Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Во-первых, оио описывает поле, убывающее иа расстоянии как 1/г, во-вторых, зависит от ускорения заряда. Теперь вам должно быть ясно, как мы собираемся получить формулу типа (21 1'), описывающую световое излучение. Явление это иастолько интересно и важно, что стоит немного подробнее разобраться в том, откуда берется это «радиациоияое» слагаемое. Мы начинали с выражения (21 18), зависящего от г как 1/г и тем самым похожего па кулонов потенциал (если ве обращать внимания на запаздывающий множитель в числителе). Почему же когда мы, желая получить поле, диффереяцируем по пространственным координатам, то ие получаем просто поля вида 1/г' (колечко, с соответствующей временной задеря кой)? А вот почему. Представьте, что диполь приведен в колебательное движение вверх и вяиз.
Тогда Р = Ре = Ро з'и сов. е"Рв сов ю (е — — гГс) в бяв осе г Коли начертить график зависимости А„от г в каждый данный момент, то получится кривая, показанная иа фиг. 21.3. Амплитуда в пиках убывает как 1/г, но, кроме того, еще имеются пространственные колебания, которые ограпичеиы огибающей вида 1/г. Пространственные производяые в формуле пропорциопальпы наклону кривой.
Из фиг. 21.3 видно, что встречаются намного более крутые наклоны, чем наклон самой кривой 1/г. Очевидно, что при данной частоте наклоны в пиках пропорцяовальиы амплитуде волны, меняющейся как 1/г. Тем самым объясияется степень спадания радиационного слагаемого с расстоякием. Все зто получается оттого, что временнае вариации в источпике превращаются в пространственные вариации, когда волны Ав Фи в. Л1.д. Зависимоств величини А огя г в момент е длл сферической во.енм от колеблютевося диколя, начинают разбегаться в стороны, магнитные же поля зависят от пространственных производных погевциала. Теперь возвратимся назад и закончим наши расчеты магиитного поля.
Для В„мы получили (21.21) и (21.22). Поэтому В ( УР (Š— г/с) УР (/ — г/с) 21 1, 4иеосе ) го сг' ( 1) С помощью точно таких же выкладок мы придем к ( ( хо (е — г/с] хр (с — г/с) У 4иеосе ( гз сг" И все это можно объединить в одну красивую векторную формулу: Гр+(г/с) р'Ь-г/сХг (21.23) 4ие,с' гз Л теперь взгляните ва кее. Прежде всего ка болыпих удалеяиях (когда г велико) следует припямать в расчет только р, Направление В дается вектором рХг, перпендикулярным и к радиусу г, и к ускорению (фиг. 21.4). Все сходится с тем, что получилось бы из формулы (21.1').
Теперь посмотрите (к атому мы ие привыкли) ва то, что происходит поблизости от заряда. В гл. 14, з 7 (вып. 5) мы вызелк заков Био и Савара для магнитного поля элемекта тона. Мы нашли, что элемент това уЛг привкосит в магнитное поле следующий вклад: (21.24) 4ие,~е Вы видите, что эта формула с виду очень похожа иа первое слагаемое в (21.23), если только вспомнить, что р — это ток. Но разница все же есть. В (21.23) ток надо подсчитывать в момент (г — г/с), а в (21.24) этого кет. На самом деле, одпако, (21.24) для малых г все еще годится, потому что второе слагаемое в (21.23) стремится уничтожить эффект запаздывания вэ первого слагаемого.
Влеесте оба они приводят при малых г к результату, очевь близкому и (21.24). зг и з. с1,4. Поля излучения В и Е колод лнкиезося дииоля. В этом можно убедиться следующим образом. Когда г малб, (г — г/с) не очень отличается от ~, и в (21.23) скобки моягно разложить в ряд Тейлора. Первый член разложения дает р (Ю вЂ” — ) = р (1) — — р (1) + и т. д. н в том же порядке по г/с Если их слон~ить, члены с р уничтогкатся и слева останется незалаздывающий ток р, т. е. р(1) плюс члены порядка (гlс)' и выше [например, '/. (г/с)'р).
Эти члены при достаточно малых г (малых настолько, что за время «/с ток р заметно не меняется) будут очень малы. Стало быть, (21.23) приводит к полям, очень похогким на те, которые дает теория с мгновенным действием, гораздо более похожим на них, чем на поля теории с мгновенным действием и с задержкой; эффекты задержки первого порядка компенсируются вторым членом. Статические формулы очень точны, намного более точны, чем вам могло бы показаться. Конечно, компенсация чувствуется только вблизи от заряда. Для далеких точек зти поправки уже ничего не спасают, потому что временнбе запаздывание приводит к очень большим аффектам и в конечном счете к важному члену 1/г — к эффекту излучения. Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля н доказательства того, что оно совпадает с (21Л').
Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источников, где возникает распространяющаяся волна, Е перпендикулярно к В (и к г), как на фиг. 21.4, и что сВ=Е. Значит, Епропорционально ускорению р, как и предсказывалось формулой (21Л'). с1тобы получить электрическое поле на всех возможных расстояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая получить (21Л8), то сделали приближение: мы пренебрегли малозаметным изменением г в члене с запаздыванием.
Для злектростатического потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы 1/г, умноженное на интеграл от-плотности заряда, т. е. на константу. Такое приближение чересчур грубо. Надо обратиться к высшим порядкам. И вместо того, чтобы путаться в этих прямых расчетах высших приближений, можно поступить иначе — определить скалярный потенциал из равенства (21.6), используя уже найденное значение векторного потенциала. Дивергенция А в этом случае просто равна дА,/дз, поскольку А„и А тождественно равны нулю. Дифференцируя 154 т А=— 1 '(' —:) — '(-')'-' —" ~'-й1 = вр (с — г/с) вр (в — г/с) ~ гв сгв 4яевсв Или в векторных обозначениях 1 ~ р+(г/с)р )с-г/с.г 4яе с' гв Из равенства (21.6) получается уравнение для <р: дн 1 ~р+(г/с)р)С-г/с г дг 4яес гв Интегрирование по 1 просто убирает надо всеми р по одной точке: 1р+(./с)р)с-.в г (21.25) 4аев „в (Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложенному статическому полю, которое, конечно, может существовать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя статического поля яет.) Теперь мы можем из дА Е = — р~р —— дв найти алектрическое поле Е.
После утомительных (хоть и пря- мых) выкладок (при этом нужно помнить, что р(1 — г/с) и его производные по времени зависят от х, у и г через запаздывание г/с) мы получаем Е (г,/) = —, ~рв — 3 1, + —, ( — р(1 — — ) Х г~ Х г~, (21.26) где р* = р (( — М+ — ' р (1 — — ") . (21.27) Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется просто.
Вектор р* — зто дипольный момент с запаздыванием и с «поправкой» на запаздывание, так что два члена с р* в (21.26) при малых г дают просто статическое поле диполя (см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6 14)!. Когда г велико, то член с р преобладает над остальными, и электрическое поле пропорционально ускорению зарядов в направлении поперек г и само направлено вдоль проекции р на плоскость, перпендикулярную к г.
1вв точно так же, как это делалось выше при вычислении В, полу- чаем Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (21,1'). Конечно, эта формула — более общая; она годится для любого движения, а не только для малозаметных движений, для которых запаздывание г/с в пределах всего источника можно считать постоянным [как (21.26)!. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше прежнее изложение свойств света, за исключением лишь некоторых вопросов из гл.
34 (вып. 3), которые связаны с последней частью выражения (21.26). Мы можем теперь перейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивистским аффектам (гл. 34 (вып. 3)!. ф б. 1Еотае»»«(»»алы дв««ж»/щегося наряда; общее реи»е»»««е Лье»«ара ««Ю««мер»»»а В предыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вычислении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы заново предпримем расчет потенциалов точечного заряда, движущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской скоростью).
Как только мы получим этот результат, у нас в руках окажутся электромагнитные свойства электрических зарядов во всей их полноте. Дав~е формулу (21.1') можно будет тогда легко получить, взяв только яужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, запаситесь терпением! Попробуем подсчитать в точке (х„у„г,) скалярный потенциал ~р(1), создаваемый точечным зарядом (вроде электрона), движущимся любым, каким угодно образом.
Под «точечным» аарядом подразумевается очень маленький заряженный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда р(х, у, г). Потенциал ~ можно найти из (21.15): (21.28) На первый взгляд кажется (и почти зсе так и подумают), что ответ состоит в том, что интеграл от р по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду д, т. е. что »р(1,!) = — —, (неверно). ч 4я«з 1$ Через г„здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (Я) к точке (1), намеренный в более раннее время (г — г»»/с). Эта формула ошибочна. ОЭ и в. 21.б. «Точечний» заряд (рассматриваемый как небольшое распределение еарядов в форме куба), движущийся со скоростью в к точке (//.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
