Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 11
Текст из файла (страница 11)
дС„ Складывая потоки через грани 1 и 2, получаем дС„ Поток сквозь х и 2 наружу= —" г«хКудез. дх Проиаводную нужно вычислять в центре грани 1, т. е. в точке [х, у+(Лу/2), з+(Ьз/2)). Но если куб очень маленький, мы сделаем пренебрежимую ошибку, если вычислим ее в вершине (х, у, з). Повторяя те же рассуждения с каждой парой граней, мы получаем дС„ Поток скзозь 3 и 4 наружу= —" гххгхудез.
ду дСе Поток скзозь б и 6 карти<у= — е Лхрлубз. 'де А общий поток через все грани равен сумме этих членов. Мы обнаруживаем, что — .) С'пдо ~ «+ «+, ) Лх~1уг1з «дС« дС дС,~ Поверхность к«ое Сумма производных в скобках как раз есть р С, а хлххлуЛг=ллу' (объем куба).
Таким образом, мы мбжем утверждать, что длл бесконечно малого куба С пела = (т7 С) Ь)' . Поеерхаоето (3.17) а(ы показали, что поток наружу с поверхности бесконечно малого куба равен произведению дивергенцни вектора на объем куба. Теперь мы понимаем «смысл» понятия днвергенцни вектора. Дивергенция вектора в точке Р— это поток С («истечение» С наружу) на единицу объеме, взятого в окрестности Р. Мы связали дивергенцию С с потоком С из бесконечно малого объема.
Для любого конечного объема можно теперь использовать факт, доказанный выше, что суммарный поток из объема есть сумма потоков кз отдельных его частей. Иначе говоря, мы можем проинтегрировать дивергенцию по всему объему. Это приводит нас к теореме, согласно которой интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности монсет быть представлен также в виде интеграла от дивергенции вектора по объему, заключенному внутри поверхности.
Теорему эту называют теоремой Гаусса. твоэнмА ГАуссА ~С пе1а=~ р СЛг, (3.18) поверхность, тх — объем где Я вЂ” произвольная замкнутая внутри нее. Но это должно быть равно скорости потери тепла внутренностью куба. Если д — количество тепла в единице объема, то весь ф е«. Тетлопроводноеттль; уравнение ди44уеии Чтобы привыкнуть к теореме, разберем на при»тере, как ее применяют. Обратимся опять к распространению тепла, скаокем в металле.
Рассмотрим совсем простой случай: все тепло было подведено к телу заранее, а теперь тело остывает. Источников тепла нет, так что количество тепла сохраняется. Сколько яее тогда тепла должно оказаться внутри некоего определенного объема в какой-то момент времени? Оно должно уменьшаться как раз на то количество, которое уходит с поверхности объема. Если этот объем — маленький кубик, то, следуя формуле (3.17), можно написать Поток текла наружу= ) Ь пда=р Ьбу.
(3.19) кто запас тепла в кубе уйти, а скорость иотерь равна — — (дп г') = — — ЛУ. лч з'Ю сЫ Сравнивая (ЗЛ9) с (3.20), мы видим, что — — =~ Ь. ~й (3.20) (3.21) Внимательно вглядитесь в форму этого уравнения; эта форма часто встречается в физике. Она выражает закон сохранения, в данном случае закон сохранения тепла. В уравнении (ЗЛЗ) тот же физический факт был выражен иначе.
'Гам была интегральная форма уравнения сохранения, а здесь у наев дифференииалькая форма. Уравнение (3.21) мы получили, применив формулу (3.13) к бесконечно малому кубу. Можно пойти и по другому пути. Для болыпого объема К, ограниченного поверхностью Я, закон Гаусса утверждает, что ~ЗЬ.я~.=~Зч..) )У. (3.22) Интеграл в правой часта мозно, используя (3.21), преобразовать как раз к виду — г) ®г)г, и тогда получится формула (3.13).
Теперь рассмотрим другой случай. Представим, что в блоке вещества имеется маленькая дырочка, а в ней идет химическая реакция, генерирующая тепло. Можно еще представить себе, что к маленькому сопротивлению внутри блока подведены проволочки, нагревающие его электрическим током. Предположим, что тепло создается практически в одной точке, а И" представляет собой энергию, возникающую в этой точке за секунду. В остальной же части объема пусть тепло сохраняется и, кроме того, пусть генерация тепла началась так давно, что сейчас температура уже нигде болыпе не изменяется. Вопрос состоит в следующем: как выглядит вектор потока тепла Ь в разных точках металлами Сколько тепла перетевает через каждую точкуг Мы знаем, что если мы будем интегрировать нормальную составляющую Ь по замкнутой поверхности, окрузкающей исто.- ннк, то всегда получится И'.
Все тепло, которое генерируется в точечном ясточнике, должно протечь через поверхность, ибо предполагается, что поток постоянен. Перед нами трудная задача отыскания такого векторного поля, которое после интегрирования по произвольной поверхности всегда давало бы гг. Но мы сравнительно легко можем наяти это поле, выбрав поверхность специального вида. Возьмем-сферу радиусом г( с центром в источнике и предположим, что поток тепла радиалек (фиг. 3.6).
Интуиция нам подсказывает, что Ь доляген быть направлей по радиусу, если блок вещества велик и мы не при- Ф и е. 8.6. В области блие точеч- ново источника поток тепла на- правлен па радиусу наружу. ближаемся слишком близко к его границам; кроме того, величина Ь во всех точках сферы должна быть одинакова. Вы видите, что для получения ответа к нашим выкладкам мы вынуждены добавить известное количество домыслов (обычно зто именуют «физической интуицией»).
Когда Ь радиально и сферически симметрично, интеграл от нормальной компоненты Ь по площади поверхности вычисляется очень просто, потому что нормальная компонента в точности равна Ь и постоянна. Площадь, по которой интегрируется, равна 4лЛе. Тогда мы получаем Ь пе(а = й4л й в, (3.23) где, как всегда, е, обозначает единичный вектор в радиальном направлении. Этот результат говорит нам, что Ь пропорционален Ие и меняется обратно квадрату расстояния от источника. Только что полученный результат применим к потоку тепла вблизи точечного источника тепла.
Теперь попытаемся найти уравнения, которые справедливы для теплового потока самого общего вида (придерживаясь единственного условия, что количество тепла должно сохраняться). Нас будет интересовать только то, чтб происходит в местах вне каких-либо источников или поглотителей тепла. Дифференциальное уравнение распространения тепла было получено в гл. 2. В соответствии с уравнением (2.44), Ь = — кт)Т. (3.25) 67 где й — абсолютная величина Ь. Этот интеграл должен быть равен Ие — скорости, с которой источник генерирует тепло.
Получается и' 4лйе ' или (3.24) (Помните, что это соотношение приближенное, но для некоторых веществ вроде лееталлов выдерживается неплохо.) Применимо оно, конечно, только в тех частях тела; где нет ни выделения, ни поглощения тепла. Выше мы вывели другое соотношение (3.21), которое выполняется тогда, когда количество тепла сохраняется.
Если леы это уравнение скомбинируем с (3.25), то получим = т')е= 'у'(хтТ) вз ае — =х'у т7Т =хгееТ, дв еп (3.26) если х — величина постоянная. Напоминаю, что д — это количество тепла в единичном объеме, а р у=у' — лапласиан, т. е. оператор де де д' тз =- — + — + —.
дхе дее де' ' Если мы теперь сделаем еще одно допущение, сразу возникнет одно очень интересное уравнение. Допустим, что температура материала пропорциональна содержанию тепла в единице объема, т. е. что у материала есть определенная удельная теплоемкость. Когда это допущение верно (а так бывает часто), мы можем писать 1у=с.б т или Ив вT — =с— ш "ве (3.27) ~~ =ЮЧзт, (3.29) где е) — постоянная. Она равна хес .
вЗ Скорость изменения количества тепла пропорциональна скорости изменения. температуры. Коэффицяент пропорциональности с здесь — удельная теплоемкость на единицу вбьема материала. Подставляя (3.27) в (3.26), получаем — =,— у Т. (3.28) Мы обнаружили, что быстрота изменения св временем температуры Т в каледой точкепропорциональналапласиану от Т, т. е. вторым производным от пространственного распределения температур.
Мы имеем дифференциальное уравнение — в переменных х, у, в и е — для температуры Т. Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнеешем диффузии тепла, или уравнением теплвпроводнвсти. Часто его пишут в виде Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающое диффузию в самом общем виде. Немного позже мы займемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.
1 5. Цнрввуляцтвя вектпорноео ноля ~Свив =-фС йэ. г г ~3.3О> Ф и г. о.т. Хвсиркуллзик вектора С по кривой Г есть криволтеей- Пый интеграл оеп Сс (касатель- ной составлкюогей С). 59 Мы хотим теперь рассмотреть ротор поля примерно так же, как рассматривали дивергенцию. Мы вывели теорему Гаусса, вычисляя интеграл по поверхности, хотя с самого начала отнюдь не было ясно, что мы будем иметь дело с дивергенцией. Откуда же можно было знать, что для ее получения надо интегрировать по поверхностис Зтот результат вовсе не был очевиден, И столь же неоправданно мы сейчас вычислим другую характеристику поля и покажем, что она связана с ротором. На этот раз мы подсчитаем так называемую циркуляцию векторного поля. Если С вЂ” произвольное векторное поле, мы возьмем его составляющую вдоль кривой линии и проинтегрируем эту составляющую по замкнутому контуру.
Интеграл называется циркуляцией векторного поля по контуру. Мы уже раньше в этой главе рассматривали криволинейный интеграл от рф. Сейчас мы то же самое проделываем с произвольным векторным полем С. Пусть à — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7. Криволинейный интеграл от касательной составляющей С по контуру записывается в виде бу Ф и е. З.д. Циркуляция ко веемц конкьуру еееаь еумма циркуляций ко двум контурам: Г»=Го+Го» и Ге = Г»+1 оь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
