Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Поверхностный заряд, конечно, на одной поверхности положителен, а на другой отрицателен. Предположим теперь, что наша пластинка служит диэлектриком в плоском конденсаторе. Пластины конденсатора также имеют поверхностный заряд (который мы обозначим о„,«, потому что заряды в проводнике могут двигаться «свободно» куда угодно). Конечно, это тот самый заряд, который мы сообщили конденсатору при его зарядке.
Следует подчеркнуть, что а„,„ существует только благодаря о„,ы Если, разрядив конденсатор, удалить а„„, то о„„также исчезнет, но он не отсчет по проволоке, которой разряжают конденсатор, а уйдет назад внутрь материала, за счет релаксации поляризации в диэлектрике. Теперь мы можем применить теорему Гаусса к поверхности Я, изображенной яа фиг. 10.1. Электрическое поле Е в диэлектрике равно полной поверхностной плотности зарядов, деленной яа з . Очевидно, что а„,«и а„,«имеют разные знаки, так что Ф и г. лд,д.
вь"оличеетво варада, прошедшее через влемент воображаемой поверхноети в диэлектрике, пропорзионально компоненте Р, норззальной к поверхности. Напряжение между пластинами есть пнтеграл от электрического поля, Раз поле однородно, интеграл сводитсн просто к произведению Е и расстояния между пластинами д. Мы получаем Р дд оеааб д еа(1 —,Х) ' Полный заряд конденсатора есть а,„,б А, так что емкость, определяемая формулой (10.2), оказывается равной еа в (1+к) з'еа4 (10.10) д д Мы объяснили явление, наблюдавшееся на опыте. Ксли заполнить плоский конденсатор диэлектриком, емкость воз- растает на множитель Х=1+Х, который характеризует свойства данного материала.
Наше объяснение останется, конечно, неполным, пока мы не объясним (а это мы сделаем позже), как возникает атомная поляризация, Обратимся теперь к чуть более сложному случаю — когда поляризация Р не всюду одинакова. Мы унве говорили, что если поляризация непостоянна, то вообще может возникнуть объемная плотность заряда, потому что с одной стороны в малонький элемент объема может войти больше зарядов, чем выйдет с другой. Как определитгн сколько зарядов теряется или приобретается в маленьком объемег Подсчитаем сначала, сколько зарядов проходит через воображаемую плоскость, когда материал поляризуется. Еоличоство заряда, проходящее через поверхность, есть просто Р, умноженное на площадь поверхности, если поляризация направлена по нормали к поверхности.
Разумеется, если поляризация косительна к поверхности, то через нее не пройдет ни одного заряда. Продолжая прежние рассуждения, легко понять, что количество заряда, прошедшее через любой элемент поверхности, пропорционально компоненте Р, перпендикулярной ь поверхности. Сравним фиг. 10.6 и 10.5. Мы видим, что уравнение И0.5) в общем случао должно быть записано так: оа,„=Р и. (10.12) Ф и г. 10.7. Неоднородн ая поляригазая Р .иояемп пригодивпо к полевению реаулотируюиеео гаряда внувари диглекгприка. Мы моокем отнести Л~)„еа за счет объемного РаспРеДеленнЯ заряда с плотностью р„,„, так что й(~„,.=) р„.я<(р. (10Л4) Комбинируя оба уравнения, получаем ~ ра„е()7= — ~ Р пЫа. (10.15) Мы получили разновидность теоремы Гаусса, связывающую плотность заряда поляризованного материала с вектором поляризации Р.
Мы видим, что она согласуется с результатом, полученным для поверхностного поляризационного заряда или еке для диэлектрика в плоском конденсаторе. Уравнение (10.15) с гауссовой поверхностью Я, изображенной на фиг. 10Л, дает в правой части интеграл по поверхности, равный Р ЛА, а в левой части заряд внутри объема оказывается с„„ЛА, так что мы снова получаем и = Р. Если мы имеем в виду воображаемый элемент поверхности внутри диэлектрика, то формула (10.12) дает заряд, который прошел через поверхность, но не приводит к результирующему поверхностному заряду, потому что возникают равные и противоположно направленные вклады от диэлектрика по обе стороны поверхности. Однако смещение зарядов может привести к появлению обьеээной плотности зарядов.
Полный заряд, выдвинутый иэ объема Р за счет поляризации, есть интеграл от внешней нормальной составляющей Р по поверхности Я, охватывающей объем (фиг. 10.7), Такой же излишек зарядов противоположного анака остается внутри. Обозначая суммарный заряд внутри р через Л~)„ю запишем Лге„„= — ) Р г( . (10.13) Точно так же, как мы делали в случае закона Гаусса для электростатики, мы можем перейти в уравнении (10.15) к дифференциальной форме, пользуясь математической теоремой Гаусса: 1 Р и да = ) Р Р ДР.
5 Мы получаем рв,„= — Р Р. (10.16) Если поляризация неоднородна, ее дивергенция определяет появляющуюся в материале результирующую плотность зарядов. Подчеркнем, что это совсем настоящая плотность зарядов; мы называем ее ополяризационным зарядом», только чтобы помнить, откуда она взялась. ф А э"рб»в»бенин элвятростатэ»тки для днэлеътнрннов Давайте теперь свяжем полученные нами результаты с тем, что мы ужо узнали в электростатике. Основное уравнение имеет вкд р (Е+ в ) Рсвоб (10.18) Уравнение для ротора от Е, конечно, не меняется: Р х Е=О. (10.19) Подставляя Р из уравнения (10.8), получаем более простое уравнение: ((1 + 7) Е) т (кЕ) Рсвоб (10.20) Это и есть уравнения электростатики в присутствии диэлектриков. Они, конечно, не дают ничего нового, но имеют вид, более удобный для расчетов в тех случаях, когда Р„,б известно, а поляризация Р пропорциональна..Е.
т Е= — ' (10.17) где р — плотность всех электрических зарядов. Поскольку уследить за поляризационными зарядами непросто, удобно разбить р на две части. Обозначим снова через р„„заряды, появляющиеся за счет неоднородной поляризации, а остальную часть назовем р„,б. Ооычно р„„означает заряд, сообщаемый проводникам или распределенный известным образом в просэранстве. В этом случае уравнение (10.17) приобретает внд р Е Рсвоб + Рвов Рсвоб во во Заметьте, что мы не вытащили «константу» диэлектрической проницаемости к за знак дивергенции.
Это потому, что она может не быть всюду одинаковой. Если она повсюду одинакова, то ее можно выделить в качестве множителя и уравнения станут в точности обычными уравнениями электростатики, где только р„,«нужно поделить на к. В написанной нами форме уравнения годятся в общем случае, когда в разных местах поля располол ены разные диэлектрики. В таких случаях решить уравнения иногда бывает очень трудно. Здесь следует отметить один момент, имеющий историческое значение.
На заре роя«дания электричества атомный механизм поляризации не был еще известен и о существовании р„,„не впали. Заряд р„„считался равным всей плотности зарядов. Чтобы придать уравнениям Максвелла простой вид, вводили новый вектор Р как линейную комбинацию Е и Р: Р = «,Е+Р. (10.21) В результате уравнения (10.18) и (10.19) записывались в очень простом виде: =Рсво«7 х Е=О (10.22) Можно ли их решить? Только когда задано третье уравнение, связывающее Р и Е. Если справедливо уравнение (10.8), то эта связь есть Р = «, (1+ т) Е = х«,Е. (10,23) Последнее уравнение обычно записывается так: Р=еЕ, (10.24) где з — еще одна постоянная, описывающая диэлектрические свойства материалов.
Ока также называется «проницаемостьюю (Теперь вы понимаете, почему в наших уравнениях появилось е„это «проницаемость пустого пространства».) Очевидно, е = кзю —— (1+ Х) з«. (10.25) Сейчас мы рассматриваем эти вещи уже с другой точки зрения, а именно что в вакууме всегда имеются самые простые уравнения, и если в каждом случае учесть все заряды, какова бы ни была причина их возникновения, то онн всегда справедливы. Выделяя часть зарядов либо из соображений удобства, либо потому, что мы не хотим вникать в детали процесса, мы всегда можем при желании написать уравнения в любой удобной для нас форме. Сделаем еще одно замечание. Уравнение Р = еЕ представляет собой попытку описать свойства вещества. Но вещество исключительно сложно по своей природе, и подобное уравнение на самом деле неправильно. Так, если Е стано- вится очень большим, В перестает быть пропорциональным Е.
В некоторых веществах пропорциональность нарупгается уже при достаточно слабых полях. Кроме того, «константа» пропорциональности может зависеть от того, насколько быстро Е меняется со временем. Следовательно, уравнение такого типа есть нечто вроде приближенного уравнения типа закона Гука. Оно не моягет быть глубоким, фундаментальным уравнением. С другой стороны, наши основные уравнения для Е (10.17) и (10.19) выражают наиболее полное и глуоокоо понимание электростатикн. ф .%. 1Холя и снлы.
в гг1эггсупгсгггвнгг дтгэлвмпгугггков Мы докажем сейчас ряд довольно общих теорем электростатики для тех случаев, когда имеются диэлектрики. Мы уже видели, что емкость плоского конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличивается в определенное число раз. Сейчас можно показать, что это верно для емкости любой формы, если вся область вокруг двух проводников заполнена однородным линейным диэлектриком.
В отсутствие диэлектрика уравнения, которые требуется регпить, такие: Р Ег=~'" — '" и Ч Х Ео=О. зо Когда имеется диэлектрик, первое из этих уравнений изменяется, и мы получаем 'р (хЕ)=6 — ""~ и р х Е=О. (10.26) Далее, поскольку мы считаем х всюду одинаковой, последние два уравнения можно записать в виде 7 (хЕ) =' — ""'~ и Р х (хЕ) =О. (10.27) Следовательно, для хЕ получаются такие гке уравнения, как для Е„и тогда они имеют решение хЕ = Е,. Другими словами, поле всюду в х раз меньше, чем в отсутствие диэлектрика. Поскольку разность потенциалов есть линейный интеграл от поля, она уменыпится во столько же раз.
Л так как заряд на электродах конденсатора в обоих случаях тот же самый, то уравнение (10.2) говорит, что емкость в присутствии всюду однородного диэлектрика увеличивается в х раз. Зададимся теперь вопросом, как взаимодействуют два зарягкенных проводника в диэлектрике. Рассмотрим я<идквй диэлектрик, повсюду однородный. э(ы уже видели раньше, что один из способов найти силу — это продифференцировать энергию по соответствующему расстоянию. Если заряды на проводниках равны и противоположны по знаку, то энергия 207 У = «)Ч2С, где С вЂ” их емкость.
С помощью принципа виртуальной работы любая кол«понента силы получается некоторым дифференцированием; например, (Ю.28) Поскольку диэлектрик увеличивает емкость в и раз, все силы рменьшатсз в такое же число раз. Однако все зто не так просто. Оказанное справедливо, только если диэлектрик нсидкнй. Любое перемещение проводников, окруженных твердым диэлектриком, изменяет условия механических напряжений в диэлектрике и его электрические свойства, а такие несколько меняет механическую энергию диэлектрика. Движение проводников в жидкости не меняет свойств в«идкости. Жидкость перетекает в другое место, но ее электрические свойства остаются неизменными.
Во многих старых книгах по электричеству изло»кение начинается с «основного» закона, по которому сила, действующая между двумя зарядами, есть р Ч»ч» (10.29) «ле»зг» ' а эта точка зрения абсолютно неприемлема. Во-первых, это не всегда верно; это справедливо только в мире, заполненном жидкостью; во-вторых, так получается лишь для постоянного значения х, что для большинства реальных материалов выполняется приблин«енно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
