Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Мы выведем их и поясним их смысл. Эти формулы фактически являются математическими теоремами. Они полезны не только для толкования смысла и содержания понятий дивергенции и ротора, ко и при разработке общих физических теорий. Для теории полей эти математические теоремы — все равно что теорема о сохранении энергии для механики частиц.
Подобные теоремы общего характера очень важны для более глубокого понимания физики. Но вы увидите, что, за немногнмн простыми исключениями, они мало что дают для решения задач. К счастью, как раз в начале нашего курса многие простыо 47 Ф и е. 3.1. Иллюср(рации Крав- неиил (8.1). Вектор ЧЕ еикисллетсл ка ликей- кои е киоте Вв. задачи будут ре(паться именно этими тремя интегральными формулами. Позже, однако, когда задачи станут потруднее, этими простыми методами мы больше обойтись не сможем. Мы начнем с той интегральной формулы, куда входит градиент.
Мысль, которая содержится в ней, очень проста: раз градиент есть быстрота изменения величины поля, то интеграл от этой быстроты даст нам общее изменение поля. Пусть у нас есть скалярное поле )р(х, р, г). В двух произвольных точках (1) и (2) функция (() имеет соответственно значения )р(1) и (()(2).
(Используется такое удобное обозначение: (2) означает точку (х„у„хл), а (() (2) это то )ке самое, что ())(хе, у„зо).] Если Г (гамма) — произвольная кривая, соединяющая (1) и (2) (фиг. 3.1), то справедлива творвмА 1 (е) (() (2) — (() (1) = ~ (рф) . ((з. (3.1) Вдоль Г Интеграл, стоящий здесь, это криволинейный интеарал от (1) до (2) вдоль кривой Г от скалярного произведения вектора р(() на другой вектор, й(з, являющийся бесконечно малым элементом дуги кривой Г [направленной от (1) к (2)). Напомним, чтб мы понимаем под криволинейным интегралом. Рассмотрим скалярную функцию 1(х, у, з) и кривую Г, соединяющую две точки (1) и (2).
Отметим на кривой множество точек и соединим их хордами, как на фиг. 3.2. Длина 1-й хорды равна Лв(, где 1' пробегает значения 1, 2, 3, .... Под криволинейным интегралом (в) ~(з (е) Вдоль Г подразумевается предел суммы Х ~(йз(, где 1( — значение функции где-то на 1-й хорде. Предел — вто то, Ф и г, 8 2, Криеалинейний интеерал есть иредел етммье. е лзз к чему стремится сумма, когда растет число хорд (разумным образом, чтобы даже наибольшее Лге О).
В нашей теореме (3.1) интеграл означает то же самое, хоть и выглядит чуть по-иному. Вместо 1 стоит другой скаляр— составляющая рф в направлении Лз. Если обозначить эту составляющую через (ре~",)о то ясно, что (ра)е)еЛз=(рар) Лз. (3.2) Интеграл в (3.1) и подразумевает сумму таких членов. А теперь посмотрим; почему уравнение (3.1) правильно. В гл. 1 мы показали, что составляющая рер вдоль малого смещения ЛК равна быстроте изменения а)~ в направлении ЛК. Рассмотрим хорду кривой Лз от точки (1) до точки а па фнг. 3.2.
По нашему определению Л~>,=ар(е) — ар(1) =(~тф), Лз,. Точно так же мы имеем где, конечно, (рер), означает градиент, вычисленный па хорде Лз„а (рег)а — градиент, вычисленный на Лза Сложив (3.3) и (3.4), получим Р (Ь) — еР (1) = (РаР)ь. Лз +(РеР)и Лзю (3.5) Вы видите, что, продолжая прибавлять такие члены, мы получаем в итоге Девая часть не зависит от того, как выбирать интервалы— лишь бы точки (1) и (2) были теми же самыми, так что справа можно перейти к пределу.
Так доказывается уравнение (3.1). Из нашего доказательства видно, что, подобно тому как равенство не зависит и от выбора точек а, Ь, с,..., точно так же оно не аависит от выбора самой кривой Г. Теорема верна для любой кривой, соединяющей точки (1) и (2). (а) (3.8) (а) Любая крааая, ооединнющая еочнн <1) н 1з) ф 2. гаотпок еект)зортбого поля Прежде чем рассматривать следующую интегральную теорему — теорему о дивергенция,— хотелось бы разобраться в одной идее, смысл которой в случае теплового потока легко усваивается. Мы уже определили вектор )), представляющий количество тепла, протекающего сквозь единицу площади в единицу времени.
Пололсим, что внутри тела имеется замкнутая поверхность Я, ограничивающая объем Г (фиг. 3.3). Нам хочется узнать, сколько тепла вытекает нз этого объела. Мы это можем, конечно, определить, рассчитав общий тепловой поток через поверхность Я. Обозначим через оа площадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости ху, то ааа = аХе)у. Позлее мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого кубика и обозначать его Л", подразумевая, что Л' = с)хаус) з.
Кое-кто пишет и гана вместо )7а, чтобы напомнить самому себе, что зто выражение второй степени; вместо Л' пишут также У(г. Мы будем пользоваться более простыми обозначениями, О) и а ХХ Замкнутая коверхноакь Ю, оараничиваюи)ая объем у. Еаиниений вектор н — внетнвл нормалек влеаыкехн коверхноети На, а Ь вЂ” вехкюр кыклотео нотона ехеоеь влеаынт коеерхноети. но Два слова об обозначениях, Не будет путаницы, если писать для удобства ,(уф) е~ =тч) " (3.7) Тогда наша теорема примет такой вид: тЕОРВМА 1 (3.9) Ь„=Ь.п, и тогда поток тепла сквозь Иа равен Ь пНа. А весь поток тепла через произвольную поверхность получается суммированием вкладов от всех элементов поверхности.
Иными словами, (3.10) интегрируется по всей поверхности Полный тенловой ноток = ~ Ь ° па'а. через о" нару ну (3 11) Этот интеграл мы будем называть «поток Ь через поверхность». Мы рассматриваем Ь как «плотность потока» тепла, а поверхностный интеграл от Ь вЂ” зто общий поток тепла наружу через поверхность, т. е. тепловая энергия за единицу времеви (джоули в секунду). Мы хотим эту идею обобщить нй случай, когда вектор не представляет собой потока какой-то величины, а, скажем, является электрическим полем. Конечно, если это будет нужно, то и в этом случае все равно можно проинтегрировать нормальную составлнющую электрического поля по площади.
Хотя теперь она уже не будет ничьим потоком, мы все еще будем употреблять слово «поток». Мы будем говорить, что Поток Е сквозь понерхность о"= ) Е пЫа. 5 (ЗЛ2) Слову «поток» мы придаем смысл «поверхностного интеграла от нормальной составля»ощей» некоторого вектора. То же определение будет пршненяться и тогда, когда поверхностьнезамкнута. А возвращаясь к частно»ту случаю потока тепла, обратим внимание на те случаи, когда количество преп«и сохраняется. Представьте себе, к примеру, материал, в котором после первоначального подогрева не происходит ни дальнейшего подвода, ни поглощения тепла. Тогда, если из какой-то замкнутой поверхности наружу поступает тепло, содержание тепла во внутреннем объеме должно падать. Так что в условиях, когда й1 а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — трн.
Поток тепла через элемент поверхности с)а равен произведению площади на составляющую Ь, перпендикулярную к да. Мы уже определяли и — единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3). Искомая составляющая Ь равна количество тепла сохраняется, мы говорим, что '»ь.пса= — ц, ф 8 (3Л3) Поток сквозь 8» =- ) С.пс(а+ ') С.плела (3.14) а для потокй из (хо: ПотоМ сквозь по= )Сп»та+ ) Сп»с(а. (Зчб) 8» бчо Заь»етые, что во втором интеграле мы обозначили внешнюю й» и г.
8.д, Объем У, еаплючепний в»»утри поверхноеспи 8, делится на две чапаи «сечением» (поверхностью 8д»). Получается обвел» У, окромя» й поверляост»ю 8»=во+вою и обтм У», окрузсепний поверхяост»ю и, = 8Ь+эоЬ 52 где (д' — запас тепла внутри Я. Поток тепла из Я наруясу равен со знаком минус быстроте изменения со временем общего запаса тепла»,Ь внутри Я. Это толкование возможно оттого, что речь идет о потоке тепла, и оттого, что мы предположили, что количество тепла сохраняется. Конечно, если бы внутри объема создавалось тепло, нельзя было бы говорить о полном вапасе тепла в пем.
Укажем теперь па интересное свойство потока любого вектора. Можете при этом представлять себе вектор потока тепла, но верно это будет и для произвольного векторного поля С. Представьте себе замкнутую поверхность Я, окрунсающую объем Г. Разобьем теперь объем на две части каким-то «сечением» (фиг. 3.4). Получились два объема и две замкнутые поверхности. Объем У, окружен поверхностью Я„составленной частью из прежней поверхности Ь', и частью из «сечения» Я„ь.
Объем ааль окружен поверхностью Я,, составленной из остатка прежней поверхности (Ьь) и замкнутой сечением Я,ь. Зададвч вопрос: если мы рассчитаем поток через поверхность Я, и прпбавим к нему поток сквозь поверхность Я«, будет ли их суыьк« равна потоку через первоначальную поверхность? Ответ гласит: «Да». Потоки через часть Яею общую обеим поверхностям Я, и Яо, в точности сократятся, Для потока вектора С из»с, можпо написать С пса= — ~ С и да. (3 16) гиь Складывая теперь уравнения (3.14) и (3.15), мы убеждаемся, что сумма потоков сквозь 3, и Бг как раз равна сумме двух интегралов, которые, взятые вместе, дают поток через первоначальную поверхность о'=Б,+Яь. Мы видим, что поток через всю внешнюю поверхность о' можно рассматривать как сумму потоков из тех двух частей, на которые разрезан объем.
Этн части можно еще разрезать: скажем, $г, разбить пополам. Опять придется прибегнуть к тем же доводам. Так что для любого способа разбиения первоначального объема всегда остается справедливым то свойство, что поток через внешнюю поверхность (первоначальный интеграл) равен сумме потоков изо всех внутренних частей. ф .г. 11отпок ыо куба; гпеорела Гггтгссгг Рассмотрим теперь частный случай потока нз маленького кубика ь и получим интереснузо формулу. Ребра куба пусть направлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, суть х, у, г, ребро куба в направлении х равно Лх, ребро куба (а точнее, бруска) в направлении у равно Лу, а в направлени~ г равно бг. Мы хотим найти поток векторного поля С через поверхность куба.
Для этого вычислим сумму потоков через все шесть граней. Начнем с грани 1 (см. фнг. 3.5). По~он наружу сквозь нее равен х-компоненте С с минусом, проинтегрированпой по площади грани. Он равен — ') С„г(рг(г. Так как куб считается малым, этот интеграл можно заменить значением С„в центре-грани (зту точку мы обозначили (1Ц, умноженным на площадь грани ЛуЛг: Поток сквозь з ягруязу= — С„ЯЬуЬг. Подобным же образом поток нару>ну через грань 2 равен Поток сквозь г наружу=С„(2)буЬг. * Колечко, последующие выкладки в равной мере относятся н к любому прямоугольному яараллелешшеду. нормаль к 8,» буквой п„если она относится к Я„и буквой пг, если она относится к Яг (см. фиг. 3.4).
Ясно, что и,= — пз, и тем самым уг З) Ф и е. 8.5. Викиолегеие котока вектора С ив маленького кусака. Величины С„(1) и С„(2), вообще говоря, слегка отличаются. Если Ьх достаточно мало, то можно написать С„(2) = С„(1) + —" Дх. дС„ Су)цествуют, конечно, и другие члены, но в них входит (Лх)е и высшие степени Лх, и в пределе малых Лх ими запросто можно пренебречь. Значит, поток сквозь грань 2 равен Поток сквозь 2= (С„(1)+ — Лх| Луиз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
