Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 43
Текст из файла (страница 43)
е. если бы следующая идентичная линия проходила на расстоянии а, число 0,383 превратилось бы в Чз ( 0,333). Другими словами, если бы соседние линии проходили на расстоянии а, они вносили бы в нашу сумму всего лишь — 0,050. Однако следующая главная цепочка, которую мы рассмотрим, находится на расстоянии 2а, и, как вы помните из гл. 7, поле, создаваемое периодической структурой, спадает с расстоянием экспоненциально.
Поэтому эти линии вносят в сумму гораздо меньше — 0,050, и мы можем просто пренебречь всеми остальными цепочками, Теперь нужно выяснить, какова должна быть поляризуемость а, чтобы привести в деиствне механизм разгона. Предположим, что нндуцированный момент р каждого атома цепочки в соответствии с уравнением (11.6) пропорционален действующему на него полю. Полярнзующее поле, действующее на атом, мы получаем из Е„,„,„„, с помощью формулы (11.32). Итак, мы имеем два уравнения: Р=пзеЕвелачеа о,ззз г вепвчка — аз ° за Имеются два решения: когда Е и р оба равны нулю н когда Е и р не равны нулю, но при условии, что цЗ а=— 0,383 Таким образом, если и достигает величины аз/0,383, устанавливается постоянная поляризация, поддерживаемая своим собственным полем. Это критическое равенство должно достигаться для титаната бария как раз при температуре Т,.
(Заметьто, что если бы поляризуемость а была больше критического значения для слабых полей, то она уменьшится при больших полях и в точке равновесия установится полученное нами равенство.) ДлЯ ВаТРЭз пРомежУток а Равен 2 10 з см, поэтомУ мы должны ожидать значения я = 21,8 10 ы смз. Мы можем сравнить эту величину с известными величинами поляризуемости отдельных атомов. Для кислорода а = 30,2 10 " смз.
(Мы на верном пути!) Но для титана а = 2,4 10 "см'. (Слишком мало.) В нашей модели нам, видимо, следует взять среднее, (Мы могли бы рассчитать снова цепочку для перемежающихся атомов, но результат был бы почти такой же.) Итак, а,„,а„= 16,3.10 ы смз, что недостаточно велико для установленйя постоянной поляризации. Но подождите! Мы ведь до сих пор складывали только электронные поляризуемости. А есть еще и ионная поляризация, возникающая из-за смещения иона титана. Однако потребуется ионная поляризуемость величиной 9,2 10 ы свз. зэ* (Более точное вычисление с учетом перемежающихся атомов показывает, что на самом деле требуется даже 11,9 10»»см».) Чтобы понять свойства ВаТ10», мы дол)кны предположить, что возникает именно такая ионная поляризуемость.
Почему нон титана в титанате бария имеет столь большую ионную поляризуемость, неизвестно. Более того, непонятно, почему при меньших температурах он поляризуется одинаково хорошо и в направлении диагонали куба и в направлении диагонали грани. Если мы вычислим действительные размеры шариков на фиг. 11.9 и попробуем найти, достаточно лн свободно титан держится в коробке, образованной соседними атомами кислорода (а этого хотелось бы, потому что тогда его было бы легко сдвинуть), то получится совсем противоположный ответ.
Он сидит очень плотно. Атомы бария держатся намного свободнее, но если считать, что это они движутся, то ничего не получится. Так что, тсак видите, вопрос совсем не ясен; остаются еще загадки, которые очень хотелось оы разгадать. Возвращаясь к нашей простой модели (см. фиг. 11.10, а), мы видим, что поле от одной цепочки будет вызывать поляризацию соседней цепочки в противоположном направлении.
Это значит, что, хотя каждая цепочка будет заморожена, постоянная поляризация в единице объема будет равна нулю! (Внешние электрические проявления тут не возникли бы, но можно было бы наблюдать определенные термодинамические эффекты.) Такие системы существуют и называются они антисегнето»леяв»- ринами. Поэтому наше объяснение фактически относилось к антисегнетозлектрикам. Однако в действительности титанат бария устроен очень похоже на то, что изображено на фиг.
11.10, б. Все кислородо-титановые цепочки поляризованы в одном направлении, потому что между ними помещаются промежуточные цепочки атомов. Хотя атомы в этих цепочках поляризованы не очень сильно и не очень тесно расположены, они все-таки будут немного поляризованы в направлении, анти- параллельном кнслородо-титановым цепочкам. Небольшие поля, создаваемые у следующей кнслородо-титановой цепочки, заставят ее полярнзоваться параллельно первой.
Позтому ВаТРО» на самом деле сегнетозлектрик, н произошло зто благодаря атомам, находящимся в промежутке. Вы можете спросить: »А что же получается с прямым взаимодействием между двумя цепочками Π— Т1?» Вспомним, однако, что прямое взаимодействие убывает с расстоянием экспоненциально; действие цепочки из сильных диполей на расстоянии 2а может быть меньше действия цепочки слабых диполей на расстоянии а. На этом мы закончим довольно подробное изложение наших сегодняшних познаний о дизлектрических свойствах газов, жидкостей и твердых тел.
--.- 12 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ Ц.Одггнагговые уравнения— одинаковые решения б" А Одггникооые гграоненггя,— одыниновые реигеныя Вся информация о физическом мире, прпобретенная со времени зарождения научного прогресса, поистине огромна, и кажется почти невероятным, чтобы кто-то овладел заметной частью ее. Но фактически физик вполне может постичь общие свойства физического мира, не становясь специалистом в какой-то узкои области. Тому есть три причины. Первая.
Существуют великие принципы, применимые к любым явлениям, такие, как закон сохранения энергии и момента количества движения. Глубокое понимание этих принципов позволяет сразу постичь очень многие вещи. Вторая. Оказывается, что многие сложные явления, как, например, сжатие твердых тел, в основном обусловливаются электрическими и квантовомеханическими силамн, так что, поняв основные законы электричества и квантовой механики, имеется возможность понять многие явления, возникающие в сложных условиях.
Третья. Имеется замечательнейшее совпадение: Уравнения дяя сазгых разных физических условий часто имеют в точности одинаковый вид. Использованные символы, конечно, могут быть разными — вместо одной буквы стоит другая, но математическая форма уравнений одна и та же. Это значит, что, изучив одну область, мы сразу получаем множество прямых и точных сведений о решениях уравнений для другой области.
Мы закончили злектростатику и скоро перейдем к изучению магнетизма и электродинамики. Но прежде хотелось бы показать„что, изучив электростатнку, мы одновременно узнали о многих других явлениях. Мы увидим, что Ч2.Поток тепла: точечный источник вблизи бесконечной плоской границы ЗЗ. Натянутая мембрана йб.Диффузигг нейтронов; сфе- рически-симметричный источник в однородной среде ч5.Нсзвггхревое течение жидкости; обтекание шара $6,Освещение; равномерное осве- ЩРИИР, ПЛОСКОСТИ $7. «Фундаменталгиое единство» природы уравнения электростатики фигурируют и в ряде других областей физики. Путем прямого переноса решений (одинаковые математические уравнения должны, конечно, иметь одинаковые решения) можно решать задачи из других областей с той же легкостью (или с таким же трудом), как и в электростатике.
Уравнения электростатики, как мы знаем, такие: (12.1) ЧхЕ = О. (12. 2) (Мы шшгем уравнения электростатики в присутствии диэлектриков, чтобы учесть общий случай.) То же физическое содеря;ание может быть выражено в другой математической форме: Е= — Чф, (12.3) Ч (нЧф) = — ~'"~ . (12.4) зо И вот суть дела заключается в том, что существует множество физических проблем, для которых математические уравнения имеют точно такой же вид.
Сюда входит потенциал (ф), градиент которого, умноженный на скалярную функцию (я), имеет дивергенциго, равную другой скалярной функции ( — рг'зо). Все, что нам известно из электростатики, можно немедленно перенести на другой объект, и наоборот. (Принцип, конечно, работает в обе стороны: если известны какие-то характеристики другого объекта, то можно использовать эти сведения в соответствугощей задаче по электростатике.) Мы рассмотрим ряд примеров из разных областей, когда имеются уравнения такого вида.
ф о. 17отггвн ньенлв; нзочечньыг истнвггнин вблизи бесконемиогг нлосггой гранит(ы Ранее мы уже обсуждали (гл. 3, 1 4) поток тепла. Вообразите кусок какого-то материала, необязательно однородного (в разных местах может быть разное вещество), в котором температура меняется от точки к точке. Как следствие этих температурных изменений возникает поток тепла, который можно обозначить вектором Ь. Он представляет собой количество тепловой энергии, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку.
Дивергенция Ь есть скорость ухода тепла из данного места в расчете на единицу объема: Ч .Ь = — Скорость ухода тепла па единицу объема. (Мы могли, конечно, записать уравнение в интегральном виде, как мы поступали в электродинамике с ааконом Гаусса, тогда оно выражало бы тот факт, что поток через поверхность равен скорости изменения тепловой энергии внутри материала. Мы не будем больше переводить уравнения из дифференциальной формы в интегральную и обратно, это делается точно так же, как в электростатике.) Скорость, с которой тепло поглощается или рождается в разных местах, конечно, зависит от условий задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
