Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от хасх у вас сразу всплывает ответ х»~3.) На самом деле вы должны представлять себе немноакко больше. Решением является пе только любая функция от (х — са), по и функция от (х+са). Из-за того что в волновом уравнении с встречается только в виде с'-, измевевие знака с вичего не меняет.
И действительно, самое оби)ее решевие одномерного волнового уравнения — это сумма двух произвол ьпых функций, одной от аргумента (х — сГ), а другой от (х+с1): ар = т' (х — сг) + д (х+ с»). (20.24) ° ° ° Следующий забавный вопрос решите сами. Возьмем функцию ф в виде а)а = соз йх соз Йсг. Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным х, второе — произвольную волву, бегущуао к отрицательным х. Общее решевие получается налол«епием двух таких волн, существующих одковремевно. Эта функция не имеет вида Дх — с1) или д(х+с0. Но прямой подстановкой в (20.20) легко убедиться, что она удовлетворяет волновому уравнению.
Но как же мы тогда смеем говорить, что общее решение имеет вид (20.24)7 ° ° е Е =(О, Е,„Е,), Еу ~(х — сС)+у(х-(-сг) Е,=Е(х — сС)+ С (х+сй), В =(О, В„В), сВ, = ( (х — сЮ) — д (х -(- с4), сВ = — Е(т — с8)+6(х+с~). (20 25) У подобных электромагнитных волн направление вектора Е не неизменно: оно как-то произвольно смещается по спирали в плоскости уз.
Но в каждой точке магнитное поле всегда перпендикулярно к электрическому и к направлению распространения. Если присутствуют только волны, бегущие в одном направлении (скажем, в ноложнтельном направлении х), то имеется 5 Зз 4264 Применяя эти выводы о решении волнового уравнения к у-компоненте электрического поля Е, мы заключаем, что Е мо4кет меняться по х произвольным образом. Всякое поле, которое существует в самом деле, можно всегда рассматривать как сумму двух картин.
Одна волна плывет через пространство в каком-то направлении со скоростью с, причем связанное с нею магнитное поле перпендикулярно к электрическому; другая волна бежит в противоположном направлении с той же скоростью. Такие волны отвечают хорошо нам известным электромагнитным волнам — свету, радиоволнам, инфракрасному излучению, ультрафиолету, рентгеновским лучам и т. д.
Мы уже изучали очень подробнб излучение света. Так как все, чему мы тогда научились, применимо к любым электромагнитным волнам, то теперь нет нужды рассматривать подробно поведение этих волн. Пожалуй, стоит лишь сделать несколько замечаний о поляризации электромагнитных волн. Раньше мы решили рассмотреть частный случай электрического поля с одной только р-компонентой.
Имеется, конечно, и другое решение для волн, бегущих в направлении +х или — х, т. е. решение, при котором электрическое поле обладает одной лишь г-компонентой. Так как уравнения Максвелла линейны, общее решение для одномерных волн, распространяющихся в направлении х, есть сумма волн Е и волн Е,. Общее решение суммируется следующими формулами: простое правило, говорящее об относительной ориентации электрического и магнитного полей. Правило состоит в том, что векторное произведение ЕХВ (которое, как известно, является вектором, поперечным и к Е, и к В) указывает направление, куда бежит волна. Если Е совмещать с В правым поворотом, то вектор поворота показывает направление вектора скорости волны. (Позже мы увидим, что вектор ЕХВ имеет особый физический смысл: это вектор, описывающий течение энергии в электромагнитном поле.) ф Е.
Трехмерные волны А теперь обратимся к трехмерным волнам. Мы уже внаем, что вектор Е удовлетворяет волновому уравненшо. К тому же выводу легко прийти, отправляясь прямо от уравнений Максвелла. Предположим, что мы походии из уравнения дн ЧХЕ= —— дг и берем ротор от обеих частей: ЧХ (7 ХЕ) = — — (7Х В). (20.26) Вы помните, что ротор от ротора любого вектора может быть записан в виде суммы двух членов, один из которых содержат днвергенцню, а другой — лапласнап: 7 х (Р х Е) = гУ (гУ Е) — 7гЕ. Но в пустом пространстве дивергенция Е равна нулю, так что остается только член с лапласианом. Далее, из четвертого уравнения Максвелла в пустом пространстве !см. (20Л2)) производная по времени от сг(ЧХВ) равна второй производной Е по 0 д дгŠ— (зг ХВ) = —,, Тогда (20.26) обращается в 17гŠ— —— 1 дгВ гг гг Это и есть трехмерное волновое уравнение.
Расписанное во всей красе, оно выглядит так: (20.27) Как же нам найти общее решение этого уравнения7 Ответ таков: все решения трехмерного волнового уравнения могут быть представлены в виде суперпозиции уже напденных нами одномерных решений.
Мы получили уравнение для волн, бе- 130 гущих з направлении х, предположив, что поле не зависит от р и г. Конечно, имеются и другие решения, в которых поля не зависят от х и г,— это волны, идущие в направлении у. Затем существуют решении, не зависящие от х и у; они представляют волны, движущиеся в направлении г.
Или в общем случае, поскольку мы записали ваши уравнения в векторной форме, трехмерное волновое уравнение мозгует иметь решения, которые являются плоскими волнами, бегущими, вообще говоря, в любом направлении. Кроме того, раз уравнения линейньг, то одновременно можот распространяться сколько угодно плоских волн, бегущих в каких-угодно направлениях. Таким образом, самое общее решение трехмерного волнового уравнения является суперпозицией всех видов плоских волн, бегущих во всех возможных направлениях. Попытайтесь представить себе, как выглядят сейчас электрические и магнитные поля в нашей аудитории.
Прежде всего здесь имеется постоянное магнитное поле; оно возникло от токов внутри нашей Земли, от постоянного земного магнетизма. Затем здесь имеются какие-то нерегулярные, почти статические электрические поля. Они скорей всего созданы электрическими зарядами, появляющимися из-за того, что кто-то ерзает на своем стуле или трется рукавами о стол (словом, в результате трения). Кроме того, здесь есть еще и другие магнитные поля, вызванные переменными токами в электропроводке,— поля, которые меняются с частотой в 50 гм в такт с работой генератора на городской электростанции. Но еще больший интерес представляют электрические и магнитные поля, меняющиеся быстрое.
К примеру, там, где свет падает из окна, освещая стены и пол, имеются небольшие колебания электрического и магнитного полей, перемещающиеся за секунду на 300000 км. По комнате еще распространяются инфракрасные волны, идугцие от вавтих горячих голов к холодной доске с формулами. Да! Мы сщс позабыли об ультрафиолетовом свете, о рентгеновских лучах и о радиоволнах, которые проносятся по комнате. Через комнату скользят электромагнитные волны, которые несут в себе джазовую музыку. Проносятся и волны, модулированные серией импульсов, представляющих картины событий, которые происходят сейчас в других местах света, или картины воображаемых явлений, происходящих при растворении воображаемого аспирина в воображаемых желудках. Чтобы убедиться в реальности этих волн, достаточно просто включить электронную аппаратуру, которая превращает эти волны в изображения и звуки.
Если мы займемся дальнейшим анализом еще более слабых колебаний, то заметим мельчайшие электромагнитные волны, пришедшие в нашу комнату с огромных расстояний. В ней существуют мельчайшие колебания электрического поля, гребни 131 которых отстоят друг от друга примерно на фут, а источник нх удален отсюда па миллионы миль. Зги волны передаются на Землю с межпланетной станции Маринер 11, которая как раа проходит сейчас где-то мимо Венеры. Ее сигналы несут сводку всей той информации, которую ей удалось ухватить у планеты (ннформацин, полученной от электромагнитных волн, дошедших от Венеры к станции). И есть здесь еще едва заметные колебания электрических и магнитных полей от волн, возникших з миллиардах световых лет отсюда, в галактиках, находящихся в удаленнейших уголках Вселенной. В том, что это действительно так, убедились, «заполнив комнату проволокой», т.
е. соорудив антенны величиной с эту комнату. Так были замечены радиоволны, дошедшие до нас из мест, находящихся за пределами досягаемости крупнейших оптических телескопов. Кстати, даже эти оптические телескопы всего лишь простые собиратели электромагнитных волн. А то, что мы называем звездами, лишь заключения — заключения, выведенные нз единственнон физической реальности, которую иы до снх пор от них получали, из тщательного изучения бесконечно сложных волновых движений электрических и магнитных полей, достигающих Земли.
В аудитории имеются, конечно, еще другие разные поля— от молний, вспыхивающих где-то вдалеке отсюда, от зарин«енных частиц в космических лучах в тот момент, когда они проносятся сквозь комнату, н еще ноля и еще... Представляете, какая сложная штука все зги электрические поля в пространстве вокруг нас) И все они подчиняются трехмерному волновому уравнению. ф 3. Научное воображение Я просил вас представить себе электрические и магнитные поля. Что зы для атого сделали? Знаете ли вы, как зто нужно сделать? И как я сам представляю себе алектрическое и магнитное поля? Что я яа самом деле при атом вижу? Что требуется от научного воображения? Отличается ли оно чем-то от попытки представить себе комнату, полную невидимых ангелов? Нет, это не похоже на такую попытку.
Чтобы получить представление об электромагнитном поле, требуется более высокая степень воображения. Почему? Да потому что для того, чтобы невидимые ангелы стали доступны пониманию, мне нужно только чуть-чуть изменить их свойства — я делаю их слегка видимыми, и тогда я уже могу увидеть н форму их крыльев, и их тела, и их нимбы. Как только мне удалось представить себе видимого ангела, то необходимая для дальнейшего абстракция (состоящая в том, чтобы почти невидимых ангелов представить себе совершенно невидимымн) оказывается сравнительно легким делом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
