Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если сделать так, чтобы токи протекали через массу вещества, удовлетворяющего закону Ома, то токи распределятся в этой массе так, чтобы скорость, с какой генерируется в ней тепло, была наименьшей. Можно также сказать иначе (если температура поддерживается постоянной): что скорость выделения энергии минимальна. Этот принцип, согласно классической теории, выполняется даже в распределении скоростей электронов внутри металла, по которому течет ток.
Распределение скоростей не совсем равновесно [см. гл. 40 (вып. 4), уравнение (40.6)1, потому что они медленно дрейфуют в стороны. Новое распределение можно найти иа того принципа, что оно при данном токе должно быть таково, что развивающаяся в секунду за счет столкновений энтропия уменьшится настолько, насколько это возможно.
Впрочем, правильное описание поведения электронов должно быть квантовомеханнческим. Так вот в чем состоит вопрос: должен ли этот самый принцип минимума развивающейся энтропии соблюдаться и тогда, когда положение вещей описывается квантовой механикой? Пока мне не удалось это выяснить. Вопрос этот интересен, конечно, и сам по себе. Подобные принципы возбуждают воображение, н всегда стоит попробовать выяснить, насколько они общи. Но мне необходимо это знать и по более практической причине.
Вместе с И7 несколькими коллегами я опубликовал работу, в которой с помощью квантовой механики мы примерно рассчитали электрическое сопротивление, испытываемое электроном, пробирающимся сквозь ионный кристалл, подобный ХаС1. статья об атом была напечатана в Рйуз1са1 Ьеч1етг, 127, Ю04 (1962) и называется «Подвижность медленных электронов в полярных кристаллахзЛ Но если бы существовал принцип минимума, мы могли бы воспользоваться им, чтобы сделать результат на-. много более точным, аналогично тому как принцип минимума емкости конденсатора позволил нам добиться столь высокой точности для емкости, хотя об электрическом поле наши сведения были весьма неточными. Глава 20 РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ПУСТОМ ПРОСТРАНСТВЕ ь ! . Волны в пустом пространстве; плоские волны ,'; 2.
Трехмерные волны 8( 1. Юолиьс в тгусжол тьззосттьро мсжвеу тьлоскне волны з~ 3. 1(аучпое зозорзжшпзе В гл. 18 мы достигли того, что уравнения Максвелла появились в полном виде. Все, что есть в классической теории злектрическвх и магнитных полей, вытекает из четырех уравнений: й 4. Сферические солки обое:порптпгл гл. 87 (еы«. 4) «Звук, Волковое уравпсявсз; ~ л. 28 (вып. 3) «Элеж ромаглпзкос пзл( !еппез 11 Рхк=-Г ° 1Ч.
сзРХВ= — (-— ,( дЕ дЗ 1. 7 Е=~, е« 111. т В=О, (20. 1) Когда мы свели все зги уравнения воедино, мы обнаружили новое знаменательное явление: поля, создаваемые движущимися зарядами, могут покинуть источник и отправиться путешествовать в пространстве. Мы рассмотрели частный случай, когда внезапно включается целая бесконечная плоскость. После того как в течение времени (шел ток, возникаютоднородные электрические и магнитные поля, простирающиеся от плоскости на сп Предположим, что по плоскости рз течет ток в направлении +у с поверхностной плотностью з. Электрическое поле будет иметь только у-компоненту, а магнитное — только г-компоненту.
Величина компонент поля будет равна Х Е =сВ,= — ~ т (20.2) для положительных л, меньших сд Для ббльших х поля равны нулю. Равные по величине поля простираются на то гке расстояние от плоскости в направлении отрицательных у. На фиг. 20.1 кокааан график зависимости величины полей от х в момент (.
С течением времени Фи г. 20.1. Зависимость глгктрического и магнитного полей от х черве» сек после того, как была вкмочена варлксеннал плоскость. сг х 2 / 0 Е 3 3 $ »? Ф и г. 20.2, Электрическое поле плоскости с током. а — одна единича юоиа илючена в лю- меню »=О; б — двв единииы тока вклю- мни г .намети с= »к е — сиивриаткил а и б. с<~,) ст ю а йле «волновой фронт» в сс распространяется вдоль х с постоянной скоростью с. Теперь представим себе такую последовательность событий. На мгновение мы включаем ток единичной силы, а затем внезапно увеличиваем его силу втрое и поддерживаем его на этом уровне.
Как же будут теперь выглядеть поля? Зто можно узнать таким образом. Во-первых, надо представить ток с единичной силой, включенный при д 0 и больше не менявшийся. Тогда поля при положительных х будут иметь вид, представленный на фиг.
20.2, а. Затем надо задать себе вопрос, что произойдет, если в момент с, включить постоянный ток силой в две единицы? В этом случае поля станут вдвое больше, чем прежде, но отойдут по х только па промежуток с(г — г,) (фиг. 20.2, б). Складывая эти два ре|кения (по принципу суперпозиции), мы получаем, что сумма источников — это ток силой в одну единицу с момента нуль до момента г, и ток в три единицы в более поздние моменты. В момент д поля меняются вдоль х так, как показано на фиг. 20.2, в. Возьмем теперь более сложную задачу. Рассмотрим ток, имевший сначала силу в одну единицу, а затем достигший силы в три единицы и выключенный. Каковы будут поля от такого тока? Решение можно получить точно так же, как и раньше, с, с, е си-г,1 сй-ГР сс к а б ер и е, сд.д. Если сила источника така меняется так, как на рисуике (а), то е момент Е *лектриясское поле как функэия опс я приобретает друеой еид (б).
(20.3) 12$ т. е. складывая решения трех разных задач. Сперва найдем поля постоянного тока единичной силы (эту задачу мы уже решали), Потом узнаем поля от тока двойной силы. И, наконец, возьмем решение для полей токов с силой в минус три единицы. Сложив все три решения, мы получим ток силой в одну единицу от ~=0 до какого-то более позднего момента, скаяеем, до с„ затем ток силой в три единицы до момента йм а потом ток, равный нулю, т. е. выключенный. График зависимости тока от времени показан на фнг, 20.3, а. Складывая три решения для электрического поля, мы видим, что его изменения с расстоянием х в данный момент с подобны изображенным на фнг. 20.3, б.
Поле в точности отображает собой ток. Распределение поля в пространстве есть точное отра;кение изменений тока со временем, но только нарисованное задом наперед. По мере того как проходит время, вся картина перемещается наружу со скоростью с, так что получается ломтик полей, который движется к положительным х и хранит в себе всю историю перемен тока. Если бы мы находились где-то на расстоянии многих километров, мы могли бы лишь по изменению электрического или магнитного поля безошибочно рассказатги как менялся ток в источнике. Заметьте также, что даже после того, как вся деятельность в источнике прекратилась и все заряды исчезли, а токи сошли на нет, наш ломтик полей продолжает свое путешествие через пространство.
Получается распределение электрических и магнитных полей, которое существует независимо от токов и зарядов. Зто и есть тот новый эффект, который следует из полной системы уравнений Максвелла. Мы можем, если нужно, представить только что проделанный анализ в строго математической форме, написав, что электрическое поле в данном месте и в данное время пропорционально току в источнике, но не в тс сесе время, а в более ранний период !~ — (х)с)). Можно написать 1 (с — я)с) хаос 1 д'ф Чзф — — — =— сс дсх сс ' (20.4) Ч'А — — — = — —, 1 д'А сс ды сссс ' (20.5) Если р и ) равны нулю, то зти уравнения упрощаются: 1 ~Уф Ч'ф — — -=О, с дрг (20. 6) 1 дсА Ч'А — — — = О.
сс дсс (20. 7) Вас удивит, если я скажу, что мы уже выводили это уравнение раньше (с другой точки зрения), когда говорили о теории показателя преломления. Тогда нам нужно было представить себе, какие поли создаст слой колеблющихся диполей в тонком плоском диэлектрике, если днполи приводятся в движение электрическим полем падающей электромагнитной волны. Задача наша состояла в расчете комбинированного поля начальной волны и воли, излучаемых колеблющимися диполямн. Как же мы смогли тогда рассчитать поля, создаваемые движущимися зарядами, не зная уравнений Максвелла? Мы тогда приняли в качестве исходной (без вывода) формулу для полей излучения, создаваемых на больших расстояниях от ускоряемого точечного заряда.
Если вы заглянете в гл. 31 (вып. 3), то увидите, что выражение (31.10) — это как раз наше выражение (20.3), которое мы только что написали. Хотя прежний наш вывод относился только к большим расстояниям от источника, теперь мы видим, что тот же результат верен и вблизи источника. Сейчас мы хотим взглянуть в общем виде на поведение электрических и магнитных полей в пустом пространстве вдалеке от источников, т.
е. от токов и зарядов. Очень близко от них (так близко, что источники за время запаздывания передачи не успевают сильно измениться) поля очень похоя;и на те, которые получились у нас в электростатике или магнитостатике. Но если перейти к таким болыпим расстояниям, что запаздывание станет заметным, то природа полей может радикально отличаться от тех решений, которые мы нашли. Когда поля значительно удаляются ото всех источников, они начинают в некотором смысле приобретать свой собственный характер.
Так что мы вправе приступить к обсуждению поведения нолей в области, где нет ни тонов, ни зарядов. Лредположим, что нас интересует род полей, которые могут существовать в областях, где и р и ) равны пулю. В гл. 18 мы вцдели, что физику уравнений Максвелла можно также выразить на языке дифференциальных уравнений для скалярного и векторного потенциалов: Стало быть, в пустом пространстве и скалярный потенциал ср, и каскдая компонента векторного потенциала А удовлетворяют одному и тому же математическому уравнению. Пусть буквой (пси) мы обозначили любую из четырех величин ф, А„, А, А,; тогда нам нужно изучить общие решения уравнения 1 дсф (20.8) Его называют трехмерным волновым уравнением — трехмерным потому, что функция сд может в общем случае зависеть от х, у и г и следует учитывать изменения по каждой из этих координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
