Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 54
Текст из файла (страница 54)
6.5, стр. 115). Вот почему мы называем петлю магнитным диполем. Слово «диполь» в применении к магнитному полю немного запутывает, потому что нвт отдельных магнитных «полюсов», соответствующих электрическим зарядам. Магнитное «дипольное доле» создается не двумя «зарядами», а элементарной петлей с током. В общем-то довольно любопытно, что, начав с совсем разных законов, р Е=р/ео и р 'мВ=)Укос», можно прийти к полю одного и того же вида. Почему так получается? Потому что дяпольные поля возникают, только когда мы находимся далеко от всех токов и зарядов.
Тогда в большей части пространства уравнения для Е и В одинаковы: у обоих дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни н те ясе решения. Однако исьчочники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов, физически совершенно различны. В одном случае это циркулирующий ток, а в другом— пара зарядов, один над, а другой под плоскостью петли для соответствующего поля.
ф «»..Кемп»ернь«»й г«отме»«циал цепи Нас часто интересует магнитное поле, создаваемое цепью проводов, в которой диаметр провода очень мал по сравнению с размерами всей системы. В таких случаях мы можем упростить уравнения для магнитного поля. Для тонкого провода элемент объема можно записать в видо в(1в = ЮсЬ, где Ю вЂ” площадь поперечного сечения провода, а дг — элемент расстояния вдоль проволоки. В самом деле, поскольку вектор Из имеет то же направление, что и 1 (фиг. 14.9), и мы можем предположить, что ) постоянно по любому данному сечению, то можно записать векторное уравнение (14.37) Ф и в.
ай.в. для тонков проволоки 1«в то тв самое, что и !из. Ф и г. 14.10. Могнитное иоле проводе может быть полтпено ингпегрировонием по всей цепи. Но ф — как раз то, что мы называем током У во всем проводе, так что наш интеграл для векторного потенциала (14.19) становится равным (14.38) (фиг.
14.10). (Мы предполагаем, что 1 одно и то же вдоль всего контура. Если есть несколько ответвлений с разными токами, то следует, конечно, брать соответствующий ток в наждов ветви.) Как и раньше, можно найти поле с помощью (14.38) либо прямым интегрированием, либо решая соответствующую электростатическую задачу. ф Х.:Закон .Бао — Сааара В ходе изучения электростатики мы нашли, что электрическое поле известного распределения зарядов может быть получено сразу в виде интеграла [уравнение (4,16)[ д ~ Р (2) ежов'г (д) = 4кег гг '(14.40) 291 где =-[(хд — хд) +(уд — у ) +(г — з )г[вд ° Как мы видели, вычислить зтот интеграл (аих на самом деле трн, по одному на каждую компоненту) обычно бывает труднее, чем вычислить интеграл для потенциала и взять от пего градиент.
Подобный интеграл связывает и магнитное поле с токами. Мы уже имеем интеграл для А [уравнение (14.19)[; мы можем получить интеграл к для В, если возьмем ротор от обеих частеи: В(1) =-рхА(1) =ух ~4 '~ ~ . (14.39) А теперь мы должны быть осторожны. Оператор ротора означает взятие производных от А(1), т. е. он действует только на координаты (х„у„з,). Можно внести оператор ух под интеграл, если помнить, что он действует только на переменные со значком 1, которые появляются, конечно, только в Мы получаем для х-компоненты В: дА, дАд В з= дтн дз, (14.41) Величина в скобках есть просто х-компонента от )хгм )х ем з 2 г1з г з Такие же результаты получаются и для других компонент, и мы имеем (14.42) Интеграл дает В сразу через известные токи. Геометрия здесь точно такая же, какая изображена на фиг.
14.2. Воли токи текут только по тонким проводам, мы можем, как в предыдущем параграфе, немедленно взять интеграл поперек провода, заменив )Л' на Хав, где Из — элемент длины провода. Тогда, пользуясь обозначениями фиг. 14.10, имеем (" Ге„Х дв лязззз.) гз1 (14.43) (Знак минус появляется потому, что мы изменили порядок векторного произведения.) Это уравнение для В называется законом Био — Савара в честь открывших его ученых. Он дает формулу для прямого вычисления магнитного поля, создаваемого проводами с током.
Вероятно, вы удивились: «Какой же прок от векторного потенциала, если мы можем сразу найти В в виде векторного интеграла? В конце концов А тоже определяется тремя интегралами!» Из-за векторного произведения интегралы для В обычно сложнее устроены, как это видно из уравнения (14.41). Кроме того, поскольку интегралы для А похожи на электростатические, то нам не надо их вычислять заново. Наконец, мы увидим, что в более трудных теоретических вопросах, таких, как теория относительности, в современном изложении законов механики, вроде принципа наименьшего действия, о котором будет рассказано позже, в квантовой механике, векторный потенциал играет важную роль.
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
