Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 18
Текст из файла (страница 18)
5.2). Теперь точка равновесия существует даже в том случае, когда дивергенция К равна нулю. Конечно, заряд не оказался бы в устойчивом равновесии, если бы не «неэлектрические» силы от стенок трубки. ф 3. лзавтзевееие е тэроведнтзмамтз В системе закрепленных зарядов устойчивого места для пробного заряда нет. А как обстоит дело с системой заряженных проводников? Может ли система заряженных проводников создать поле, в котором для точечного заряда хоть где-нибудь найдется устойчивое местечко? (Конечно, имеется в виду не место на поверхности проводника.) Вы знаете, что проводники характерны тем, что заряды по ним могут двигаться свободно.
Может быть, если чуть сдвинуть точечный заряд, то прочие заряды на проводниках так сместятся, что на точечный заряд начнет действовать восстанавливающая сила? Ответ по-прежнему отрицательный, хотя из приведенного нами доказательства этого вовсе не следует. В этом случае доказательство сложнее, и мы только наметим его ход. Во-первых, мы замечаем, что когда заряды перераспределяются по проводникам, то это возможно только тогда, когда от их движения их суммарная потенциальная энергия сокращается. (Часть их энергии, когда они движутся по проводнику, переходит в тепло.) А мы уже показали, что когда заряды, создающие поле, стационарны, то вблизи любой точки Р„в которой поле равно нулю, существует направление, в котором смещение точечного заряда из Р, уменьшит энергию системы (так как сила направлена от Р,). Любое перемещение зарядов по проводникам может только еще больше снизить их потенциальную энергию, так что (по принципу виртуальной работы) их двиякевие только увеличит силу в этом указанном направлении, но никак не обратит ее знак.
Наши слова не означают, что заряд невозможно уравновесить электрическими силами. Это можно сделать, если специальными устройствами контролировать расположение или размер поддерживаемых зарядов. Вы же знаете, что стержень, стоящий в гравитационном поле на своем нижнем конце, неустойчив, но отсюда не следует, что его нельзя уравновесить на кончике пальца. Точно так же и заряд мокгно удержать на одном месте с помощью одних только электрических сил, если вовремя изменять эти силы. Но этого нельзя сделать с помощью пассивной, т. е. статической, системы сил. ф А Успзойиывоеть атмомов Раз заряды не могут иметь устойчивого положения, то, разумеется, неправильно представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов), управляемых только законами электростатики. Такая статическая конфигурация немыслима, она обвалится! Ф и е.
д.д. Томсоноесная модель атома. 1 — однпрод»о рпспреееленнна полотительмиа поряд; 1 — отрицп пельннй заряд, спонцецтрироеамннй е центре. В свое время предлагалось считать положительный заряд атома распределенным однородно по шару, а отрицательные заряды (электроны) покоящимися внутри полох<ительного заряда (фиг. 5.3). Это была первая атомная модель, предложенная Томсоном. Но Резерфорд из опыта, проделанного Гейгером и Марсденом, сделал вывод, что положительные заряды очень сильно сконцентрированы и образуют то, что мы называем ядром.
И статическую модель Томсона пришлось отставить. Затем Резерфорд и Бор предположили, что равновесие может быть динамическим — электроны обращаются по орбитам (фиг. 5.4). Орбитальное движение в этом случае удерживало бы электроны от падения на ядро. Но мы с вами знакомы по крайней мере с одной трудностью, возникающей и при таком представлении об атоме. При движении по орбитам электроны ускоряются (из-за вращательного движения), и поэтому они излучали бы энергию. Прн атом они потеряют кинетическую энергию, необходимую для того, чтобы остаться на орбитах, и опи должны будут падать, двигаясь по спирали, на ядро.
Опять неустойчивость! Сейчас стабильность атома объясняется с помощью квантовой механики. Электростатические силы притягивают электрон к ядру насколько это возмоясно, но электрон вынужден оставаться размазанным в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом неопределенности. Если бы он держался в очень узком пространстве близ ядра, у него была бы большая неопределенность в импульсе. Но это означало бы, что его ожидаемая Ф и г. д.д.
Модель аепома Рееерфорда — Бора. 1 — ноломсиепельние ядра е цннтрес Š— отрицательнне еленпцюмм ма м.еанеепнмя орбинтн. энергия высока и может быть использована для того, чтобы разорвать электрическое притяжение ядра. Выходит, что в итоге электрическое равновесие не слишком отличается от идеи Томсона, но только па этот раз размазан олгрицательнмй заряд (потому что масса электрона несравненно меньше массы протона). ф б. Ыоле варяженной н1оямой линии Закон Гаусса может быть применен для решения множества задач, связанных с электрическим полем, обладающим специальной симметрией (чаще всего сферической, цилиндрической или плоской).
В оставшейся части этой главы мы займемся применением закона Гаусса к некоторым задачам подобного рода. Легкость, с которой будут решаться зги задачи, может создать ошибочное впечатление о мощи метода и о возможности с его помощью перейти к решению многих других задач. К сожалению, зто пе так. Список задач, легко решаемых по закону Гаусса, быстро исчерпывается. В дальнейших главах мы разовьем куда более мощные методы исследования электростатических полей. В качестве первого примера рассмотрим систему с цилиндрической симметрией.
Пусть у нас имеется длинная-длинная равномерно заряженная спица. Под этим мы понимаем электрические заряды, равномерно распределенные по длине бесконечно длинной прямой, так что на единицу длины приходится заряд Л. Мы хотим определить электрическое поле. Конечно, задачу можно решить интегрированием вкладов в поле от всех частей прямой. Но мы собираемся решить ее без интегрирования, только с помощью закона Гаусса и некоторых догадок.
Во-первых, легко догадаться, что электрическое поле будет направлено по радиусу. Любой осевой составляющей от зарядов, лежащих с одной стороны от некоторой плоскости, должна отвечать такая же осевая составляющая от зарядов, лежащих с другой стороны. В итоге должно остаться только радиальное поле. Кроме того, резонно полагать, что во всех точках, равноотстоящих от прямой, иоле имеет одинаковую величину. Это ср и г.
б.б. Цилиндрическая гауссова поверлностьь коаксиальная варянсенной прямой, 1 — еауссова иове ркноиньг г — еарягкенная прямая. очевидно. (Может быть, зто нелегко докааать, но зто верно, если пространство симметрично, а мы считаем, что зто так.) Применить закон Гаусса можно следующим обрааом. Вообразим себе поверхность, имеющую форму цилиндра, ось которого совпадает с нашей прямой (фиг.
5.5). Согласно закону Гаусса, весь поток Е из атой поверхности равен заряду внутри нее, деленному на ею Раз поле считается нормальным к поверх. ности, то его нормальная составляющая — зто величина вектора поля. Обозначим ее Е. Пусть радиус цилиндра будет г, а длина его для удобства выбрана равной единице. Поток сквозь цилиндрическую поверхность равен произведению Е на площадь поверхности, т. е. на 2яг.
Поток через торцы равен нулю, потому что поле касательно к ним. Весь заряд внутри нашей поверхности равен как раз Х, потому что длина оси цилиндра равна единице. Тогда закон Гаусса дает Е.2яг = —, Л ед Е— Х (5.2) 2вем ' Злектрическое поле ааряженной прямой обратно пропорцио- нально первой степени расстояния от прямой. ЕА+ЕА = —, откуда в Е =-— 2ее (5.3) Простой, но важный результат. 96 й 6. Заряженная тьлоскостнь( пара плоскостной В качестве другого примера рассчитаем поле однородно заряженного плоского листа. Предположим, что лист имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен о.
Сразу приходит в голову следующее соображение:из симметрии следует, что поле навравлено всюду поперек плоскости, и если не существует поля от всех прочих зарядов в мире, то поля по обе стороны плоскости должны совпадать (по величине). На этот раз за гауссову поверхность мы Вримем прямоугольный ящик, пересекающий нашу плоскость (фиг. 5.6). Каждая из' граней, параллельных плоскости, имеет площадь А.
Поле нормально к зтвм двум граням и параллельно остальным четырем. Суммарный поток равен Е, умноженному на площадь первой грани, плюс Е, умноженному на площадь противоположной грани; от остальных граней никаких слагаемых не войдет. Заряд внутри ящика равен оА. Уравнивая поток с зарядом, на- пишем чд и е. д.д.
Электрическое коле еоеле однородно еаряженной плоско. сти, найденное с помощью теоремы Гаусса, криммсяемой к еоодражаемому ящику, Š— однородно еоряясснноя плосяостс; Š— гаисссса поееряпсстс. Вы помните, может быть, что тот же результат был получен в первых главах интегрированием по всей плоскости. Закон Гаусса дает ответ намного быстрее (хотя он не так широко Подчеркнем, что этот результат относится только к полю, созданному зарядами, размещенными на плоскости. Если по соседству есть другие заряды,' общее поле близ плоскости было бы суммой (5.3) н поля прочих зарядов. Закон Гаусса тогда только гарантировал бы, что о Е, +Ее=--, ее (5.4) 4 рб бебб где Е, и Е, — полн, направленные на наледей стороне плоскости наружу от нее. Задача о двух параллельных плоскостях с равными и противоположными плотностями зарядов +о и — о решается тоже просто, если только снова предположить, что внешний мир абсолютно симметричен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
