Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(Попробуйте вычислить силу с помощью «правила левой рукие.) Притяжение или отталкивание есть полярный вектор. Так получается потому, что при описанйи любого полного взаимодействия мы пользуемся правилом правой руки дважды — один раз, чтобы найти В из токов, а затем, чтобы найти силу, оказываемую полем В на второй ток. Два раза пользоваться правилом правой руки — все равно что два раза' пользоваться правилом левой руки. Если бы мы условились перейти к системе левой руки, все наши поля В изменили бы знак, но все силы или (что, пожалуй, нагляднее) наблюдаемые ускорении объектов не изменились бы. Хотя физики недавно, к своему удивлению, обнаружили, что ке все законы природы всегда инвариантны по отношению к зеркальным отражениям, тем не менее законы электромагнетизма обладают этой фундаментальной симметрией.
Хлава И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В РАЗНЫХ СЛУЧАЯХ $!.Векторный потенциал ф Т..Веммзорыьгм тьотмеиг(мал В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями: т В=О, (14.1) ср мВ=- 1 . (14.2) ео " На этот раз нам пуп~но рептить эти уравнения математически самым общим образом, а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию.
В электростатике мы нашли прямой способ вычисления полн, когда известны положения всех элоктрических зарядов: скалярный потенциал Ч~ дается просто интегралом по зарядам, каь в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием ~. Мы покажем сейчас, что для нахождения поля В существует аналогичная процедура, если пзвестна плотность тока 1 всех движущихся зарядов. В электростатике, как мы видели (из-за того, что гоФ от Е везде равен нулю), всегда моя~но представить Е в виде градиента от скалярного поли ~р.
А вот го1 от В не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция В везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить В в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, Э 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить В через поле, которое мы обозначим А: В = р х А. (14.3) 42. Векторный потенциал задаииых токов 13.Примой провод 44.Длинный соленоид 45.Поле маленькой петли; магнитный диполь $6. Векторный потенциал цепи $7,Закон Био †Сава Или, расписывая компоненты: дЛ, дЛ„ (ЧХА) = — — — У, да дз дЛ„ дЛ (ЧХА) = — '" — —,', У дз дз дЛу дАх (ЧХА) = — ~ — —. дл дд (14.4) Запись В=Ч хА гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно Ч В=Ч (ЧХА)=О.
Иоле А называется секторным потенци лель Вспомним, что скалярный потенциал ~р оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал гр, то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал ~р', добавив постоянную: В=ЧХА'=ЧХА. Поэтому Ч х А ' — Ч Х А = Ч Х (А' — А) = О.
Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем Ч, так что А' — А=Чф. Это означает, что если А есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом ф А'=А+Чф (14.5) также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю В. Новый потенциал ц' дает те же электрические поля, потому что градиент ЧС есть нуль; Ч' и Ч отвечают одной и той же картине. Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов А, приводящих к одним и тем же магнитным полям.
Опять-таки, поскольку В получается из А дифференцированием, то прибавление к А константы ке меняет физики дела. Но для А свобода больше. Мы можем добавить к А любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при атом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть А, которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле В. Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал А', будучи подставлен в (14.3), дает то все самое поле В. Значит, А и А' имеют одинаковый ротор Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» А, накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал ср равным нулю на больших расстояниях).
Мы мол«ем, например, ограничить А, наложив на него такое условие, чтобы дивергенция А чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая В. Так получается потому, что, хотя А' и А имеют одинаковый ротор и дают одно и то же В, они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, т' А' = т А+т»ф, и, подбирая соответствующее с., мо»кно придать 7 А' любое значение.
Чему следует приравнять тт А» Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магмитостатили мы сделаем простой выбор р А=О. (14.6) (Потом, когда мы перейдем к злектродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение * А в данный момент есть ркА = В и р А = О. Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля Вс.
Выбирая ось г в направлении В,, мы должны иметь дА дА ду дс дА, дА. дх дх дАт дА„ дх ду с (14.7) В,= У В = с * Наше определение все еще не полностью аадает А. Чтобы задание было единств«ниии, мы должны были бы что-нибудь ока»ать о поведении поля А на какой-либо гравице или на больших расстояниях. Иногда бывает удобно выбрать, например, поле, спадающее к нулю на больших расстояниях. 279 Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть .4т —— .тВ», А„=.О, А,=О. Или с тем же успехом моя«но взить Ах= -рВ»~ А =О* Ах=О.
Еще одно решение есть комбинации первых двух '1х= 2 РВ» Ат= 2 хВ« А»=О. (14.8) Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не единственный; существует много возможностей. Ф и г. 1а.1. Однородное иагниптое поле В, направленное по оси г„соогпветствует векторному попгекчиалу А (А =и г92), которнй враага ется вокруг оси г. г' — рассгпоккие Оо оси г.
Третье решение [уравнение (14.8)) обладает рядом интересных свойств. Поскольку х-компонента пропорциональна — у, а у-компонента пропорциональна +х, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси з, который мы обозначим г' (штрих означает, что это на векпгор расстояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна )гсхг+уо и, следовательно, пропорциональна г'.
Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто (14г. 9) Л= —,ВХг'. в Векторный потенциал А равен по величине Вг'/2 и вращается вокруг оси з, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде, Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от тгХА с помощью теоремы Стокса (уравнение (3.38), стр.
63) (7ХА) пг(а. (14.10) г Ниттриг Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому ф А Ыв= ) В пг)а. (14.11) г Ниттри Г Итак, циркуляция А вдоль всякой петли равна потоку В сквоаь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса г' в плоско- сти, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен лг "В. Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной п функцией только от г', то циркуляция будет равна ф А о(з =- 2лг'А == лг'В.
Иак и раньше, получаем Вг' А= —. 2 В только что разобранном примере мы вычисляем векторный потенциал из магнитного поля, обычно поступают наоборот. В сложных задачах всегда проще найти векторный потенциал, а затем уже из него найти магнитное поле. Сейчас мы покажем, как ато можно сделать. ф й.
Векыооготеый потетецоеал оадапоеьеш токов с 'ЧхВ= —, е 1 ео откуда, конечно, следует с'Ч х (Ч х А) =- — ' . во (14.12) Это уравнение для магнитостатики; оно похоже па уравнение Ч'ЧЧ = (14.13) для алектростатики. Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала станет еще более похожим на уравнение для ер, если переписать Чх(ЧхА), используя векторное тождество (см. уравнение (2.58) стр. 44) Чх(ЧхА) = Ч(Ч А) — Ч'А. (14. 14) Поскольку мы выбрали Ч-А=О (и теперь вы видите, почему), уравнение (14Л2) приобретает вид р А= — —.
о еооэ ' (14Л5) Раз В определяется токами, значит, и А тоже. Мы хотим теперь выразить А через токи. Начнем с нашего основного уравнения (14.2): Ф и е. 1а.2. Векторный потенциал А в точке 1 определяется интегралом по влементом тока 14)е во всех точках 2. Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения У ас'' вос и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению 7 ор=— (14.17) оо Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного р, можно использовать для нахождения каждой компоненты А, когда известно .)) В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатяки (14.17) имеет вид 1 (' р (2) Л'е =-4н — „,) Тогда мы немедленно получаем общее решение для А„: ( )к(2)дев (14.18) 4неосв д е,в и аналогично для А „ и А„.
(Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для г„и е)Ра.) Мы можем объединить все три решения в векторной форме: А(1)= ... (1 „) '. (14.19) 4леосв д (Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что атот интеграл удовлетворяет р А=О, поскольку т 1=0, а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных токов.) Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой: х-компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока 1, точно такая нее, как электрический потенциал ер, кото- рый был бы создан плотностью зарядов р, равной у„/са, и аналогично для у- и з-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент.
Например, «радиальная» компонента А не связана таким же образом с «радиальной» компонентой ).) Итак, из вектора плотности тока ) можно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту А, решая три воображаемые электростатические задачи длЯ РаспРеделений заРЯДа Р«=1'„/са, Р«=1',!с» и Р,=) 1с». Затем мы находим В, вычислив разные пройзводные от А, входящие в рхА. Немного сложнее, чем з электростатике, но идея та же.
Сейчас мы лронллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях. ф 8. 1Ху»л.иогг т»1»оооо В качестве первого примера снова вычислим поле прямого провода, которое мы находили в предыдущем параграфе, пользуясь уравнением (14.2) и сообраясениями симметрии. Возьмем длинный прямой провод радиуса а, по которому течет постоянный ток 1. В отличие от заряда в проводнике в случае злектростатики постоянный ток в проводе распределен равномерно по поперечному сечению провода. При таком выборе координат, как показано на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
