Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Тот факт, что это получилось, означает, что мы были мудры, написав уравнение (12.33). Конечно, когда мы догадывались, мы заглядывали вперед; мы знали, что понадобится еще один член, который бы, во-первых, удовлетворял реу =0 (любое действительное поле удовлетворяет этому), во-вторых, зависел от соз О и, в-третьих, спадал бы к нулю при больших г. Поле диполя — единственное, которое удовлетворяет всем трем требованиям. С помощью (12.36) наш потенциал приобретает вид ае т ер= — Е,созе (г+ — е) . (12.37) Решение задачи о течении жидкости может быть записано просто: ае ~ ф = — га соз 9 (г+ —,) 2ге ) (12.
38) Отсюда прямо находится т. Болыпе мы не будем заниматься этим вопросом. ф 6. Осввщенте; равтеомерлеое освемйеиые лклосыосыеы В атом параграфе мы обратимся к совсем другой физической проблеме — мы ведь хотим показать болыпое разнообразие возмояаностей.
На этот раз мы проделаем кое-что, что приведет нас к ннтеералу того же сорта, что мы нашли в электростатике. томатически удовлетворяет сформулированному выше второму условию (стр. 240). Но что нам взять в качестве силы двполя р? Для ответа мы должны использовать другое условие [уравнение (12.32)). Мы должны продифференцировать ~р по г, но, разумеется, это нужно сделать при постоянном угле О, поэтому удобнее выразить сначала <р через г и О, а не через з и г.
Поскольку г=г соз О, то — соз 8 5 гг Ф и г. лу.у. ОсвеиСенность ?а поверхности равна гнергии иглунения, подаюсуей в единиуу времени на единииежю плоечадяу есовераесости. (Если перед нами стоит математическая задача, приводящая к некоторому илтегралу, а интеграл этот у'ке знаком иам по другой задаче, то кое-что о его свойствах нам известно.) Возьмем пример из техники освещения. Пусть ка расстоянии а вад плоскостью имеется какой-то источник света.
Как будет освещаться поверхность? Чему равна энергия излучения, падающая иа единичную площадку псверхиости за единицу времепи (фиг. 12.9)? Мы предполагаем, что источник сферически-симметричиый, так что свет излучается одииаково во всех иаправлеииях. Тогда количество излучеияой энергии, проходящее через единичную птощадъу, иерпендикуллрную потоку света, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Очевидно, что интенсивность света в направлении ыормали дается такои же формулой, что и электрическое поло от точечного источника.
Если световые лучи падают иа поверхность под углом 0 к нормали, то 1, энергия, падающая на единичную площадку поверхности, уменьшается в соз 0 раз, потому что та же зиергия падает иа площадь в асов 0 раз болыпую. Если мы иазозем силу нашего источника Я, тогда 1„, освещенность поверхности, равна Я 1= — '.е п, а ег е (12.30) 2ое1 где е„— единичный вектор в направлении от источника, а и — единичная нормаль к поверхиости.
Освещенность 1„соответствует нормальной компоненте электрического поля от точечного источника с зарядом 4пеоЯ. Учитывая зто, мы видим, что для любого распроделеиия источников света можно найти ответ, решая соответствующую задачу злектростатики. Мы вычисляем вертикальную компоненту электрического поля на плоскости от распределения зарядов точно таким же образом, как для источников света * . Рассмотрим такой пример. Нам необходимо для какого-то эксперимента устроить так, чтобы стол освещался равномерно. Мы располагаем длинными трубками флуоресцентных ламп, излучающих равномерно по всей своей длине.
Наш стол можно осветить, разместив флуоресцентные трубки правильными рядами на потолке, который находится на высоте г над столом. Чему должно быть равно наибольшее расстояние Ь от трубки до трубки, если мы хотим, чтобы поверхностное освещение было равномерным с точностью до одной тысячной? Ответ: 1) найдите электрическое поле от набора равномерно заряженных проводов с промежутком между ними, равным Ь; 2) подсчитайте вертикальну1о компоненту электрического поля; 3) определите, чему долнсно быть равно Ь, чтобы волнистость поля была не больше одной тысячной. В гл. 7 мы видели, что электрическое поле от ряда заряженных проводов может быть представлено в виде суммы членов, каждый из которых дает синусоидальное изменение поля с периодом Ьlп, где п — целое число.
Амплитуда любого из этих членов дается уравпением (7.44): — 4 — кюэгь л л Нам нужно взять только случай и=1, раз мы хотим получить поле в точках, не слишком близких к проводам. Чтобы получить полное решение, нам еще нужно определить коэффициенты Аэ, которые мы пока не нашли (хотя они находятся прямым вычислением). Поскольку нам нужно знать только А„то можно оценить его величину, счктан ее равной средней величине поля. Экспонепциальный множитель тогда дает нам сразу относительную амплитуду изменений.
Если мы хотим, чтобы этот множитель был равен 10 — ', то Ь оказывается равным 0,91 г. Если промежуток между лампами сделать равным э!э расстояния до потолка, экспоненциальный множитель тогда будет равен 1/4000, и мы имеем фактор надежности 4, так что мы можем быть вполне уверены, что освещение будет постоянным с точностью до одной тысячной. (Точное вычисление показывает, что Л, в действительности в два раза больше среднего э )тоскольку мы говорим о яеяогэдсчтяит источниках, ивтеысивыоюэи которых всегда складываются линейно, то электрические заряды в аналогичной задаче всегда будут иметь одинаковые знаки. Следует учесть, что наша аналогия применяется только к световой энергии, падающей на поверхность невроэрачной плоскости, поэтому мы должны включить в интеграл лишь источники, иалучающие над поверхностью (конечно, не те, которые расположены нод поверхностью!).
поля, так что точный ответ будет д=0,8 г.) Немного неожи- данно, что для столь равномерного освещения допустимый промежуток мея<ду трубками оказался таким большим. ф Х. «Фундамент»»ильное едннстпво» пунроды В этой главе мы хотели покааать, что, изучая электростатику, вы одновременно учитесь ориентироваться во многих вопросах физики и что, помня об этом, можно выучить почти всю физику за несколько лет. Но в конце, естественно, напрашивается вопрос: почему уравнения для разных явлений столь похожи? Мы могли бы сказатгя «В этом проявляется фундаментальное единство природы».
Но что зто значит? Что могло бы означать такое заявление? Это могло бы просто означать, что уравнения для разных явлений похожи; но тогда, конечно, мы не дали никакого объяснения. «<« ундаментальное единство» могло бы означать, что все сделано из одного и того я<о материала, а пото»<у подчиняется одним и тем же уравнениям. Звучит как неплохое объяснение, но давайте поразмыслим. Электростатический потенциал, диффузия нейтронов, поток тепла — неуя<ели мы действительно имеем дело с одним и тем же материалом? Можем ли мы в самом деле представить себе, что электростатический потенциал физически идентичен температуре нли плотности частиц? Наверняка <р не совсем то же самое, что тепловая энергия частиц. Смещение мембраны явно не похоже на температуру.
С какой не стати тогда здесь проявляется «фундаментальное единство»? Более пристальный взгляд на физику разных вопросов показывает, что уравнения на самом деле не идентичны. Уравнение, найденное нами для диффузии нейтронов, всего лишь прнблия<епно, которое оказывается хорошим, если интересующее нас расстояние велико по сравнению с длиной свободного пробега. Если бы мы пригляделись повнимательнее, то увидели бы, как движутся отдельные нейтроны. Разумеется, движение одного нейтрона и гладкие изменения, которые мы получаем при решении дифференциального уравнения, вещп разные, Дифференциальное уравнение — это приближение, потому что мы сочли, что нейтроны гладко распределены в пространстве.
Может быть, в этом и состоит разгадка': й1ожет быть, общее всем явлениям есть пространство, те рамки, в которые вложена физика? Пока все меняется в пространстве достаточно плавно, важными факторами, входящими в рассмотрение, будут скорости изменения величин в зависимости от положения в пространстве. Вот почему у нас всегда получается уравнение с градиентом. Производные должны появляться в виде градиента или дивергенции; законы физики не зависят от направления, поэтому они должны выражаться в виде векторов.
Уравнения электростатики — это простейшие векторные уравнения, включающие только пространственные производные величин, которые можно вообще записать. Любая другая простая проблема— или упрощение слоя<ной проблемы — должна быть похожа па электростатику. Общим для всех наших задач является то, что они связаны с пространством, и то, что мы имитируем по-кастоящему сложные явления простым дифференциальным уравнением. Отсюда возникает еще один иптерескыи вопрос.
А не справедливо ли это утверждение и для уравнений электросшатики? Может быть, и они годятся только как сглаженная имитация па самом деле гораздо более сложного микромира? И реальный мир состоит из маленьких Х-онов, которые можно различить только на чрезвычайно малых расстояниях? А проводя наши измерения, мы всегда наблюдаем все в таком грубом масштабе, что пе можем увидеть эти маленькие Х-опы, вот почему мы и приходим к дифференциальпым уравнениям> Наша современная наиболее полкан теория электродинамики действительно обнаруживает трудности яа очень малых расстояниях.
Поэтому в принципе возможно, что эти уравнения представляют собой сглаженные версии чего-то. Они оказыва>ется правильпыми па расстояниях вплоть до 10 '4 см, но аатем они начинают выглядеть неправильными. Возможно, что существует пока еще не открытый «механизм» и что детали внутреннего сложного устройства скрыты з уравнепиях, имеющих гладкий вид, как это получается в «гладкой» диффузии нейтронов.
Но никто е>це не сумел сформулировать успешной теории, которая бы работала таким образом. Как это ни странно, оказывается ~по причинам, в которых мы еще не разобрались), что комбинация релятивизма и квантовой механики, насколько мы их знаем, по-видимому, запрещаел> придумывание уравнений, фундаментально отличных от уравнения (12.4) и в то же время свободных от противоречий. Заметьте: пе из-за расхождений с экспериментом, а от внутиренних противоречий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
