Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 43
Текст из файла (страница 43)
23.7. Заметьте теперь, что в первоначальном резонансном 1 †С- контуре (фиг. 23.16) электрические и магнитные поля были совершенно разделены, Когда мы постепенно видоизменяли резонансную систему, все повышая ее частоту, то магнитное поле теснее и теснее сближалось с электрическим, пока в полом резонаторе окончательно не перемешалось с ним. Хотя все полые резонаторы, о которых в этой главе говорилось, были цилиндрическими, ничего волшебного в самой цилиндрической форме нет. Банка любого вида все равно будет обладать резонансными частотами, отвечающими различным допустимым типам колебаний электрических и магнитных полей.
К примеру, у «полости» на фиг. 23Л7 будет своя личная совокупность резонансных частот, хотя их и трудно рассчитать. Фиг. 23.17. Еа7е одна рееснанснаа полость. Глава 24 ВОЛНОВОДЫ 5 1. Передающая линия У А »1ередают«1ая л««и««я В предыдущей главе мы выяснили, чтб случится с сосредоточенными элементами цепи, если на них подать очень высокую частоту. Мы пришли к выводу, что резонансный контур можно заменить полостью, внутри которой поля вступают друг с другом в резонанс. Но есть и другой интересный технический вопрос: как свяаать между собой два предмета, чтобы можно было передать электрическую энергя«о от одного к другому1 В цепях низкой частоты эта связь осуществляется по проводам, но этот способ на высоких частотах не очень хорош, потому что энергия рассеивается во все стороны и трудно контролировать, куда она потечет.
От проводов во все стороны разбегаются поля; к тому же токи и напряжения высокой частоты не очень хорошо «проводятся» проводами. В этой главе мы и хотим разобраться в том, как можно соединять между собой предметы на большой частоте. Таков по крайней мере один подход к теме нашей лекции. Но можно к ней подойти и по-другому, можно сказать, что мы пока обсуждали поведение волн в пустом пространстве, а теперь пришло время посмотреть, чтб случится, если колеблющиеся поля ограничить в одном или двух измерениях. Мы обнаружим новое интересное явление: если поля ограничить в двух измерениях и дать им свободу в третьем, они распространяются в виде волн. «Волны в волноводе» и будут предметом нашей лекции. Начнем с разработки общей теории линии передачи.
Обычная линия электропередачи, которая тянется от мачты к мачте по полям и лесам, тратят часть своей мощности на излучение, 213 5 2. Прямоугольны волновод б 3. Граничная частота 5 4. Скорость вол~ в волноводе 5 5. Как наблюдат волны в волноводе з 6. Сочленение волноводов ф 7. Типы волн в волноводе $ 8. Другой способ рассмотрения волн в волков< Ф и е. 2а.1. Каакеиал»ная передающая линия. но частота здесь так мала (50 — 60 ген), что эти потери почти незаметны.
От излучения можно избавиться, поместив провод е металлическую трубу, но это непрактично, потому что при 1аких токах и напряжениях в сети без больших, тяжелых и дорогих труб не обойтись. Так что в ходу обычно «открытые линии». На частотах чуть повыше (порядка нескольких килогерц) излучение уже вполне заметно. Но его можно уменьшить, пользуясь адвухяснльной» линией передачи, как это делается при телефонной связи на малые расстояния. Однако при дальнешпем повышении частоты излучение вскоре становится нетерпимо сильным либо за счет потерь энергии, либо из-за того, что энергия перетекает в другие контуры, где она совсем не нужна. На частоте от нескольких килогерц до нескольких тысяч мегагерц электромагнитные сигналы н электромагнитная энергия обычно передаются по коаксиальным линиям, т.
е. по проводу, помещенному внутрь цилиндрического «внешнего проводника», нли «защиты». Хотя дальнейшие рассуждения годятся для линии передачи из двух параллельных проводников любого сечения, речь будет идти о коакснальном кабеле. Возьмем простейшую коаксиальную линию, состоящую из центрального проводника (пусть это будет тонкостенный полый цилиндр) и внешнего проводника — тоже тонкостенного цилиндра, ось которого совпадает с осью внутреннего проводника (фиг. 24.$). Для начала представим себе, как примерно ведет себя эта линия при относительно низких частотах. Мы уже коечто говорили о поведении при низких частотах, когда утверждали, что у двух таких проводников на каждую единицу длины приходится сколько-то там индуктивности и сколько-то емкости. И действительно, поведение любой передающей линии при низких частотах можно описать, задав ее индуктивность на единицу длины 1 е и ее емкость на единицу длины Се.
Тогда линию можно было бы рассматривать как предельный случай фильтра 1.— С (см. гл. 22, з 7). Можно создать такой фильтр, который будет имитировать липки, если последовательно соединить ме»яду собой маленькие элементы индуктивности Ь»Лх н зашунтировать их маленькими емкостями С»Лх (где Лх — элемент длины линии). Применяя к бесконечному фильтру наши прежние результаты, мы бы увидали, что вдоль линии должны распространяться электрические сигналы.
Но поступим иначе и вместо 219 Ф ив. 2д.2. Токи и иакряоке+ е ) иия в иередающей киями. у( ),' этого изучим свойства линии, опираясь на дифференциальные уравнения. Предположим, мы наблюдаем за происходящим в двух соседних точках передающей линии, скажем, на расстояниях х и х+Лх от начала линии. Обозначим напряяеение между проводниками через У(х), а ток в верхнем проводнике Х(х) (фиг.
24.2). Если ток в линии меняется, то индуктивность вызовет падение напряжения вдоль неболыпого участка линии от х до х+Лх ЛУ= У (х+ Лх) — У (х) = — Х,,Лх — . д1 дВ ' Или, беря предел при Лх — О, получаем д1 — = — Х,— дк — о дс (24Л) СоЛх д й'о' дв Если перейти к пределу прн Лх- О, получается д1 ду Св дв ° (24.2) Так что сохранение заряда предполагает, что градиент тока пропорционален скорости изменения напряжения во времени.
Уравнения (24 1) и (24.2) — это основные уравнения линии передачи. При желании их можно видоизменить так, чтобы они учитывали сопротивление проводников или утечку зарядовчерез иаоляцаю меявду проводниками, но пока нам достаточно самого простого примера. 220 Изменение тока приводит к перепаду напряжения. Теперь еще раз взгляните на рисунок. Если напряжение в х меняется, то должны появляться заряды, которые на атом участке передаются емкости. Если взять небольшой участок линии от х до х+Лх, то заряд на нем равен о=С Лхр.
Скорость изменения этого заряда равна СоЛхЛ'Яв', но заряд меняется только тогда, когда ток 1(х), входящий в элемент, отличается от выходящего тока 1(х+Лх). Обозначая разность через ЛХ, имеем Оба уравнения передающей линии можно объединить, продифференцировав первое по г, а второе по х и исключив У илн 1.
Получится либо з Сойодз а (24.3) либо дз! дз/ — / СЬ дзз о о дЗз (24.4) Мы окова узнаем волновое уравнение по х. В однородной передающей линии напряжение (н ток) распространяется вдоль линии как волна. Напряжение вдоль линии будет следовать закону Г(х, М) =/(х — И) или р(х, г) =л(х+И) или их сумме. А что такое здесь э7 Мы знаем, что коэффициент прн дз/дР— это просто 1/из, так что И= (24.5) /"оса Покалечите самостоятельно, что напряжение для каждой волны в линии пропорционально току этой волны н что коэффициент пропорциональности — это просто характеристический импеданс г,. Обозначив черезов+ и 1+ напряжение и ток для волны, бегущей в направлении +х, вы должны будете получить о'+ — — го1+.
(24.6) Равным образом, для волны, бегущей в направлении — х, получится а -= го1 Характеристический импеданс, как мы уже видели из наших уравнений для фильтра, дается выражением го )/ С (24.7) и поэтому есть чистое сопротивление. Чтобы найти скорость распространения о и характеристический импеданс го передающей линии, нужно знать индуктивность и емкость единицы длины линии. Для коаксиального кабеля их легко подсчитать. Поглядим, как это делается. При расчете индуктивности мы будем следовать идеям, изложенным в гл.
17, э 8, и положим '/, Е1' равным магнитной энергии, в свою очередь получаемой интегрированием еос'Вз/2 по объему. Пусть по внутреннему проводнику течет ток 1; тогда мы знаем, что В=1/Ъпеосзг, где г — расстояние от оси. Беря в качестве элемента объема цилиндрический слой толщины озг и длины ~, получаем для магнитной энергии гле а и Ь вЂ” радиусы внутреннего и внешнего проводников.
Интегрируя, получаем /а( Ь У = — 1п —. 4лзааа а ' (24.8) Приравниваем зту энергию к '/аЫа и находим (24.9) Как и следовало ожидать, Е пропорционально длине 1 линии, поэтому Ла (индуктивность на единицу длины) равна ~ь=р а' (24.10) Мы уже рассчитывали заряд на цилиндрическом конденсаторе (гл. 12, 4 2 (вып. 5)].
Деля теперь этот заряд на разность потенциалов, получаем аяза( С= —. 1в(Ь/а) Емкость лае на единицу длины С,— зто С/1. Сопоставляя этот результат с (24.10), мы убеждаемся, что произведение ЬаС равно просто 1/с', т. е. о=1/)/ь.аСа равно с. Волна бежит по линии со скоростью света. Нужно подчеркнуть, что зтот результат зависит от сделанных предположений: а) что в промежутке между проводниками нет ни диэлектриков, ни магнитных материалов; б) что все токи текут только по поверхности проводников (как это бывает в идеальных проводниках). Позже мы увидим, что на высоких частотах все токи распределяются на поверхности хороших проводников, словно они идеальные проводники, так что зто предположение правильно. Любопытно, что в зтих двух предположениях произведение ЕаСа равно 1/са для любой параллельной пары проводников, дахае в том случае, если, скажем, внутренний шестигранный проводник тянется как-то вдоль зллиптического внешнего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
