Фейнман - 06. Электродинамика (1055669), страница 14
Текст из файла (страница 14)
17.10, 6). Табаыча 17.1 ° сопоставлявмьгк внличины Частааа ггатгмка тэ (рааность вотенцналов) 1 (ток) «(заряд] г(1 гу'э = .2'— дг Х1 1 †.2'1» (магнитная энсргня) 2 г" (снла) э (снорость) х (смещенне) д» ге =вгв дг ти (нмнульс) — вг» (кянетяческая энергия) .2 2 ф 8.
Индунтптгвиостг»ь и шагнингная эие1»гтггг Продолжая аналогиго предыдущего параграфа, мы отметили в таблице, что в соответствии с механическим импульсом р=-тгг (скорость изменения которого равна приложенной силе) должна существовать аналогичная величина, разная ЯХ, скорость изменения которой тэ. Разумеется, мы не имеем права говорить, что.х"Х вЂ” это настоящий импульс цепи; на самом деле это вовсе не так. Вся цепь может быть неподвшкна и вообще не иметь импульса.
Просто.РХ аналогично импульсу тв * Кстати, это яе единственный скособ установления соответствия между механическими н электрическими величинами. Подставляя вместо ю ее выражение через токи из (17.34), имеем гр УХЛ' (17.36) Интегрируя это уравнение, находим, что энергия, которая требуется от внешнего источника, чтобы преодолеть э. д. с. самоипдукции н создать ток * (что должно равняться накопленной энергии г/), равна — И' = ХХ = †.У1'.
2 (17.37) Поэтому энергия, накопленная в индуктивности, равна ~/э.УХе. Применяя те же рассуждения к паре катушек, изображенных на фиг. 17.8 или 17.9, мы можем показать, что полная электрическая энергия системы дается выражением (17.38) В самом деле, начиная с тока 1=0 в обеих катушках, можно вначале включить ток Х, в катушке 1, оставляя Хе=О. Совервтенная работа как раз равна г/,.У,1',.
По теперь, включая Х,, мы совершаем не только работу г/,.У,Х,' против э. д. с. в цепи 3, но еще и добавочное количество работы — 6ЫгХ„которая есть интеграл от э. д. с. И(г/Хэ/Иг) в цепи 1, умноженный на теперь уже постоянный ток 1а в этой цепи. е Мы преиебрегаеи всеми тепловыми потерями энергии в сопрот~влеиии катушки. Эти потери требуют дополиигельяых затрат эиергип исгочяпка, ио яе меняют аиергии, которая тратится яа индуктивность. 70 в смысле удовлетворения аналогичным уравнениям. Точно так же кинетической энергии /етиэ здесь соответствует аналогичная величина г/а У1'.
Но здесь нас ждет сюрприз. Величина г/ .УР— действительно есть энергия и в электрическом случае. Так получается потому, что работа, соверптаемая в едингщу времени над индуктивностью, равна 7"1, а в механической системе она равна Рп — соответствующей величине. Поэтому в случае энергии величины не только соответствуют друг другу в математическом смысле, но имеют еще и одинаковое физическое значение. Мы можем проследить это более подробно. В (17.16) мы нашли, что электрическая работа в единицу времени за счет сил ндукцпи есть произведение э. д.
с. и тока: Пусть теперь нам куя<но найти силу между любыми двумя катушками, по которым идут токи Х, и Х,. Прежде всего мы могли бы использовать принцип виртуальной работы, взяв вариацию от энергии (17.38). Мы должны помнить, конечно, что при изменении относительного поло>кения катушек единственной меняющейся величиной является тсоэффициент взаимной индукции Ы. Тогда мы могли бы записать уравнение виртуальной работы в виде — РЛх = ЛХУ = — Х>Х»ЛЫ (неправильно). Это уравнение ошибочно, потому что, как мы видели раншпе, в него вкл>очено только изменение энергии двух катуп>ек и не включена энергия источников, которые поддерживают постоянными значения токов Хт и Х . Мы понимаем теперь, что зти источники должны поставлять экергию для компенсации индуцированных э.
д. с. в катушках во время их двюкения. Если мы хотим правильно применить принцип виртуальной работы, то должны включить и эти энергии. Но мы видели, что можно сделать и короче — использовать принцип виртуальной работы, помня, что полная энергия — это взятая с обратным знаком энергия ХХ„„„ (то что мы называем «механической энергией»). Поэтому силу можно записать в виде — Х>Х>х = Хт(Х„,„= — Х>ХХ, (17.39) Тогда сила между катушками дается выражением Глх Х>Х»лй! Воспользуемся выражением (17.38) для энергии системы из двух катушек, чтобы показать, какое интересное неравенство существует между взаимнон индукцией»)Г и коэффициентами самоиндукции .У, и .У» двух катуспек.
Ясно, что энергия двух катушек должна быть положительной. Коли мы начинаем с нулевых токов в обеих кату>пках и увеличиваем эти токи до некоторых значений, то тем самым мы увеличиваем энергию всей системы. В противном случае токи самопроизвольно возрастут и будут отдавать энергию остальному миру — вещь невероятная! Далее, наше выражение для энергии (17.38) можно с таким же успехом записать в следующей форме; ХУ = 2 5', (Х> — — Х«) +» (Л'» — ~ ) Х».
(17.40) 1 Это просто алгебраическое преобразование. Эта величина должна быть всегда положительна при любых значениях Х, и Х,. В частности, она доли<на быть положительна, когда Х» вдруг примет особое значение: »=у~ (17.41) Но при таком значении У«первое слагаемое в (17.40) равно нулю.
Если энергия полол«ительна, то последнее слагаемое в (17.40) должно быть больше нуля, Мы получаем требование, что У Уз)%« Таким образом, мы доказали общее соотношение, что величина взаимной индукции И любых двух катушек обязателько меньше или равка геометрическому среднему двух коэффициентов самоиндукции (сам Й( может быть положителен или отрицателен в зависимости от выбора знаков для токов 1, и 7,): !% ~ ('г'.У, У,. (17.42) Соотношение между 9)1 и коэффициептами самоикдукции обычно записывают в виде ап=й~З:,2,. (17.43) Постоянную й называют коэффициентом связи. Если большая часть потока от одной катушки проходит через другую катушку, то коэффициент связи близок к единице; мы говорим, что катушки «сильно связаныэ. Если катушки значительно удалены друг от друга или же все устроено так, что взаимное проникновение их потоков очень мало, коэффициент связи становится близок к нулго, а коэффициент взаимпой индукции очень мал.
Для вычисления взаимной индукции двух катушек мы дали формулу (17.30), которая представляет собой двойной контурный интеграл по обеим цепям. Мы могли бы подумать, что та же формула применима и для вывода коэффициента самоиндукции одной катушки, если оба контурных интегрирования проводить по одной и той же катушке. Однако это не так, потому что при интегрировании по двум катушкам знаменатель г„ под знаком интеграла стремится к нулю, когда два элемекта длины находятся в одной точке.
Коэффициент самоикдукции, получаемый из этой формулы, оказывается бесконечным. Происходит это потому, что формула наша — приближенная, и справедлива опа только для поперечных сечений проводов в обеих цепях, малых по сравнению с расстоянием от одной цепи до другой. Ясно, что это приближение для отдельной пату«вки пе годится. На самом деле оказывается, что индуктивность отдельной катушки стремится логарифмически к бесконечности, когда диаметр ее проволоки становится все меньше и меньше. Значит, мы должны поискать другой способ вычисления коэффициента самоипдукции одной катушки. При этом надо учесть распределение токов внутри проводника, потому что его размеры — важный параметр. Но мы не будем считать полную индуктивность, а сосчитаем лишь ту ее часть, которая связана с расиололгениеэ«проводников, и не будем учитывать часть, связанную с распределением токов.
Пожалуй, самый простой способ найти такую индуктивность — это использовать магнит- ную энергию. Ранее, в гл. 15, з 3, мы нашли выражение для магнитной энергии распределения стационарных токов: (17.44) Я = —, ~ 7' А дУ. (17.45) Мы, конечно, ожидаем, что индуктивность есть число, зависящее только от геометрии цепи, а не от тока У в цепи. Формула (17.45) действительно приводит к такому результату, потому что интеграл в ней пропорционален квадрату тока — ток входит один раз от ) и еще раз от векторного потенциала А. Интеграл, деленный на Х', зависит от геометрии цепи, но не от тока 1.
Выражению (17.44) для энергии распределения токов моя~но придать совсем другую форму, иногда более удобную для вычислений. Кроме того, как мы увидим позже, имеппо эта форма важна, потому что она справедлива в более общем случае. В формуле (17.44) и А и 7 можно связать с В, поэтому можно надеяться, что энергия выразится через магнитное поле— точно так же, как нам удалось связать электростатическую энергию с электрическим полем. Начнем с подстановки е,с% х В вместо ~. Заменить А мы не можем с той же легкостью, потому что нельзя обратить В= т хА, чтобы выразить А через В. Можно только записать П = — ' — ~ (Р х В).А ИУ.
(17.46) Любопытно, что при некоторых ограничениях этот интеграл можно превратить в У=+~В ° (У хА) Л1. (1747) Чтобы увидеть это, вышппем подробно типичный множитель. Предположим, что мы взяли мнохгитель (т ХВ),А„входящий в интеграл (17.46). Выписывая полностью компоненты, получаем ~~ — ' —,)Л,а 1уб. (имеются, конечно, еще два интеграла того же сорта). Проинтегрируем теперь первый множитель по л, интегрируя по частям, 7З Если известно распределение плотности тока ), то моязно вычислить векторный потенциал А, а затем, оценив интеграл (17.44), получить энергию. Эта энергия равна магнитной энергии самоиндукции,'/,.х'1~. Приравнивая их,получаем формулу для ипдуктивности: т. е.
(17.48) Мы вырааили энергию в магнитостатическом случае только через магнитное поле. Выражение тесно связано с формулой, которую мы нашли для электростатической энергии< У='— ,' ') Е Е<1)». (17.49) Эти две энергетические формулы выделены потому, что иногда ими удобнее пользоваться. Обычно есть и более важная причина: оказывается, что для динамических полей (когда Е и В меняются со временем) оба выражения (17.48) и (17.49) остаются справедливыми, тогда как другие данные нами формулы для электрической и магнитной энергий перестают быть верными — они годятся лишь для статических полей.
Если нам известно магнитное поле В одной катушки, мы можем найти коэффициент самоиндукцин, приравнивая выражение для энергии (17.48) и г/<.Р1». Посмотрим, что получится в результате для индуктивности длинного соленоида. Раньше мы видели, что магнитное поле в соленоиде однородно и В снаРУжи Равно нУлю. Величина полЯ внУтРи Равна В =п1(васе, где п — число витков на единицу длины намотки, а 1 — ток. Если радиус катушки г, а длина ее Ь (мы считаем, что Ь очень велика, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
