Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 13
Текст из файла (страница 13)
При конструировании механических систем часто бывает удобно располагать тормозящими силами, пропорциональными скорости. Вихревые токи дают один из наиболее удобных способов получения таких зависящих от скорости сил. Пример применения подобных сил можно найти в обычном домашнем счетчике — ваттметре. Там имеется тонкий алюминиевый диск, вращающийся между полюсами постоянного магнита. Этот диск приводится в движение маленьким электромотором, вращающий момент которого пропорционален мощности, потребляемой в электросети квартиры.
Вихревые токи в диске вызывают силу сопротивления, пропорциональную скорости. Следовательно, скорость диска устанавливается пропорциональной скорости потребления электроэнергии. С помощью счетчика, присоединенного к вращающемуся диску, подсчитывается число оборотов диска. Так определяется полная потребленная энергия, т. е.
число использованных ватт-часов. Согласно формуле (17.22), сила от индуцированных токов, т. е. всякая сила от вихревых токов, обратно пропорциональна сопротивлению. Сила тем больше, чем лучше электропроводность материала. Причина, разумеется„заключается в том, что при малом сопротивлении э. д. с. создает ббльший ток, а ббльшие токи дают бблыпие механические силы. Из наших формул мы можем увидеть, как механическая энергия превращается в электрическую энергию. Как и раньше, электрическая энергия, выделяемая в сопротивлении цепи, есть произведение 8Х. Работа в единицу времени, совершаемая при движении перекладины, есть произведение силы, действующей на перекладину, на ее скорость.
Используя для силы выражение (17.21), получаем работу в единицу времени: з1у „яви л Ж= л Мы видим, что она действительно равна произьедснию 4Ч, которое мы получаем .из (17.19) и (17.20). Снова механическая работа появляется в виде электрической энергии. ф 6. Вааимная тзндуит1ия Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда проволочные катушки неподвижны, а меняются магнитные поля. Описывая образование магнитного поля токами, мы рассматривали только случай постоянных токов.
Но если токи меняются медленно, магнитное поле в каждый момент будет примерно такое же, как магнитное поле постоянного тока. Мы будем считать в этом параграфе, что токи всегда меняются достаточно медленно, и можно сказать, что это утверждение справедливо. На фиг. 17.8 показано устройство из двух катушек, с помощью которого можно продемонстрировать основные эффекты, ответственные за работу трансформатора. Катушка 1 состоит из проводящей проволоки, свитой в виде длинного соленоида. Вокруг этой катушки и изолированно от нее навита катушка 2, состоящая из нескольких витков проволоки.
Если теперь по катушке 1 пропустить ток, то, как мы знаем, внутри нее появится магнитное поле. Это магнитное поле проходит также сквозь катушку 2. Когда ток в катушке 1 меняется, магнитный поток тоже будет. меняться, и в катушке 2 появится индуцированная э.д.с. Эту индуцированную э.д.с. мы сейчас и вычислим. В гл.
13, з 5 (вып. 5) мы видели, что магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно в = —,Л вЂ” 'У', (17.23) где Л7, — число витков в катушке 1, 1, — ток в яей, а ( — ее длина. Пусть поперечное сечение катушки 1 равно Я, тогда поток поля В равен его величине, умнояеенной на 8. Если в катушке 2 имеется Л', витков, то поток проходит по катушке Л', раз. Поэтому з. д. с. в катушке 2 дается выражением ф".г = — Л' Я вЂ”.. (17. 24) Единственная меняющаяся со временем величина в (17.23) есть 1,.
Поэтому э. д. с. дается выражением ЛТ~Л'гл И1~ ген дг ' (17.25) 81г го г )" г1 дг (17,26) Предпологким теперь, что нам нугкно было бы пропустить ток через катушку 2 и нас интересует, чему равна з. д. с. з катушке 1. Мы вычислили бы магнитное поле, которое повсюду пропорционально току 1,. Поток сквозь катушку 1 зависел бы от геометрии, но был бы пропорционален току 1,. Поэтому Ф и г. 17.8. Ток е катушке 1 еое- дает магнитное лоле, лрокодяигее нерее катушку 2.
3 зз зги Мы видим, что з. д. с. в катушке 2 пропорциональна скорости изменения тока в катушке 1. Константа пропорциональности— по существу геометрический фактор двух катушек, называется козффициентом взаимной индукции и обозначается обычно Игп Тогда (17.25) записывается уже в виде Ф и в. 1е .9, Любие две катутки обладают взаимной индукцией л)(, пропорциональной интеералу от дзд Нзе ((/еде).
э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна ЫаЯ). Мы можем записать юд=Ȅ—,'. (17. 27) Вычисление Ид, было бы труднее, чем те вычисления, которые мы проделали для И.„. Мы не будем сейчас им заниматься, потому что дальше в зтой главе мы покажем, что И„обязательно равно Иад. Поскольку поле любой катушки пропорционально текущему в ней тод(у, такой же результат получился бы и для любых двух катупдек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) приобрели бы одинаковую форму, и только постоянные И„и Иа, были бы другие.
Их значения будут зависеть от формы катушек н их относительного положения. Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной индукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9. Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке 1 можно записать так; 8(= — — д( В и(1а Г д(,) (д) где  — магнитное ноле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром Х. В гл. 14, 3 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от В можно свести к контурному интегралу от векторного потенциала. В нашем случае ) В ив(а=7 А ()з„ (д) (д) где А — векторный потенциал, а азд — элемент цепи 1.
Контурный интеграл берется вдоль контура 1, поэтому э. д. с. в этой катупдке может быть записана в виде (17.28) (д) Теперь предположим, что векторный потенциал цепи 1 возникает за счет токов в цепи л'. Тогда его можно записать как контурный интеграл по контуру цепи Й (17.29) )2) где 1, — ток в цепи 2, а г„— расстояние от элемента цепи двл к точке на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см.
фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи 1 как двойной контурный интеграл: Р / 12авл 4яв,с'ал Я У 2 2 В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным контурам. Единственной перел)енноа величиной является ток 12, который не зависит от переменных интегрирования. Поэтому его можно вынести эа знак интеграла. Тогда э. д. с.
можно записать как Н1, ~1 9)")2 где коэффициент %)2 равен Щл = 4 2 фф (17.30) Н) (2) Из этого интеграла очевидно, что %)2 зависит только от геометрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстоянии между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух картушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффициента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы.
Крол)е того, она показывает, что интеграл для )вг)2 тождествен с интегралом для %2). Таким образом, мы показали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты )9222 и еЯ2) часто обозначают символом 3М без значков и называют просто коэффициентом взаимной индукции: И)2 = й)12) = Ы. У т'. Самотлтлдун242вн При обсуждении индуцированных э. д. с. в двух катушках на фиг. 17.8 и 17.9 мы рассмотрели тишь случай, когда ток проходит либо в одной катушке, либо в другой. Если токи имеются одновременно в обеих катушках, то магнитный поток, пронизывающий каждую катушку, будет представлять сумму двух потоков, существующих и по отдельности, поскольку к магнитным полям применим принцип суяерпозиции. Поэтому йг и е. 17.10.
Цепь с источникам нас ряясения и ипдуктиеностью (а) и аналогичная ей меяаническая система (6). э. д. с. в каждой катушке будет пропорциональна не только изменению тока в другой катушке, но и изменению тока в ней самой. Таким образом, полную э. д. с. в катушке 2 следует за- писать в виде е (17. 31) Аналогично, э. д. с.
в катушке 1 будет зависеть но только от изменяющегося тока в катушке 2, но и от изменяющегося тока в ней самон: й)е Иг б.г =%ге — „'+3)1 — „ Коэффициенты 9(аа и Ыгг всегда отрицательны. Обычно пишут М11 = †.й'„3)(ее = — '7'„(17. 33) где .К, и .Уе называют коэффициентами самоиндукиии двух катушек (или индуктивностями). Кокечно, э. д. с. самоиндукции будет существовать даже для одной катушки. Любая катушка сама по себе обладает коэффициентом самоиндукции,У, и ее э. д. с. будет пропорциональна скорости изменения тока в катушке. Обычно считают, что э.
д. с. и ток одной катушки положительны, если они направлены одинаково. При атом условии для о~дельной катушки можно написать с = — -У— й) йс (17.34) * Знак Щен Жаг в(17.31) н(17.32) завнснтотнронзволаввыборе положительного ваправлення токов в обеих катушках. 68 Знак минус указывает на то, что э. д, с. противодействует изменению тока, ее часто называгот «обратной э. д.
с.». Поскольку любая катушка обладает самояндукцией,противодействующей изменению тока, ток в катушке обладает своего рода инерцией. Действительно, если мы хотим изменить ток в катушке, мы должны преодолеть эту инерцию, присоединяя катушку к какому-то внешнему источнику, например батарее кли генератору (фиг. 17.10, а).
В такой цепи ток Х связан с напряжением 7э соотношением 7.» ог д1 (17. 35) дг ' Это соотношение имеет форму уравнения движения Ньютона для частицы в одном измерении. Поэтому мы можем исследовать его по принципу «одинаковые уравнения имеют одинаковые решения». Таким образом, если поставить в соответствие напряжение угэ от внешнего источника приложенной внешней силе г', а ток Х в катушке скорости и частицы, то коэффициент индукции катушки .У будет соответствовать массе и частицы х (фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
