Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Их постигает неудача оттого, что настоящие физические ситуации реального мира так запутаны, что нужно обладать гораздо более широким пониманием уравнений. Дирак объяснил, что значит действительно понять уравнение — понять, не ограничиваясь его строгим математическим смыслом. Он сказал: «Н считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе общий вид его решения, не решая его непосредственно». Значит, если у нас есть способ узнать, чтб случится в данных условиях, не решая уравнения непосредственно, мы «понимаем» уравнения в применении к этим условиям. Физическое понимание — это нечто неточное, неопределенное и абсолютно нематематическое, но для физика оно совершенно необходимо.
Обычно курс физики подобного рода строится так, что физические представления развиваются постепенно: начиная с самых простейших явлений, переходят ко все более и более сложным. Кое-что нз изученного при этом неминуемо забывается (то, что верно лишь в определенных условиях, а не всегда). К примеру, «закон» обратных квадратов для электрической силы верен не всегда. Нам болыпе по душе обратный подход.
Лучше начать с полн х, самых общих законов, а затем повернуть вспять и применять их к простым задачам, развлвая физические представления по мере продвижения вперед. Так мы и собираемся сделать. Наш подход совершенно противоположен подходу историческому, когда изложение слепо следует за экспериментами, в которых впервые была получена нужная информация. Но ведь физику развивают многяество очень умных людей уже свыше 200 лет, а у нас времени мало и нам нужно овладеть знаниями побыстрее. Поэтому мы не можем охватить все, что онп сделали.
Так что в этих лекциях мы будем вынуждены пренебречь историейпредмета и не будем рассказывать об опытах. Мы надеемся, что вы восполните пропущенное на лабораторных занятиях, "и, конечно, очень полезно почитать статьи и книги по истории физики. ф М. Скссляряьсе и ввктссоряьсв яоля — Х я Ь (2.3) (2 А) (2.5) (2.6) Мы будем такнсе пользоваться следующими двумя равенствами: Ьс(х, у, з)= — Лк+ — Лу+ — Лз, ас ас д) дх ду де азу агу дх ду ду дз (2,7) (2.8) 30 Мы начинаем сейчас рассмотрение абстрактного, математи- ческого подхода к теории электричества и магнетизма.
Наша цель — объяснить смысл законов, написанных в гл. 1. Но для этого надо сперва объяснить новые особенные обозначения, которые мы хотим использовать. Давайте поэтому на время позабудем электромагнетизм и разберемся в математике век- торных полей. Она очень важна не только в электромагнетизме, но и во многих физических обстоятельствах, подобно тому как обычное дифференциальное и интегральяое исчисление важно во всех областях физики. Мы переходим к дифференциальному исчислению векторов.
Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. Считается, что вы с ними уже знакомы А В = Скаляр = А,В„+ А В + А В, (2.1) Ах В= Вектор, (2.2) (А х В), = А „ — А В„, (АхВ)„=А В,— А,В, (А х В)у — — А е„— А„В„ АхА=О, А (АхВ)=0, А (В хС)=(АхВ) С, Ах(ВхС) =В(А С) — С(А В). Ф и в. о.л.
Температура Т нривеер скалярного поля. С тыквой оковкой Сх, у, Н в прост. ранение сеяншается кшло Г(х, у, е). Все епокки на по иртшсти с пометкой т=гв Отображенной в виде кривой при г=д) имеют одну и ту оке температуру. Стрелки — в»ш примерк вектора потока слепла Ь, Уравнение (2.7) справедливо, конечно, только при Лх, Лу и Лз О.
Простейшее из физических полей — скалярное. Полем, как вы помните, называется величина, зависящая от положения в пространстве. Скалярное поле — зто просто такое поле, которое в каждой точке характеризуется одним-единственным числом — скаляром. Это число, конечно, может меняться во времени, но пока мы на это не будем обращать внимания. (Речь будет идти о том, как поле выглядит в данное мгновение.) В качестве примера скалярного поля рассмотрим брусок из какогото материала. В одних местах брусок нагрет, в других — остужен, так что его температура меняется от точки к точке каким-то сложным обрааом. Температура тогда будет функцией х, у и л— положения в пространстве, измеренного в прямоугольной системе координат. Температура — это скалярное поле.
Один способ представить себе скалярное поле — зто вообразить «контуры», т, е. мысленные поверхности, проведенные через точки с одинаковыми значениями поля, подобно горизонталям на картах, соединяющим точки на одной высоте над уровнем моря. Для температурного поля контуры носят название «изотермические поверхности», илн изотермы. На фиг. 2.1 показано температурное поле и аависпмость Т от х и у при з=О. Проведено несколько изотерм. Поля бывают также векторными. Идея их очень проста.
В каждой точке пространства задается вектор. Он меняется от точки к точке. Рассмотрим в виде примера вращающеося тело. Скорость материала тела во всякой точке — зто вектор, который является функцией ее положения (фкг. 2.2). Другой пример — поток тепла в бруске из некоторого материала. Если в одной части бруска температура выше, а в другой — ниже, то от горячей частк к холодной будет идти поток тепла.
Тепло в разных частях бруска будет растекаться в различных направлениях. Поток тепла — зто величина, имеющая направление; Ф и г. 3.3. Скорости атол|ов во вращающемся теле — пример векторково поля. лу Ь= — е, Ли (2.9) где е — единичный вектор направления потока. 1 Вектор Ь можно определить и иначе — через его компоненты. Зададим себе вопрос, сколько тепла протекает через малую поверхность под лроидвольыыле углом к направлению потока.
На фиг. 2.4 мы изобразили малую поверхность Лая под некоторым углом к поверхности ска„, которая перпендикулярна к потоку. Единичный вектор и перпендикулярен к поверхности ср и е. з.8. Гелловой поток— векторное поле. Вектор Ь ук сывает направление пото а. Абсолютная велииина ево выражает внергию, треносимую ва свинину времени с рев элемент новеркности, ориснтитюеа ный поперек потока, деленную на плащадо аеелинта потрлноети. 33 обозначим ее Ь; длина этого вектора пусть измеряет количество протекающего тепла.
Векторы потока тепла также изображены на фнг. 2.1. Определим теперь Ь более точно. Длина вектора потока тепла в данной точке — это количество тепловой энергии, проходящее за единицу времени и в пересчете на единицу плогдади сквозь бесконечно малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению потока.
Вектор указывает направление потока (фиг. 2.3). В буквенных обозначениях: если ЛУ вЂ” тепловая энергия, протекающая за единицу времени сквозь элемент поверхности Ска, то Ф и в. З.й. Тепловые патоки оквооь Лов и оквовь Лвв одинаковы. Ла,. Угол О между и и Ь равен углу между поверхностями (так как Ь вЂ” нормаль к-Ла,). Чему теперь равен поток тепла через Ла, на единицу площади? Потоки сквозь Ла, н Ла, равны меявду собой, отличаются только площади, Действительно, Ла, = Ла, соз О. Поток тепла через Ла, равен — = — созО=Ь и. Лу ЛУ (2.
10) Лов Лов Поясним это уравнение: поток тепла (в единицу времени и на единицу площади) через произвольный элемент поверхности с единичной нормалью и равен Ь и. Можно еще сказать так: компонента потока тепла, перпендикулярная к элементу поверхности Ла„равна Ь и. Можно, если мы хотим, считать эти утверждения определением Ь. Сходные идеи мы применим и к другим векторным полям. ф З. 1Еронвводньве толей — ерадыентп Когда поля меняются со временем, то нх изменение можно описать, задав их производные по Ь Мы хотим так'ке описать и их изменение в пространстве, потому что мы интересуемся связью, скажем, между температурой в некоторой точке и в точке с ней рядом. Как же задать производную температуры по координате? Дифференцировать температуру по х? Или по у, или по г? Осмысленные фкзическне законы не зависят от ориентации системы координат.
Поэтому их нужно писать так, чтобы по обе стороны анака равенства стояли' скаляры или векторы. Что же такое производная скалярного поля, скажем, дТ/дх? Скаляр лн это, или вектор, или еще что? Это, как легко понять, ни то ни другое, потому что если взять другую ось х, то дТ!дх изменится. Но заметьте: у нас есть три возможных производных: дТ!дх, дТ/ду и дТ?дг. Три сорта производных, а ведь мы внаем, что нужно как раз три числа, чтобы образовать вектор. 2 гч згов Может быть, эти три производные и представляют собой компоненты вектора: ( — — г ат ат ат~ — —, — ) =Вектор лв зто1 дх ' д« ' д»,) (2.11) Ясно, конечно, что, вообще говоря, не из любых трех чисел мо»кно составить вектор. О векторе можно говорить только тогда, когда при повороте системы координат компоненты преобразуются по правильному закону. Так что следует проследить, как меняются этн производные прн повороте системы координат.
Мы покажем, что (2.11) — действительно вектор. Производные действительно преобразуются при вращении системы координат так, как полагается. В этом можно убедиться по-разному. Можно, например, задать себе вопрос, ответ на который не должен зависеть от системы координат. и попытаться выразить ответ в «инвариантной» форме. К примеру, если В=А В н если А и  — векторы, то мы знаем (это доказано в вып. 1. гл.
11), что  — скаляр. Мы знаем, что о' — скаляр, не проверяя, меняется ли он при изменении системы координат. Кму ничего иного нг остается, раз он является скалярным произведением двух векторов. Подобным же образом, если мы знаем, что А — вектор, и у нас есть три числа В„В:, В», и мы обнаруживаем, что "1хВ»+ АуВ» . йхВ» (2 12) (где В в любой системе координат одно и то же), то трн числа В„В,, В, обязаны быть компонентами В„В, В, некоторого вектора В. Рассмотрим теперь температурное поле. Возьмем две точки Р,и Р„ разделенные маленьким расстоянием ЛВ.
Температура в Р, есть Т„ а в Р, она равна Т„ и их разница ЛТ=Т, — Т,. Температура в этих реальных физических точках, конечно, не зависит от тото, какие оси мы выбрали для измерения координат. В частности, ЛТ вЂ” тоже число, не зависящее от системы координат. Это скаляр. Выбрав удобную систему координат, мы можем написать Т«=Т(х, у, г) и Т,=Т(х+Лх, у+Ау, г+Лг), где Лх, Лу, Лг — компоненты вектора ЛК (фнг. 2.5). Вспомнив (2.7), напишем Л Т = — Лх+ — Лу+ — Лг. ат ат ат (2.13) Слева в (2.13) стоит скаляр, а справа — сумма трех произведений каких-то чисел на Лх, Лу, Лг, которые являются компонентами вектора.
Значит, три числа дт дт дт дх ' дд ' дг Ф и г. З.д. Век»пор аК е кампопенжами Лх, ду, Лх. Я сй ~г~ и ду 1 г ь, (ау — тоже х-, р- и г-компоненты вектора. Мы напишем этот новый вектор при помощи символа 1гТ. Символ р (называемый набла)— это Л вверх ногами; он напоминает нам о дифференцировании. Читают тг Т по-разному: «набла Т», или «градиент Т», или «Етая Тм пгае) Т=рТ= ( —, —, — ) /дт дт дтля (,д ду ' дг) (2.14) С этим обозначением (2.13) переписывается в более компактной форме йт=рт йч. (2.15) Или, выражая словами: разница температур в двух близких точках есть скалярное произведение градиента Т на вектор смещения второй точки относительно первой. Форма (2.15) также служит иллюстрацией к нашему утверждению, что рТ— действительно вектор.
Быть может, вы еще не убеждены? Тогда докажем иначе. (Хотя, вглядевшись внимательно, вы увидите, что это на самом деле то же самое доказательство, только подлиннее!) Мы покажем, что компоненты дТ преобразуются абсолютно так же, как н компоненты В, а значит, ~Т вЂ” тоже вектор в соответствии с первоначальным определением вектора в вып. 1, гл. 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
