Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 53
Текст из файла (страница 53)
14.3, вектор плотности тока ) имеет только з-компоненту. По величине она равна 1 (14.20) внутри провода и нулю вне его. Поскольку 1', и 1 оба равны нулю, то сразу же получим .4„=0, Ао = О. Чтобы получить А„моя«- но использовать наше решение для электростатического потенциала ср от Ф и с.
1й.д. Длинней Чилинд. рииссаий нросод с однородной нлотностью тока ), направленний вдоль оси а. ь ~>= — — 1в г' где г'=)' х'+уе, а Х вЂ” заряд на единицу длины ла'р. Следовательно, А, должно быть равно А = — 1пг лс~/ с 2лесс« для точек вне длинного провода с равномерно распределен- ным током. Поскольку лае)с =1, то можно также написать А,= — 2 —,1пг'. (14.21) 2ле «се Теперь можно найти В, пользуясь (14.4). Из шести про- изводных от нуля отличны только две.
Получаем В = — — — 1пг'= — — —, 2 д, 1 у 2лесс' ду 2лесс' с'е ' (14.22) 1 д, 1 х В = —.1пг'= — —,, 2лессе дх йлесс' с' ' В,=О. Мы получаем тот ясе результат, что и раньше: В обходит про- вод по окружности и по величине равен 2Г (14.24) (14.23) провода с однородной плотностью заряда р=у,/се. для точек вне бесконечного заряженного цилиндра электростатический потенциал равен ф А Длиниьей соленоид Еще пример. Рассмотрим опять бесконечно длинный соленоид с тоном по окружности, равным л1 на единицу длины. (Мы считаем, что имеется п витков проволоки на единицу длины, несущих каясдый ток 1, и пренебрегаем небольшими зазорами между витками.) Точно так же, как мы выводили «поверхностную плотность заряда» о, определим здесь «поверхвостную плотность токае Л, равную тону на единице длины по поверхности соленоида (что, конечно, есть просто среднее т, умноженное на толщину тонкой намотки).
Величина Л здесь равна п1. Зтот поверхностный ток (фиг. 14.4) имеет компоненты У„= — Хз)п се, Ув= усов~у, Ус=-О. Мы должны теперь найти А для такого распределения токов. Прея<де всего найдем А„в точках вне соленоида. Результат такой же, как электростатический потенциал вне цилиндра с поверхностным зарядом; о =: оезгпфс 2 1 1 е СР ы г, 14.4, Длинный соленоид с ноеерсностесой клогкносгныо скока 1. где со= — — У!с'.
Мы не решалн случаи такого распределения ааряда, но делали нечто похожее. Это распределение заряда эквивалентно двум ! зсесткп.ы цилиндрам, состоящим из зарядов, один из положительных, другой из отрицательных, с малым относительным смещением их осей в направлении у. Потенциал такой пары цилиндров пропорционален производной по у от потенциала одного однородно заряженного цилиндра. Мы, конечно, можем вычислить константу пропорциональности, но пока не будем возиться с этим.
Потенциал заряженного цилиндра пропорционален 1п г', потенциал пары тогда равен д!п г' у Ч' дд г" ' Итак, мы знаем, что А„= — КД, (14.25) где К вЂ” некоторая константа. Рассуждая точно так же, найдем А, =К вЂ” „. (14.26) Хотя мы раньше говорили, что вне соленоида магнитного поля яет, теперь мы находим, что поле А существует и циркулирует вокруг оси з (см. фиг. 14.4). Возникает вопрос: равен ли нулю его ротор) Очевидно, В„и В„равны нулю, а 1 $ 2л' 1 .2д'~ (,ге г' г— .,— — ге)=- Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида действительно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю пе равен. Мы можем проверить наш результат, прибегнув к другим сообра кениям. Циркуляция векторного потенциала вокруг соленоида должна равняться потону В внутри натупши (уравнение (14.«()). Циркуляция равна А 2лг' или, поскольку А=К/г', она равна 2лК.
Заметьте, что циркуляция не зависит от г'. Так и должно быть, если В вне соленоида отсутствует, потому что поток есть просто величина В внутри соленоида, умнокенная на ла'. Он один и тот же для всех окружностей с радиусом г' а. Раньше мы нашли, что поле внутри равно И/ее', поэтому мы можем определить константу К: 2лК = пав е/ Есс' Иа К= —, 2е,с' Итак, векторный потенциал снаружи имеет величину (14.27) 2 2ессс г' и всегда перпендикулярен вектору г'. Мы говорили о соленоидальной катушке из проволоки, но такое же поле мы могли бы создать, вращая длинный цилиндр с электростатическим зарядом на поверхности. Вски у нас есть тонкий цилиндрический слой радиуса а с поверхностным зарядом о, то вращение цилиндра образует поверхностный ток У= — ас, где с=со> — скорость поверхностного заряда. Внутри цилиндра тогда будет магнитное поле В=о,со/е с'.
Теперь можно поставить интересный вопрос. Предположим, что перпендикулярно к оси цилиндра мы поместили короткий отрезок проволоки Иг от оси до поверхности и прикрепили ее к цилиндру так, что проволока вращается вместе с ним (фиг. $4.5). Эта проволока движется в магнитном поле, так что сила тХВ приведет к то»«у, что концы проволоки зарядятся (они будут заряжаться до тех пор, пока поле Е зарядов не уравновесит силы тХВ). Коли цилиндр заряжен положительно, то конец проволоки вблизи оси будет иметь отрицательный заряд. Измеряя заряд на конце проволоки, мы могли бы определить скорость вращения системы. Мы получили бы «угловой скоростемер» (или «угловой сито»ветр»)! Но вы, наверно, засомневаетесгк «Анто, если я сам перейду,— скажете вы,— в систему координат вращающегося цилиндра7 Там ааряженный цилиндр покоится, а я знаю из электростатических уравнений, что внутри цилиндра никакого поля не будет, не будет и силы, толкающей заряды к центру.
Поэтому здесь что-то не так7» Нет. Все правильно. Ф и г. 1б.б. Вращающийся горя»сеяний цилиндр согдает внутри себя магнитное поле. Короткая прописка, вакрплвннол вдам радиуса, вравввол с емесвлв с ци индром, приодретовт на своих кснцак индгцированннв варлдн. «Относительности вращения» ке существует. Вращающаяся система — нс инерциальная система, и законы физики в ней другие.
Мы должны пользоваться уравнениями элентромагнетизма только в инерциальных системах координат. Было бы здорово, если бы смогли измерить абсолютное врагцение Земли с помощью такого заряженного цилиндра, но эффект, к несчастью, настолько мал, что его невозможно наблюдать даже с помощью самых тонких современных приборов. 8 6. Поле маленькой петли; магнитпный диполь Воспользуемся методом векторного потенциала, чтобы найти магнитное поле маленькой петли с током. Как обычно, под словом «маленькая» мы просто подразумеваем, что нас интересуют полн только на больших расстояниях по сравнению с размером петли. Как мы увидим, любая петелька представляет собой «магнитный диполь». Это значит, что она создает магнитное поле, подобное электрическому полю от электрического диполя.
Вовьмем сначала прямоугольную петлю и выберем оси координат, как показано на фиг. 14.6. Токов в направлении г нет, поэтому А, равно нулю. Есть токи в направлении х по обеим сторонам прямоугольника, длина которых а. В каждой стороне плотность тока и ток однородны. Поэтому решение для А„ в точности подобно электростатическому потенциалу от двух заряженных палочек (фиг. 14.7). Поскольку палочки имеют противоположные заряды, их электрический потенциал на больших расстояниях есть как раз дипольный потенциал (см.
гл. 6, 1 5). В точке Р на фиг. 14.6 потенциал равен 1 р.егг (14.28) 2д? где р — дипольный момент распределения зарядов. В данном случае дипольный момент равен полному заряду на одной палочке, умноженному на расстояние между ними: Р = ХаЬ. (14.29) Дипольный момент смотрит в отрицательном направлении у, поэтому косинус угла между И и р равен — у/Л (где у — коор- дината Р). Итак, мы имеем (14.30) (14.31) Ь: 1 Ьаб у Ьиго Ке В Заменяя Х на 1/сг, сразу же получаем А„; Уаь у А х йяе се Де С помощью тех же рассуждений: гоЬ Ао йигосе 11г Ф и г.
14.7, Расарезеланее У„в проволочной петле с током, иеобраяеенной на 16иг. 24,6. рямоугояьная прас такам 7. тное по,п е топке РЕ Ф и е. И.В. Векторный котгнциал маленекой аетли о током, раеколожениой е начале координат (е иаогкоегаи ку). Пот магиитаого доколе. Снова А пропорционально х, а А„пропорционально — у, так что векторный потенциал (на больших расстояниях) 1 идет по кругу вокруг оси х, циркулируя таким же образом, как ток л' в петле (фиг.
14.8). Величина А пропорциональна 1аб, т. е. току, умноженному на площадь петли. Это произведение называется магнитным дрпольяым моментом (нли часто просто «магнитным моментом») петли. Мы обозначим его через )г: я = Хай. (14.32) Векторный потенциал маленькой плоской петельки любой формы (круг, треугольник и т. п.) также дается уравнениями (14.30) и (14,31), если заменить лоб на и= а ° ~лощадь ветки. (14.33) Мы предоставляем вам право зто доказать.
Нашему уравнению можно придать векторную форму, если определить вектор р как нормаль к плоскости петли с положительным направлением, определяемым по правилу правой руки (см. фнг. 14.8). Тогда можно написать (14.34) 4яе е' Во 4не оа К' Нам еще нужно найти В. Пользуясь (14.33) и (14.34), а также (14.4), получаем р * з* (14.35) а,4 еоее Вг (под многоточием мы подразумеваем )г/4яз сг), Компоненты поля В ведут себя точно так же, как компоненты поля Е для диполя, ориентированного вдоль оси з [см. уравнения (6 14) и (6 15), а также фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
