Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 46
Текст из файла (страница 46)
"1ему же теперь равно отношение плотности в центре к плотности на краю? Е) центре (г=О) оно пропорционально Заг~'2, а на краю (г=а) пропорционально 2аг/2; поэтому отношение плотностей равно 3/2. Однородный источник не дает однородной плотности нейтронов. Как видите, наши познания в электростатике дают хорошую затравку для изучения физики ядерных реакторов. Диффузия играет большую роль во многих физических обстоятельствах.
Двия ение ионов через лгидкость или электронов через полупроводник подчиняется все тому же уравненшо. Мы снова и снова приходим к одним и тем же уравнениягь ф о. Беввггзсреоое тгге геугтге згстгдкогггпгг; обупекаггые мггг1га Рассмотрим теперь пример, по существу, не такой уж хороший, потому что уравнения, которые мы будем использовать, на самом деле не описывают новый объект полностью, а отвечают лишь некоторым идеализированным условиям. Это задача о течекии воды. Когда мы разбирали случай натянутой пленки, то наши уравнения представляли приблингение, справедливое лишь для малых отклонений.
При рассмотрении течения воды мы прибегнем к приближению другого рода; мы должны принять ограничения, которые, вообще говоря, к обычной воде Теперь мы сразу же найдем плотность нейтронов в нашей диффузионной задаче 'у вмерла — зп (12. 26) неприменимы. Мы рааберем только случай постоянного течения я«ежил»оемой, невлвной, лишенной завихрений жидкости. Потом мы опишем течение, задав ему скорость ч(г) как функцию положения г.
Если движение постоянно (единственный случай, для которого имеется электростатическая аналогия), ч не зависит от времени. Если р — плотность жидкости, то рч — масса жидкости, проходящая в единицу времеви через единичную площадку. Из закона сохранения вещества дивергенция рч, воооще говоря, равна изменению со временем массы вещества в единице объема. Мы предположим, что процессы непрерывного рождения или уничтожения вещества отсутствуют. Сохранение вещества требует тогда, чтобы Ч. рч =О. (В правой части должно было бы стоять, вообще говоря, — др/д1, но поскольку наша жидкость несжимаема, то о меняться не может.) Так как р повсюду одинаково, то его моя«но вынести, и наше уравнение запишется просто Ч о=О, Чудесно! Снова получилась электростатика (без зарядов); уравнение совсем похоже на Ч Е=О. Ну не совсем! В электростатике не просто Ч Е=О.
Есть дво уравнения. Одно уравнение еще не дает нам всего; нужно дополнительное уравнение. Чтобы получилось совпадение с электростатикой, у вас го$ от ч должен был бы равняться пуп|о. Но для настоящих жидкостей это вообще не так. В болыпинстве их обычно возникают вихри. Следовательно, мы ограничиваемся случаем, когда циркуляция жидкости отсутствует. Такое течение часто называют беввихревым. Как бы то ни было, принимая наши предположения, можно представить себе течение жидкости, аналогичное электростатике. Итак, мы берем Ч о=О (12.28) и Чхч=-О.
(12. 29) Мы хотим подчеркнуть, что условия, при которых течение я'идкости подчиняется этим уравнениям, встречаются весьма нечасто, но все-такы бывают. Это должны быть случаи, когда поверхностным натяжением, сжнмаемостью и вязкостью можно пренебречь и когда течение можно считать безвихревым. Эти условия выполняются столь редко для обычной воды; что математик Джон фон Нейман сказал по поводу тех, кто анализирует уравнения (12.28) н (12.29), что они изучают «сухую воду»! (Мы возвратимся к задаче о течении я«идкости более подробно в вып.
7, гл. 40 и 41.) Поскольку ЧХч=-О, то скорость «сухой воды» можно написать в виде градиента от некоторого потенциала т= — ЧЧ (12.30) Каков физический смысл ф? Особо полезного смысла нет. Скорость можно записать в виде градиента потенциала просто потому, что течение безвихревое. По аналогии с электростатикой зр вазывается потенциалом скоростей, но он не связан с потенциальной энергией так, как это получается для ф. Поскольку дивергенция ч равна нулю, то (12.31) 'р М)=7'Ф=о. Потенциал скоростей ф подчиняется тому же дифференциальному уравнению, что и электростатический потенциал в пустом пространстве (р =О). Давайте выберем какую-нибудь задачу о безвихревом течении н посмотрим, сможем ли мы решить ее изученными методами.
Рассмотрим задачу о шаре, падающем в жидкости. Если он движется слишком медленно, то силы вязкости, которыми мы пренебрегали, будут существенны. Если он движется слишком быстро, то следом за ним будут идти маленькие вихри (турбулентность) и возникнет некоторая циркуляция воды. Но если шар движется и нс чересчур быстро, и не чересчур медленно, то течение воды будет более или менее отвечать нашим предположениям, и мы сможем описать двиясение воды нашими простыми уравнениями.
Удобно описывать процесс в системе координат, скрепленяой с шаром. В этой системе координат мы задаем вопрос: как течет вода около неподвижного шара, если на больших расстояниях течение однородно? Иначе говоря, если вдали от шара течение всюду одинаково? Течение вблизи шара будет иметь вид, показан- ный линиями потока на фкг. 12.8. Эти линии, всегда параллельные ч, соответствуют линиям напряженностей электрического поля.
свис. 12.2, Поле скоростей беееикрееого обтекокил сферы жидкостью. ' —."! =-О. з» О=а (12.32) Наша задача включает новый тип граничных условий— когда дф!дг постоянно, а яе тот, когда потенциал ф постоянен на поверхности. Это немножко другое условие. Получить ответ сразу нелегко. Прежде всего без шара ф был бы равен — Е,з. Тогда Е было бы направлено по з и имело бы всюду постояннузо величину Е,. Ыы уя'е исследовали случай диэлектрического шара, поляризация внутри которого однородна, и нашли, что поле внутри поляризованного шара однородно, а вне его оно совпадает с полем точечного диполя, расположенного в центре шара.
Давайте напишем, что искомое решение есть суцерпозицня однородного поля плюс поле диполя. Потенциал диполя (см. гл. 6) есть рз/4яе,г'. Итак, мы предполагаем, что ф = — Еог+— рг 4яе0 з (12.33) Поскольку поле диполя спадает, как 1»г', то на болыпих расстояниях мы как раз имеем поле Ез. Наше предположение ав- Мы хотим получить количественное описание поля скоростей, т. е. выражение для скорости в любой точке Р. Можно найти скорость как градиент от ф, поэтому сначала определим потенциал. Мы хотим найти потенциал, который удовлетворял бы всюду (12.31) при следующих двух условиях: 1) течение отсутствует в сферической области за поверхностью шара; 2) течение постоянно на больших расстояниях. Чтобы выполнялось первое ограничение, компонента ч, перпендикулярная поверхности шара, должна обращаться в нуль.
Это значит, что дф»дг=О прк г=а. Для выполнения второго ограничения нужно иметь дф»дз=х„всюду, где г>) а. Строго говоря, нет нп одной электростатической задачи. которая в точности соответствовала бы нашей задаче. Она фактически соответствует сфере с нулевой диэлектрической проницаеиостью, помещенной в однородное электрическое поле. Если бы мы имели решение задачи для сферы с диэлектрической проницаемостью х, то, положив х =О, немедленно решили бы нашу задачу.
Мы раньше не разобрали такую электростатическую задачу во всех подробностях; давайте сделаем это сейчас. (Мы могли бы сразу решить задачу о жидкости с ч н ф, но будем пользоваться Е и ф, потому что привыкли к ним.) Задача ставится так: найти такое решение уравнения рзф=О, чтобы Е= — фф равнялось постоянной, скажем Е„ для больших г и, кроме того, чтосы радиальная компонента Е была равно нулю прн г=а. Иначе говоря, р= — Е„.Е+ —,. р еоеВ «яеа" Радиальпая составляющая Е есть — =+Е, зЕ+ до р соеВ дг а 2зЕоге (12.34) (12.35) Она должна быть равна нулю при г=а для всех О. Это будет выполнено, если р = — 2яе,аеЕгг (12.36) Заметьте хорошенько, что если бы оба члена в уравнении (12.35) зависели бы от 0 по-разному„то мы не смогли бы выбрать р так, чтобы (12.35) обращалось в нуль при г=а для всех углов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
