Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Мы выберем новую систему координат х', у', г' и в ней вычислим дТ!дх', дТ~ду', дТ~дг'. Для простоты положим г =г', так что о третьей координате мы можем позабыть. (Моясете сами заняться проверкой более общего случая.) Выберем систему х', у', повернутую относительно х, рсистемы на угол О (фиг. 2.6, а). Координаты точки (х, у) в штри- Я В наших обозначениях выражение (а, Ь, е) представляет вектор с иомпонентамн а, Ь, с.
Если вам нравится пользоваться единичными векторами г, 1 и и, то можно написать . дТ . дТ дТ Чт=е — +1 — — + я —. да ду дз Ф и е. 2,6. Переход к коеернвтой еиетеке координат (а) и наетний олунай интервала ЬК, караллель- ного к оеи х (6). (2.20) так как Ау=О. А в штриховакной системе? Там мы бы написали ЬТ= —, Ьх'+ —, Лу'. дТ, дТ дх' ду' (2.21) Глядя на фиг.
2.6, б, мы видим, что Ьх' = Ьх сов О (2.22) и Ьу'= — Лхв(пО, (2.23) так как Лу отрицательно при положительном Лх. Подставляя в (2.21), получаем дТ дТ ЬТ = ~~ Ьх сов 0 — —, Ьх в(п 0 = дх ду х ~ —, сов Π— —, в(п О~ Лх. РдТ дТ ~дх' ду' (2.25) кованной системе имеют вид х'=хсовО+уз(пО, у'= — хв(пО+усовО, пли, решая относительно х и у, х = х' сов 0 — у' в(п В, (2.18) у = х' в(п О+ у' сов В.
(2.19) Коли всякая пара чисел преобразуется так же, как х и у, то она является компонентами вектора. Рассмотрим теперь разницу в температурах двух сосед- них точек Рд и Ре (фиг. 2.6, б). В координатах х, у запишем ЛТ = — Лх, дТ Сравнивая (2.25) с (2.20), мы видим, что дТ дТ дТ вЂ” = —,сов 9 — —, юп 9. дх дх' ду' (2.26) Это уравнение говорит нам, что дТ/дх получается из дТ/дх' и дТ/ду' в точности так же, как х из х' и у' в (2.18). Значит, дТ/дх — это х-компонента вектора. Сходные же рассу'кдения показывают, что дТ/ду и дТ/дг суть р- и г-компоненты. Стало быть, ЧТ есть на самом деле вектор, Зто векторное поле, образованное из скалярного поля Т.
ф А Опера»т»ор Ч А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь — одну из тек, которые так украшают математику. Доказательство того, что огай Т, или ЧТ, является вектором, не зависит от того, каков скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым вкаллрны.м полем. А поскольку уравнения преобразовании одинаковы независимо от того, чтб дифференцнруется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением д д д — — 9 — —; згп 9. дх дх' ду' (2.27) (2.28) это означает, конечно, д д д Ч= — —, Ч= —, Ч= —. - (2.29) х дх ' У ду ' * дх Мы-абстрагировали градиент от Т вЂ” в атом и есть остроумие. Конечно, вы должны все время помнить, что Ч вЂ” это оператор.
Сам по себе он ничего не означает. А если Ч сам по себе ничего не означает, то что выйдет, если мы градиент помножим на скаляр, например на Т, чтобы получилось произведение ТЧУ (Ведь вектор всегда можно умножить на скаляр.) Зто опять ничего не означает. Компонента х этого выражения равна д Т— дх ' (2.30) Как выразился Джинс, мы оставляем операторы «жаждущими продифференцировать что угодно». Так как сами дифференциальные операторы преобразуются как компоненты векторного поля, то можно назвать ик компонентами векторного оператора.
Можно написать а это не число, а все еще какой-то оператор. Однако в согласии с алгеброй векторов Тр по-прежнему можно называть вектором. А сейчас помножкм д на скаляр с другой стороны. Получится произведение рТ. В обычной алгебре ТА=АТ, (2.31) но нужно помнить, что операторная алгебра немного отличается от обычной векторной.
Надо всегда выдерживать правильный порядок операторов, чтобы их операции имели смысл. Тогда у вас трудностей не возникнет, если вы припомните, что оператор р подчиняется тем же условиям, что и производные. То, что вы дифференцируете, должно быть поставлено справа от д. Порядок здесь существен. Если помнить о порядке, то сразу ясно, что Тр — это оператор, а произведение рТ вЂ” это уже не гткаждущий» оператор, его жажда утолена. Это физическая величина, имеющая смысл. Он представляет собой скорость пространственного изменения Т; х-компонента рТ показывает, насколько.
быстро Т изменяется в х-направлении. А куда направлен вектор рТ2 Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении— зто компонента рТ в этом направлении (см. (2.15)). Отсюда следует, что направление рТ вЂ” это то, по которому рТ обладает самой длнтшой проекцией; иными словами, то, по которому рТ меняется быстрее всего. Направленно градиента Т вЂ” это направление быстрейшего подъема величины Т. б) д. Отге)оаг(гггг о р Можно ли с векторным оператором гт производить другие алгебраические действия т Попробуем скомбинировать его с вектором.
Из двух векторов можно составить скалярное произведение, причем двоякого рода: (Вектор) . у или Ч (Вектор). Первое выражение пока что ничего не означает — зто все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он будет действовать. А второе произведение — это некое скалярное поле (потому что А. — всегда скаляр). Попробуем составить скалярное произведение р на известное поле, скажем на )т. Распишем покомпонентно Ъ~ Ь= р„й„+ 7 й +Ч~ъм (2.32) или (2.33) Эта сумма инвариантна относительно преобразования коорди- наг. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы * дь„, да, дь,, (2.34) а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т.
е. Ч 'Ь=Ч'Ь (2.35) в любой точно пространства. Итак„Ч. Ь вЂ” это скалярное поле, н оно должно представить собой некоторую физическую величину. Вы должны понимать, что комбинация производных в Ч Ь имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем дя /дх, которые не являются нк скалярами, ни компонентами векторов. Скалярная величина Ч. (Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например, ЧХЬ= Вектор„ (2.37) Компоненты этого вектора моя«но написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)[: дзз (Ч Х Ь)з = Ч )»у — Чуя« = (2.38) Подобно этому, дь дз [,ЧХ[')х= Чуй» Чз~у= ду дз (2.39) дя дя (Ч ХЬ)у — — Ч,й,— Ч„йз= д — — д— (2.40) Комбинацию ЧХЬ называют «ротор» (пншут го« Ь), или (редко) «внхрь Ь» (пишут спг1 Ь).
Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим пози«е. » Мы рассматриваем Ь нан физическую величину, аависящую от положения в пространстве, а ие как аадаввую математически функцию трех переменных. Когда Ь «диффереицвруется» по л, у и з или по л', у' и з', то математическое вырюкенве для Ь должво быть предварительно выражено в виде функции соответствующих переменных.
Поэтому в ионой системе координат мы ие отмечаем Ь пприхом. Ч Ь=Й1ч Ь=«Дивергенция Ь». (2.36) Можно было бы, как и для ЧТ, описать физический смысл Ч Ь. Но мы отложим это до лучших времен. Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора Ч. Как насчет векторного произзеденияе Можно надеяться, что В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит тг: т7Т = бган Т = Вектор, »г Ь = Й1т Ь = скаляр, рХЬ=гогЬ =Вектор Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.
В качестве примера применения нашего векторного дифференциального оператора 17 выпишем совокупность векторных уравнений, в которой содержатся те самые законы электромагнетнзма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их называют уравнениями Максвелла. Уравнения Маловер«а (1) р В=- —, ее дВ (2) дхЕ=.— —, (З) у. В=-О, (4) о»р х В = — + —, дЕ дг е, ' (2.41) где р (ро) — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), а ) — «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классическую теорию электромагнитного поля.
Видите, какой элегантной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений! Э 6. ДифЯерен«1«лалъное уравнение ион»ока югеала Приведем другой пример векторной записи физического закона. Этот закон не из точных, но во многих металлах и других материалах, проводящих тепло, он проявляется совершенно четко. Известно, что если взять плиту из какого-то материала и нагреть одну ее сторону до температуры Т», а другую охладить до Т„то тепло потечет от Т, к Т, (фиг.
2.7, а). Поток тепла пропорционален площади торцов А и разнице температур. Кроме того, он обратно пропорционален расстоянию между торцами. (Для заданной разницы температур чем тоньше плита, тем мощнее поток тепла.) Обозначая через У Ф и г. 2.т. Теяловой ноток черве клиту (а) и бвоконечно малая квитка, параллельная иеотермичеекой поверхноети в большом блоке вешеетва (б). тепловую энергию, проходящую сквозь плиту за единицу времени, мы нашппем Х = х (Тз — Т,) (2.42) Коэффициент пропорциональности х (каппа) называется теплопроводноеьчью. Нто произойдет в более сложных случаях, скажем, в блоке материала необычной формы, в котором теьшература как-то прихотливо ьвеняется? Рассмотрим тонкий слой материала и представим себе плиту наподобие изображенной на фнг. 2.7, а, но в миниатюре.
Ориентируем ее торцы параллельно изотермическим поверхпостям (фиг. 2.7, б), так что для этой малой плиты выполняется уравнение (2.42). Если площадь этой плиты ЛА, то поток тепла за еднницу времени равен ЛХ=хЛТ ' (2.43) где Лз — толшина плиты. Но ЛХ)ЛА мы раньше определили как абсолютную величину Ь вЂ” вектора, направленного туда, куда течет тепло. Тепло течет от Т,+ЛТ к Т„так что вектор 1ь перпендикулярен изотермам (фиг.
2.7, б). Далее, ЛТ!Лг как раз равно быстроте изменения Т с кзменением положения. А поскольку изменения положения перпендикулярны изотермам, то ваше ЛТ!Лв — ' это максимальная скорость изменения. Она равна поэтому величине уТ. И, наконец, раз направления уТ и Ь противоположны, то (2.43) можно записать в виде векторного уравнения в = — хт7Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
