через х' и с' [полученные решением уравнений (25 1)) имеют внд с'+гх' х'+ +с с' *=У Именно так должен преобразовываться четырехвектор. Но з уравнениях (25.14) и (25.15) знаки получились неправильными! Выход в том, что надо заменить неправильное определение четырехмерного оператора градиента (д/дс, У) правильным: Мы его обозначим у„.
Для такого т7 трудности исчезают, и он ведет себя так, как подобает настоящему четырехвектору. (Ужасно неприятно наличие минусов, но так уж устроено в мире.) Разумеется, говоря, что т7 «ведет себя как четырех- вектор», мы подразумеваем, что четырехмерный градиент скалярной функции есть четырехвектор. Если ср — настоящее скалярное (лоренц-инвариантное) поле, то Ч„ср будет четырехвекторным полем.
Итак, все уладилось. Теперь у нас есть векторы, градиенты и скалярное произведение, Следующий на очереди — инвариант, аналогичный дивергенции в трехмерном векторном анализе. Ясно, что аналогом его должно быть выражение тС Ь, где ܄— векторное поле, компоненты которого являются $ункциями пространства и времени, Мы определим дигергенцию четырехвектора Ь =(Ь„Ъ) нак скалярное произведение Ч на Ь: а Ь +~.Ъ дс (25.17) где 7 Ъ вЂ” обычная трехмерная дивергенция вектора Ъ. Не забывайте внимательно следить за знаками. Один знак минус связан с определением скалярного произведения (формула (25.7)), а другой возникает от пространственных компонент 7 (формула (25.16)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
