Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 18
Текст из файла (страница 18)
гл. ЗЕ вып. 3). 7 Е=9 е» (18.14) рхв= —, 1 зр«» (18.15) Если взять любое произвольное определение единицы заряда, можно экспериментально определить цостоякную е„входящую в уравнение (18.14), скажем, измеряя силу между двумя неподвия~ными единичными зарядами по закону Кулона. Мы должны также определить экспериментально постоянную е,с", которая появляется в уравнении (18.15), что можно сделать, скажем, измерив силу между двуми единичными токами. (Единичный ток означает единичный заряд е секунду.) Отношение этих двух экспериментальных постоянных есть с» — как раз другая «электромагнитная постоянная».
Заметим теперь, что постоянная с' получается одна п та же независимо от того, какова выбранная наша единица заряда. Если мы выберем «заряд» в два раза больше (скажем, удвоенный заряд протона), то в пашей «единице» заряда з» должна уменыпиться в четыре раза. Когда мы пропускаем два таких «единичпых» тока по двум проводам, в каждом проводе будет в два раза больше «зарядов» в секунду, так что силы между двумя проводами будут в четыре раза больше. Постоянная ерс' должна уменьшиться в четыре раза. Но отношение е»сне„ не меняется.
Следовательно, непосредственно из экспериментов с зарядами и токами мы находим число с»,которое оказывается равным квадрату скорости распространения электромагнитных возбуждений. Из статических измерений (измеряя силы между двумя единичными зарядами и между двумя единичными токами) мы находим, что с=3,00 10» м/сея. Когда Максвелл впервые проделал зто вычисление со своими уравнениями, он сказал, что совокупность электрического и магнитного полей будет распространяться с атой скоростью. Он отметил также таинственное совпадение — зта скорость была равна скорости света. «Мы едва ли можем избея«ать заключения,— сказал Максвелл,— что свет — это поперечное волнообразное движение той»ке самой среды, которая вызывает элентрпческие и магнитные явления».
Так Максвелл совершил одно из великих обобщений физики! До него был свет, было электричество и был магнетизм. Причем два последних явления были объединены экспериментальными работами Фарадея, Эрстеда и Ампера. Потом внезапно свет не стал уже больше «чем-то еще», а был электричеством 89 однако, мы прямо начинаем с двух констант е, и с', которые появляются в уравнениях злектростатикн и магнктостатики: и магнетизмом в новой форме, небольшимп кусками электрического и магнитного полей, которые распространятотся в пространстве самостоятельно.
Мы обращали ваше внимание на некоторые черты этого особого решения, которые, однако, справедливы для любой электромагнитной волны: магнитное поле перпендикулярно направлению движения фронта волны; электрическое поле также перпендикулярно направлению движения фронта волны; и два вектора Е и В перпендикулярны друг другу. Далее, величина электрического поля Е равна произведению с на величину магнитного поля В. Эти три фанта — что оба поля поперечны направлению распространения, что В перпенднкулярно Е и что Е=с — верны вообще для любой электромагнитной волны. Наш частный случай — хороппш пример, он показывает все основные свойства электромагнитных волн. ф 6.
Реисение у1тавнений .вх ансвелла; нопзенг1иальг и волновое уравнение Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их болыпую простоту. Хотя. вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино, Вот как раз этим мы и займемся. Начнем с т В=Π— простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что  — есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали (18.16) В=ухА, то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла.
(Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора А', если А'=А+уф, где ф — любое скалярное поле, потому что ротор ~уф — нуль и  — по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.) Теперь разберем закон Фарадея ЧхЕ= — дВ)дг, потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы запишем В как г ~ А и продифференцируем по ~, то сможем переписать закон Фарадея в форме 7хЕ= — — ЧхА. д д~ Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде (18.17) 90 дА Е+ — = — у~у. дс (18.18) Мы используем то же обозначение ~р, так что в электростатиче- ском случае, когда ничто не меняется со временем и дА/дг исчезает, Е будет нашим старым — р~р.
Итак, закон Фарадея можно представить в форме дА Е = — 7~р —— дз (18 19) Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей Е и В нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал ~р и векторный потенциал А, который, разумеется, представляет три функции. Итак, А определяет часть Е, так же как и В, Что же произойдет, когда мы заменим А на А'=А+7фг В общем, Е должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что А изменяется так, чтобы не влиять на поля Е и В (т. е.
не меняя физики), если будем всегда изменять А и ~р емеете по правилам А'=А+уф, ~р'=(р — ф. (18.20) Тогда ни В, ни Е, полученные из уравнения (18.19), не меняются. Раньше мы выбирали 7 А=О, чтобы как-то упростить уравнения статики.
Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прея<де чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор. Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники р и ).
Раз мы можем определить А и ~р из токов и зарядов, то можно всегда получить Е и В из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла. Начнем с подстановки уравнения (18.19) в 7 Е= р/ез; получаем 91 Мы видим, что Е+дА/дд — это вектор, ротор которого ракен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было 7 х Е=О, и мы тогда решили, что Š— само градиент чего-то. Пусть это градиент от — ~р (мннус для технических удобств).
То же самое сделаем и для Е+дА/дВ мы полагаем зто ион«но записать еще в виде — Ч'ср — — Ч А= Р . е« (18.21) Таково первое уравнение, связывающее ср и А с источниками. Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепив«ем четвертое уравнение Максвелла: сЧх — — -'= —, дВ дС е,' Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще: Ч'А — —— с«ды е„с» (18.24) И наше уравнение (18.21) для ср принимает такую же форму: Ч'ср — — — - = — —.
С д«р р с«дс«з (18.25) Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились — с плотностью заряда стоит ср, а с током стоит А. Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо — лапласиан вместе с (дсдС)», когда мы раскроем ее, то обнарунсим д»о д»е д»«р 1 д»ср р — + — + — — — — = — —. (18.26) дт' др» д«" с' дн е« " Выбор значения Ч .А нааывается «выбором калибровки». Изменение А за счет добавления Ч«р называется «калибровочным преобразованием». Выбор (18.23) называют «калибровкой Лоренца».
а затем выразим В и Е через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19)с д~ дМ »Чх(Ч хА) — — ( — Чр — — 1 = —. дс (, дс,~ е« Первый член можно переписать, использун алгебраическое тождество Чх(ЧхА) = Ч~(Ч А) — Ч'А; мы получаем — с»Ч»А+с«Ч(Ч А)+ — %р+ —,= —. (18.22) д д'А дс дс' е« ' Не очень-то оно простое! К счастью, теперь мы мок«ем использовать нашу свободу в произвольном выборе днвергенции А. Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравпения для А и для ср разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая * Ч.А — Р.
(18.23) Зто уравнение имеет приятную симметрию по х, у, з, 1; здесь ( — 1/с') нужно, конечно, потому, что время и координаты раз' личаются; у них разные единицы. Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов ~р и А, но с одной и той же математической формой для всех четырех функций ф, А„, А» и Л,. Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить В и Е из Ч ХЕ и — ЧЧ вЂ” дА/дг. Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще. Фактически мы уже решали уравнение, весьма похожее на (18.26).
Когда мы изучали звук в гл. 47 (вып. 4), мы имели уравнение в форме д~~р 1 д~<р де' ав дР и вццели, что оно описывает распространение волн в л-направлении со скоростью с. Уравнение (18.26) это соответствующее волновое уравнение для трех измерений. Поэтому в области, где больше нет зарядов и токов, решение этих уравнений не означает, что ~у и А — нули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
