Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Электрическое поле Š— это вектор, так что в (4.11) на самом деле написаны три уравнения, по одному для каждой компоненты. расписывая х-компоненту в явном виде, получаем 4иее Кз,— з )л+(р,— рер -';-(л, — лл)') Ч* ' и точно так же для остальных компонент. Если зарядов много, то поле Е в любой точке (1) равно сумме вкладов от всех зарядов, Каждый член в сумме будет выглядеть как (4.11) или (4.12).
Пусть д/ — величина /-го ааряда, а г, — смещение д от точки (1); тогда мы напишем Е(1) ии г — — ~ ег/, ч~ 1 р л2 Х в' р д/ г.л 1/з -гХл/Дл я р/(л (р — и72 лл — ~р/.7 4/е, — ГГ. /д ньюплолл кулон менар (м) джоуль кулон/зла ньюплон мл/ну.лоне ньюлпоп,/кулон джоуль/леулон ао,льпл ао.лъпл/м аолюп.м/кулон П) (1 ух> д> и е. 4.1. В точке 41) влектричеекое поле Е оьп некоторого раепределпьия зарядов получаетея ив юнпегреяа по распределению.
Ттка (1> копет находиття кьактв ьнонри рвенреде гнив, что означает, конечно, ,"4пе„(( . Р > („, ут)В ) (В )В)*1. к т. д. Часто бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды всегда существуют в виде отдельных кусочков, таких, как злектроны нли протоны, а считать, что они раамазаны сплошным пятном, или, как говорят, описываются «распределеннем». До тех пор пока нам все равно, чтб происходит в малых масштабах, такое описание вполне законно. Распределение заряда описывается «плотностью заряда» р (х, у, з). Исли количество заряда в небольшом объеме Л$'В близ точки (2) есть Аде, то р определяется равенством Аде= р (2) М'В. (4.15) Пользуясь теперь законом Кулона при непрерывном распределении ааряда,мы заменяем в уравнениях (4 13)или (4.14) суммы интегралами по всему объему, содержащему заряды.
Получается Е(1) = — ' Век проет- р(2) еье4'т'В (4.16) тт 1В ренство Некоторые предпочитают писать Гьт Е В==-— 18 ==- В е1В где гь,— вектор смещения от (2) и (1) (фиг. 4.1). Интеграл для Е тогда запишется в виде > (2) ьт 4»В Е (1).=— (4.17) вее проетрвпетво Если мы хотим действительно провести интегрирование до конца, то обычно приходится интегралы расписывать подроб- нее.
Для х-компоненты уравнений (йа.16) или (4.17) получается (ыа ыа) Р (ыа уа "а) Лыаауаоаа „(х„у„г,) 4пес((еа — ыа)а+(уа — уа)'+(а,— аа)а)иа Всс прост- рапстыо Мы не собираемся вычислять что-либо по этой формуле. Написали мы ее здесь только для того, чтобы подчеркнуть, что' мы полностью решили те элентростатнческие задачи, в которых известно расположение всех зарядов. Дано: Заряды.
Определить: Поля. Решение: Возьми этот интеграл. 'аак что по существу все сделано; остается только проделать сложные интегрирования по трем переменным. Зта работа в самый раз для счетной машины! Пользуясь этими интегралами, мы можем найти поле заряженной плоскости, заряженной линии, заряясенпой сферы и любого выбранного распределения. Хотя мы сейчас начнем чертить силовые линии, говорить о потенциалах и вычислять дивергенции, важно понимать, что ответ на все решаемые задачи в принципе уже готов. Просто порой бывает легче взять интеграл, придумав фокус, чем проделывать все выкладки честно.
Но чтобы догадываться, нужно научиться разным ухищрениям. Быть может, лучше было бы вычислять интегралы непосредственно, а не тратить силы на остроумные способы решения да демонстрировать свою сообразительность. Но все-таки мы пойдем по пути развития сообразительности. Переходим, таким образом, к обсуждению некоторых других особенностей электрического поля. ф 3. Эсьентпрнчеоннй нотненсумась Для начала усвоим понятие электрического потенциала, связанное с работой переноса заряда из одной точки в другую.
Пусть имеется какое-то распределение зарядов. Оно создает электрическое поле. Спрашивается, какую работу надо затратить, чтобы перенести небольшой заряд из одной точки в другую? Работа, произведенная против действия электрических сил при переносе заряда по некоторому пути, равна заинуе компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрироваяной по этому пути. Коли заряд переносится от точки а к точке (а, то ь Ь Ф и е. б.л.
Работа переноса »арада от а и 6 равна минус инте»расу о>п с д» по выбранному пути. где Š— электрическая сила, действующая на заряд в каждой точке, а Иэ — дифференциал вектора перемещения вдоль траектории (фиг. 4.2). Для наших целей интереснее рассмотреть работу переноса единицы заряда. Тогда сила, действующая иа такой заряд, численно совпадает с электрическим полем. Обозначая в этом случае работу противдействия электрических сил буквой И',ато напишем ь 'в е»иа — ) Е'свэ.
а (4.19) Вообще говоря, то, что получается при интегрированиях такого сорта, зависит от выбранного пути интегрирования. Но если бы интеграл в (4.19) зависел от пути, мы бы могли извлечь из полл работу, поднеся заряд к Ь по одному пути и унеся обратно к а по другому. Можно было бы подойти к Ь по тому пути, где И' меныпе, а удалиться ко тому пути, где оно больше, получив работы больше, чем было вложено, В принципе нет ничего невозможного в том, чтобы получать работу из полн. Мы еще познакомимся с полями, в которых зто возможно. Может оказаться, что, двигая заряды, вы действуете на остальную часть всего «механизма» с какой-то силой.
Если «механизм» сам движется против этой силы, он будет терять энергию, и полная энергия будет тем самым оставаться постоянной. В электростатике, однако, никакого «механизма» нет. Мы знаем, каковы те силы отдачи, которые действуют на источники поля. Это кулоновские силы, действующие на заряды, ответственные за создание поля. Если положения всех прочих зарядов зафиксированы (а это допущение делается в одной только электростатике), то силы отдачи на них не смогут действовать.
И тогда нет способа извлечь из них энергию, разумеется, при условии, что принцип сохранения энергии в электростатике справедлив. Мы, конечно, верим,что зто так, однако попробуем все же показать, как зто следует из закона силы Кулона. Посмотрим сначала, чтб происходит в поле, созданном единичным зарядом д. Пусть точка а удалена от д на расстояние 74 гр и г. 4 д. При переноее пробного эарада от а п 6 по любому пути тратител одна и та эее работа.
г„а точка Ь вЂ” на расстояние гю Перенесем теперь другой заряд, называемый «пробным» н равный единице, от а до Ь. Изберем сперва самый легкий для расчета путь. Перенесем нагл пробный за ряд снач а- а ла по дуге круга, а после— по радиусу (фиг. 4.3, а). Рассчитать работу переноса по такому пути — детская забава (а иначе бы мы его и не выбрали). Во-первых, на участке аа' работа не производится.
Поле по закону Кулона радиально, т. е. направлено поперек направления движения. Во-вторых, на участке а'Ь поле меняется как 11га и направлено по движению. Так что работа переноса пробного заряда от а к Ь равна — ~Е бз= — ч ~~,"= ч Р—.~ ) . (4.20) Выберем теперь другой легкий путь, скажем тот, который изображен на фиг. 4.3, б.
Он идет попеременно то по дуге округкности, то по радиусу. Каждый раз, когда путь пролегает по дуге, никакой работы не затрачивается. Каждый раз, когда путь идет по радиусу, интегрируется 1/га. По первому радиальному участку интеграл берется от г, до г,, по следующему— от ео до кп и т. д. Сумма всех таких интегралов как раз равна одному интегралу, но в пределах от г, до го. В общем получится тот же ответ, что и в первом испробованном нами пути. Ясно, что и для любого пути, составленного из произвольного числа участков такого вида, получится тот же результат. Ну а как насчет плавных траекторий) Получим ли мы тот же ответ) Этот вопрос мы обсудили в вып.
1, гл. 13. Пользуясь теми нге доводами, что и тогда, мы можем заключить, что 75 ит -ь~-тьь)- бб и г. 4.4. Работа, ватраченнал на движение вдоль любого пути опь а до Ь, равна минус работе от некоторой точки Р до а плюс работа от Рв до Ь. м. буь« ре ау-Ч9ц рч ь у«репин (а — «Ь) = — ~ Е с«тз. о Любой путь еь рае выполняемая работа зависит только от концов пути, то она может быть представлена в виде разности двух чисел. В этом можно убедиться следующим образом.
Выберем отправную точку Р, и договоримся оценивать наш интеграл, пользуясь только теми траекториями, которые проходят через точку Р„. Обозначим работу, выполненную при движении против поля от Р, до точки а, через ф (а), а работу на участке от Р, до точки Ь вЂ” через ф(Ь) (фиг. 4.4). Работа перехода от а к Р (по дороге к Ь) равна ф(а) с минусом, так что — ) Е.с(з=ер(Ь) — ф(а). (4.2() Так как повсюду будет встречаться только разность значений функции ф в двух точках, то положение точки Р, в сущности безразлично. Однако как только отправная точка выбрана, число ф тем самым определяется в любой точке пространства; значит, ф является скалярным нолем, функцией от х, у, з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
